5. 已知：如图，在$△ ABC$中，D是边BC上的点，$DF ⊥ AB$，$DE ⊥ AC$，垂足分别为F，E，且$DF=DE$，$BF=CE$。
求证：$∠ B=∠ C$。

5. 证明：$\because DF⊥ AB$，$DE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BFD=∠ CED=90°$.
在$△ BDF$ 和$△ CDE$ 中，
$\because \begin{cases} DF=DE, \\ ∠ BFD=∠ CED, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ B=∠ C$.

【分析】
要证明∠B=∠C，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。观察图形可知∠B、∠C分别在△BDF和△CDE中，首先根据垂直的定义可得△BDF和△CDE有一组直角相等，再结合题目给出的DF=DE、BF=CE的条件，可利用SAS判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可得出结论。
【解析】
证明：$\because DF⊥ AB$，$DE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BFD=∠ CED=90°$.
在$△ BDF$ 和$△ CDE$ 中，
$\because \begin{cases} DF=DE, \\ ∠ BFD=∠ CED, \\ BF=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CDE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ B=∠ C$.
【答案】
$\boldsymbol{∠ B=∠ C}$
【知识点】
垂直的定义；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是找准待证角所在的三角形，梳理出全等所需的对应边、对应角相等的条件，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.8

6. 如图①，将两块全等的三角板拼在一起，使$△ ABC$的边$BC$在直线$l$上，$AC⊥ BC$，且$AC=BC$，$△ EFP$的边$FP$也在直线$l$上，边$EF$与边$AC$重合，$EF⊥ FP$.
(1)在图①中，请通过观察、测量，猜想并写出$AB$与$AP$所满足的数量关系和位置关系.
(2)将三角板$EFP$沿直线$l$向左平移到图②所示的位置时，$CP=CQ$，$EP$交$AC$于点$Q$，连接$AP$，$BQ$. 猜想并写出$BQ$与$AP$所满足的数量关系和位置关系，证明你的猜想.
(3)将三角板$EFP$沿直线$l$向左平移到图③所示的位置时，$CP=CQ$，$EP$的延长线交$AC$的延长线于点$Q$，连接$AP$，$BQ$. 你认为(2)中猜想的$BQ$与$AP$所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

6. 解：(1)$AB=AP$，$AB⊥ AP$.
(2)$BQ=AP$，$BQ⊥ AP$.
证明：如图，延长 $BQ$ 交 $AP$ 于点 $G$.
在$△ BCQ$ 和$△ ACP$ 中，
$\because \begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCQ=∠ ACP, \\ CQ=CP, \end{cases}$
$\therefore △ BCQ≌△ ACP(\mathrm{SAS})$.
$\therefore BQ=AP$，$∠ CBQ=∠ CAP$.
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CBQ+∠ BQC=90°$.
$\because ∠ BQC=∠ AQG$，
$\therefore ∠ AQG+∠ GAQ=90°$.
$\therefore ∠ AGQ=180°-90°=90°$.
$\therefore BQ⊥ AP$.
(3)成立.
证明：在$△ BCQ$ 和$△ ACP$ 中，
$\because \begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCQ=∠ ACP, \\ CQ=CP, \end{cases}$
$\therefore △ BCQ≌△ ACP(\mathrm{SAS})$.
$\therefore BQ=AP$.
如图，延长 $QB$ 交 $AP$ 于点 $N$，
则$∠ PBN=∠ CBQ$.
$\because △ BCQ≌△ ACP$，
$\therefore ∠ BQC=∠ APC$.
在$△ BCQ$ 中，$∠ BQC+∠ CBQ=90°$，
$\therefore ∠ APC+∠ PBN=90°$.
$\therefore ∠ PNB=90°$.
$\therefore BQ⊥ AP$.

【分析】
(1) 首先结合已知条件，△ABC是等腰直角三角形，△EFP与△ABC全等且边重合，可得AC=BC=CP，且AC同时垂直BC和CP，可判断△ABP为等腰直角三角形，直接得出AB与AP的数量和位置关系；
(2) 探究BQ与AP的关系时，数量关系可通过已知的BC=AC、CQ=CP，以及公共的直角条件，用SAS判定△BCQ和△ACP全等，即可得到BQ=AP；位置关系可利用全等三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，转化角得到BQ与AP的夹角为90°，证明垂直；
(3) 平移后CP=CQ、BC=AC、∠BCQ和∠ACP均为直角的条件不变，仍然可通过SAS证明两个三角形全等得到BQ=AP，再类比第(2)问的角转化方法，即可证明垂直关系依旧成立。
【解析】
(1) 由题意可知AC⊥BC，AC=BC，△ABC≌△EFP且EF与AC重合，因此AC=CP，AC⊥CP，可得AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，故∠BAP=90°，即AB⊥AP。
(2) 猜想$BQ=AP$，$BQ⊥AP$，证明如下：
延长 $BQ$ 交 $AP$ 于点 $G$.
在$△ BCQ$ 和$△ ACP$ 中，
$\because \begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCQ=∠ ACP, \\ CQ=CP, \end{cases}$
$\therefore △ BCQ≌△ ACP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BQ=AP$，$∠ CBQ=∠ CAP$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ CBQ+∠ BQC=90°$，
$\because ∠ BQC=∠ AQG$，
$\therefore ∠ AQG+∠ GAQ=90°$，
$\therefore ∠ AGQ=180°-90°=90°$，
$\therefore BQ⊥ AP$。
(3) 上述猜想仍然成立，证明如下：
在$△ BCQ$ 和$△ ACP$ 中，
$\because \begin{cases} BC=AC, \\ ∠ BCQ=∠ ACP, \\ CQ=CP, \end{cases}$
$\therefore △ BCQ≌△ ACP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BQ=AP$。
延长 $QB$ 交 $AP$ 于点 $N$，
则$∠ PBN=∠ CBQ$，
$\because △ BCQ≌△ ACP$，
$\therefore ∠ BQC=∠ APC$，
在$△ BCQ$中，$∠ BQC+∠ CBQ=90°$，
$\therefore ∠ APC+∠ PBN=90°$，
$\therefore ∠ PNB=90°$，
$\therefore BQ⊥ AP$。
【答案】
(1)$AB=AP$，$AB⊥ AP$；
(2)$BQ=AP$，$BQ⊥ AP$；
(3)成立，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题属于几何平移类动态问题，解题关键是抓住平移过程中不变的边、角关系，借助全等三角形的性质判断线段的数量关系，通过角的等量代换证明垂直关系，能够有效锻炼逻辑推理和动态几何分析能力。
【难度系数】
0.6