3. (1)已知：如图，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°。
求证：DB=DC。

第3(1)题
(2)已知：如图，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD为锐角。
求证：DB=DC。

第3(2)题

3. 证明：(1)$\because ∠ B+∠ C=180°$，$∠ B=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ B=90°$.
在$△ BAD$ 和$△ CAD$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ B=∠ C, \\ ∠ BAD=∠ CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAD(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DB=DC$.
(2)如图，过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E，作 $DF⊥ AC$，交 AC 的延长线于点 F.
$\therefore ∠ AED=∠ AFD=90°$.
$\because AD$ 平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAD=∠ FAD$，
在$△ AED$ 和$△ AFD$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ AED=∠ AFD, \\ ∠ EAD=∠ FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ AFD(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DE=DF$.
$\because ∠ ABD+∠ ACD=180°$，
$∠ ACD+∠ FCD=180°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ FCD$.
在$△ EBD$ 和$△ FCD$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ BED=∠ CFD, \\ ∠ EBD=∠ FCD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ FCD(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DB=DC$.

【分析】
(1) 解题思路：先根据∠B与∠C的和为180°、∠B=90°求出∠C=90°，找到△BAD和△CAD的两组等角和公共边AD，利用AAS证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证得DB=DC。
(2) 解题思路：遇到角平分线可联想到作垂线段的常用辅助线方法，过点D向∠BAC的两边作垂线DE、DF，由角平分线的性质可得DE=DF；再根据∠ABD+∠ACD=180°，结合平角的定义推出∠ABD=∠FCD，进而用AAS证明△EBD和△FCD全等，即可得到DB=DC。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ B+∠ C=180°$，$∠ B=90°$，
$\therefore ∠ C=∠ B=90°$.
在$△ BAD$ 和$△ CAD$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ B=∠ C, \\ ∠ BAD=∠ CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAD(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DB=DC$.
(2) 证明：如图，过点 D 作 $DE⊥ AB$ 于点 E，作 $DF⊥ AC$，交 AC 的延长线于点 F.
$\therefore ∠ AED=∠ AFD=90°$.
$\because AD$ 平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ EAD=∠ FAD$，
在$△ AED$ 和$△ AFD$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ AED=∠ AFD, \\ ∠ EAD=∠ FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ AED≌△ AFD(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DE=DF$.
$\because ∠ ABD+∠ ACD=180°$，
$∠ ACD+∠ FCD=180°$，
$\therefore ∠ ABD=∠ FCD$.
在$△ EBD$ 和$△ FCD$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ BED=∠ CFD, \\ ∠ EBD=∠ FCD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore △ EBD≌△ FCD(\mathrm{AAS})$.
$\therefore DB=DC$.
【答案】
(1) 证明过程见上述解析，可证得$DB=DC$；
(2) 证明过程见上述解析，可证得$DB=DC$。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，补角的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的典型题型，第一问为基础的全等判定应用，第二问需要结合角平分线的特点作辅助线构造全等三角形，熟练掌握角平分线相关辅助线的作法和全等三角形的判定定理是解决本题的核心。
【难度系数】
0.7

4. 将两块大小相同且均含$30°$角的三角板($∠ BAC=∠ B'A'C=30°$)按图①所示的方式放置，固定三角板$A'B'C$，然后将三角板$ABC$绕直角顶点$C$按顺时针方向旋转(旋转角度小于$90°$)至图②所示的位置，$AB$与$A'C$交于点$E$，$AC$与$A'B'$交于点$F$，$AB$与$A'B'$交于点$O$. 求证：$△ BCE ≌ △ B'CF$.

4. 证明：$\because ∠ BCE + ∠ ECF = ∠ B'CF + ∠ ECF=90°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ B'CF$.
在$△ BCE$ 和$△ B'CF$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ B=∠ B', \\ BC=B'C, \\ ∠ BCE=∠ B'CF, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ B'CF(\mathrm{ASA})$.

【分析】
要证明△BCE≌△B'CF，首先回忆全等三角形的判定定理，先从已知条件梳理对应相等的量：两块大小相同的含30°角的三角板，可得∠B=∠B'，BC=B'C；接下来还需要一组相等的量，观察角的关系：∠BCE和∠B'CF都与∠ECF相加等于90°，根据同角的余角相等可推出∠BCE=∠B'CF，此时两个三角形满足“角-边-角”的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because ∠ BCE + ∠ ECF = 90°$，$∠ B'CF + ∠ ECF=90°$，
$\therefore ∠ BCE=∠ B'CF$.
在$△ BCE$ 和$△ B'CF$ 中，
$\because \begin{cases} ∠ B=∠ B', \\ BC=B'C, \\ ∠ BCE=∠ B'CF, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌△ B'CF(\mathrm{ASA})$.
【答案】
$△ BCE ≌ △ B'CF$，证明过程如上。
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 同角的余角相等
3. 旋转的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的常规基础题型，结合了旋转图形的性质和余角的性质，解题核心是找准两个三角形的对应相等边和角，熟练掌握全等三角形的判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8