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5. 如图，B，A，E三点在同一条直线上. 请从①②③中选两个作为条件、一个作为结论，组成一个真命题，并给出证明.
①AD//BC；
②∠B＝∠C；
③AD平分∠EAC.
①AD//BC；
②∠B＝∠C；
③AD平分∠EAC.
答案
5. 解：答案不唯一，下面以①②为条件、③为结论，进行证明.
已知：AD//BC，∠B=∠C.
求证：AD平分∠EAC.
证明：
∵AD//BC，
∴∠B=∠EAD，∠C=∠DAC.
又
∵∠B=∠C，
∴∠EAD=∠DAC，即AD平分∠EAC.
已知：AD//BC，∠B=∠C.
求证：AD平分∠EAC.
证明：
∵AD//BC，
∴∠B=∠EAD，∠C=∠DAC.
又
∵∠B=∠C，
∴∠EAD=∠DAC，即AD平分∠EAC.
解析
【分析】
这是一道条件、结论可灵活选择的开放性几何证明题，我们可任选2个论断作为条件，剩余1个作为结论构造真命题。以选择①②为条件、③为结论为例思考：首先根据平行线的性质，两直线平行时同位角、内错角分别相等，可得到∠EAD与∠B相等、∠DAC与∠C相等；再结合已知∠B=∠C，通过等量代换即可得到∠EAD=∠DAC，符合角平分线的定义，即可推出AD平分∠EAC。若选择其他组合，也可结合平行线的判定/性质、角平分线定义完成推导。
【解析】
答案不唯一，以下以①②为条件、③为结论为例证明：
已知：$AD// BC$，$∠ B=∠ C$。
求证：$AD$平分$∠ EAC$。
证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ B=∠ EAD$（两直线平行，同位角相等），$∠ C=∠ DAC$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ B=∠ C$，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAC$，即$AD$平分$∠ EAC$。
（其他组合：选①③为条件可推②成立，选②③为条件可推①成立，证明逻辑类似。）
【答案】
答案不唯一，示例：以$AD// BC$、$∠ B=∠ C$为条件，可证明$AD$平分$∠ EAC$，证明过程见解析。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，命题与证明
【点评】
本题属于开放性基础题，考查几何逻辑推理能力和规范证明的书写能力，需要学生熟练掌握平行线、角平分线的相关性质与判定，理清条件和结论之间的逻辑关联即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
这是一道条件、结论可灵活选择的开放性几何证明题，我们可任选2个论断作为条件，剩余1个作为结论构造真命题。以选择①②为条件、③为结论为例思考：首先根据平行线的性质，两直线平行时同位角、内错角分别相等，可得到∠EAD与∠B相等、∠DAC与∠C相等；再结合已知∠B=∠C，通过等量代换即可得到∠EAD=∠DAC，符合角平分线的定义，即可推出AD平分∠EAC。若选择其他组合，也可结合平行线的判定/性质、角平分线定义完成推导。
【解析】
答案不唯一，以下以①②为条件、③为结论为例证明：
已知：$AD// BC$，$∠ B=∠ C$。
求证：$AD$平分$∠ EAC$。
证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ B=∠ EAD$（两直线平行，同位角相等），$∠ C=∠ DAC$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because ∠ B=∠ C$，
$\therefore ∠ EAD=∠ DAC$，即$AD$平分$∠ EAC$。
（其他组合：选①③为条件可推②成立，选②③为条件可推①成立，证明逻辑类似。）
【答案】
答案不唯一，示例：以$AD// BC$、$∠ B=∠ C$为条件，可证明$AD$平分$∠ EAC$，证明过程见解析。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，命题与证明
【点评】
本题属于开放性基础题，考查几何逻辑推理能力和规范证明的书写能力，需要学生熟练掌握平行线、角平分线的相关性质与判定，理清条件和结论之间的逻辑关联即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
6. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行. 请结合下图探索这两个角的关系.
(1)如图①，AB//EF，BC//ED，那么∠1与∠2的关系是
(2)如图②，AB//EF，BC//DE，那么∠1与∠2的关系是
(3)经过探索，我们可以得到一个真命题：
(1)如图①，AB//EF，BC//ED，那么∠1与∠2的关系是
∠1=∠2
. 请证明你的结论.(2)如图②，AB//EF，BC//DE，那么∠1与∠2的关系是
∠1+∠2=180°
. 请证明你的结论.(3)经过探索，我们可以得到一个真命题：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
.答案
6. 解：(1) ∠1=∠2.
证明：如图，
∵AB//EF，
∴∠1=∠3.
∵BC//ED，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠2.
(2) ∠1+∠2=180°.
证明：如图，
∵AB//EF，
∴∠1=∠3.
∵BC//DE，
∴∠2+∠3=180°.
∴∠1+∠2=180°.
(3) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
解析
【分析】
本题探究两边分别平行的两个角的数量关系，解题思路如下：
(1) 图①中，可通过引入公共中间角∠3建立∠1和∠2的联系：先利用AB//EF的性质得到∠1与∠3相等，再利用BC//ED的性质得到∠2与∠3相等，通过等量代换即可得到两角的关系；
(2) 图②中，同样引入中间角∠3：先由AB//EF得∠1=∠3，再由BC//DE得∠2与∠3互补，代换后得到两角关系；
(3) 结合前两问的两种不同情况，归纳总结出通用的真命题即可。
【解析】
(1) 结论为$\boldsymbol{∠ 1=∠ 2}$，证明如下：
如图，设BC与EF的交点处与∠1为同位角的角为∠3。
∵AB//EF，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵BC//ED，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）。
(2) 结论为$\boldsymbol{∠ 1+∠ 2=180°}$，证明如下：
如图，设BC与EF的交点处与∠1为同位角的角为∠3。
∵AB//EF，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵BC//DE，
∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1+∠2=180°（等量代换）。
(3) 综合前两问的两种情况，可归纳得到真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
【答案】
6. 解：(1) ∠1=∠2.
证明：如图，
∵AB//EF，
∴∠1=∠3.
∵BC//ED，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠2.
(2) ∠1+∠2=180°.
证明：如图，
∵AB//EF，
∴∠1=∠3.
∵BC//DE，
∴∠2+∠3=180°.
∴∠1+∠2=180°.
(3) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
【知识点】
平行线的性质、等量代换、命题与证明
【点评】
本题考查平行线性质的应用，通过分类讨论两个角两边的不同位置关系探究通用结论，能够培养学生的逻辑推理能力和归纳总结能力，解题时需注意区分两种情况，避免遗漏两角互补的结论。
【难度系数】
0.8
本题探究两边分别平行的两个角的数量关系，解题思路如下：
(1) 图①中，可通过引入公共中间角∠3建立∠1和∠2的联系：先利用AB//EF的性质得到∠1与∠3相等，再利用BC//ED的性质得到∠2与∠3相等，通过等量代换即可得到两角的关系；
(2) 图②中，同样引入中间角∠3：先由AB//EF得∠1=∠3，再由BC//DE得∠2与∠3互补，代换后得到两角关系；
(3) 结合前两问的两种不同情况，归纳总结出通用的真命题即可。
【解析】
(1) 结论为$\boldsymbol{∠ 1=∠ 2}$，证明如下：
如图
，设BC与EF的交点处与∠1为同位角的角为∠3。∵AB//EF，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵BC//ED，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠2（等量代换）。
(2) 结论为$\boldsymbol{∠ 1+∠ 2=180°}$，证明如下：
如图
，设BC与EF的交点处与∠1为同位角的角为∠3。∵AB//EF，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵BC//DE，
∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1+∠2=180°（等量代换）。
(3) 综合前两问的两种情况，可归纳得到真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
【答案】
6. 解：(1) ∠1=∠2.
证明：如图，
∵AB//EF，
∴∠1=∠3.
∵BC//ED，
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠2.
(2) ∠1+∠2=180°.
证明：如图，
∵AB//EF，
∴∠1=∠3.
∵BC//DE，
∴∠2+∠3=180°.
∴∠1+∠2=180°.
(3) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
【知识点】
平行线的性质、等量代换、命题与证明
【点评】
本题考查平行线性质的应用，通过分类讨论两个角两边的不同位置关系探究通用结论，能够培养学生的逻辑推理能力和归纳总结能力，解题时需注意区分两种情况，避免遗漏两角互补的结论。
【难度系数】
0.8
