一、平移型
1. 如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC//DF. 求证：△ABC≌△DEF.

1. 证明:因为AD=BE，
所以AD+BD=BE+BD，
即AB=DE.
因为AC//DF，
所以∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠A=∠EDF, \\ AC=DF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SAS).

【分析】
要证明△ABC≌△DEF，首先结合已知条件推导全等所需的对应边、对应角相等的条件：已知AC=DF，再由AC//DF可推出同位角∠A=∠EDF；已知AD=BE，根据等式的性质，在两条线段上同时加上公共部分BD，即可得到AB=DE，此时满足两边及其夹角对应相等的SAS全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD=BE，
∴ AD+BD=BE+BD，即AB=DE。
∵ AC//DF，
∴ ∠A=∠EDF（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△DEF中：
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠A=∠EDF, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF（SAS）。
【答案】
证明:因为AD=BE，
所以AD+BD=BE+BD，
即AB=DE.
因为AC//DF，
所以∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠A=∠EDF, \\ AC=DF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SAS).
【知识点】
平行线的性质、全等三角形SAS判定
【点评】
本题是平移型全等的典型基础题，解题核心是利用线段和差关系、平行线性质推导全等所需的对应相等条件，熟练掌握全等三角形的判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

二、对称型
2. 如图，$AC=AE$，$∠ C=∠ E$，$∠ 1=∠ 2$. 求证：$△ ABC≌△ ADE$.

2. 证明:因为∠1=∠2，
所以∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
所以∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \\ ∠C=∠E, \end{cases}$
所以△ABC≌△ADE(ASA).

【分析】
要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：题目已给出一组对应边相等$AC=AE$，一组对应角相等$∠C=∠E$，还需要一组对应相等的条件才能判定全等。已知$∠1=∠2$，观察角的位置，两个角同时加上公共角$∠EAC$，即可推出两个三角形的夹角$∠BAC=∠DAE$，此时满足“角边角（ASA）”的全等判定条件，就能完成证明。
【解析】
证明：因为$∠1=∠2$，
所以$∠1+∠EAC=∠2+∠EAC$，
所以$∠BAC=∠DAE$。
在$△ABC$和$△ADE$中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \\ ∠C=∠E, \end{cases}$
所以$△ABC≌△ADE(\mathrm{ASA})$。
【答案】
$△ABC≌△ADE$，证明过程如上。
【知识点】
角的和差性质、ASA判定全等
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是利用等角加公共角得到对应相等的夹角，熟练掌握全等三角形的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

三、旋转型
3. 如图，$AC=AE$，$∠ 1=∠ 2$，$AB=AD$. 求证：$△ BAC≌△ DAE$.

3. 证明:因为∠1=∠2，
所以∠1+∠EAB=∠2+∠EAB.
所以∠BAC=∠DAE.
在△BAC和△DAE中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
所以△BAC≌△DAE(SAS).

【分析】
要证明△BAC≌△DAE，首先结合已知条件梳理思路：题目已给出两组对应边相等（AC=AE，AB=AD），根据全等三角形的判定定理，只需再证明两组对应边的夹角∠BAC和∠DAE相等即可。已知∠1=∠2，观察图形可得∠BAC=∠1+∠EAB，∠DAE=∠2+∠EAB，根据等式的性质，两个相等的角同时加上公共角∠EAB，所得的角仍然相等，即可推出两组边的夹角相等，最后用SAS判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即∠BAC=∠DAE。
在△BAC和△DAE中：
$\begin{cases}AB=AD, \\∠BAC=∠DAE, \\AC=AE,\end{cases}$
∴△BAC≌△DAE（SAS）。
【答案】
证明：因为∠1=∠2，
所以∠1+∠EAB=∠2+∠EAB。
所以∠BAC=∠DAE。
在△BAC和△DAE中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
所以△BAC≌△DAE（SAS）。
【知识点】
全等三角形SAS判定、角的和差性质
【点评】
本题是旋转型全等模型的基础题型，解题核心是通过角的和差关系推导得到全等所需的对应角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理和常见全等模型，可快速梳理出解题思路。
【难度系数】
0.85

四、一线三等角型
4. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D,A,E$三点都在直线$m$上.
(1)若$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC$.
①如图①，若$AB⊥ AC$，则$BD$与$AE$的数量关系为，$CE$与$AD$的数量关系为.
②如图②，猜想$BD,CE$与$DE$的数量关系，并说明理由.
(2)如图③，若$∠ BDA=∠ AEC$，$BD=7\ \mathrm{cm}$，$DE=9\ \mathrm{cm}$，点$A$在线段$DE$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$D$向点$E$运动，同时，点$C$在线段$EF$上以$x\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$E$向点$F$运动，它们运动的时间为$t\ \mathrm{s}$. 是否存在$x$的值，使得$△ ABD$与$△ EAC$全等？若存在，求出相应的$t$值；若不存在，请说明理由.

4. 解:(1)①BD=AE CE=AD
②DE=BD+CE.理由如下:
易得△ABD≌△CAE(AAS),
所以BD=AE,CE=AD,
所以DE=AE+AD=BD+CE.
(2)存在.
当△DAB≌△ECA时,
BD=AE=7 cm,AD=CE=2 cm,
所以t=1,此时x=2;
当△DAB≌△EAC时,
AD=AE=$\frac{9}{2}$ cm,DB=EC=7 cm,
所以t=$\frac{AD}{2}$=$\frac{9}{4}$,此时x=7÷$\frac{9}{4}$=$\frac{28}{9}$.
综上所述,当x=2时,t=1或当x=$\frac{28}{9}$时,t=$\frac{9}{4}$.

【分析】
本题围绕一线三等角全等模型展开，解题思路如下：
(1)① 已知∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，先利用平角定义和直角三角形两锐角互余，推导得到∠ABD=∠CAE，结合AB=AC，可证△ABD≌△CAE，根据全等三角形对应边相等即可得到BD和AE、CE和AD的关系；
② 同①的思路，先利用三个角相等推导∠ABD=∠CAE，用AAS证明△ABD≌△CAE，得到BD=AE、CE=AD，再结合DE=AE+AD，等量代换即可得到DE和BD、CE的数量关系；
(2) 动点下的全等问题需分类讨论，△ABD与△EAC全等存在两种对应情况：第一种是△DAB≌△ECA，第二种是△DAB≌△EAC，分别根据全等对应边相等列等式计算t和x的值即可。
【解析】
(1)① 解：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BAD+∠CAE=180°-90°=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BDA=∠ AEC\\ ∠ ABD=∠ CAE\\ AB=AC\end{array} $
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，CE=AD。
② 猜想$DE=BD+CE$，理由如下：
∵∠BDA=∠BAC，
∴∠ABD+∠BAD=180°-∠BDA，∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BDA=∠ AEC\\ ∠ ABD=∠ CAE\\ AB=AC\end{array} $
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，CE=AD，
∵DE=AE+AD，
∴DE=BD+CE。
(2) 存在，分两种情况讨论：
情况1：当△DAB≌△ECA时，
$BD=AE=7\ \mathrm{cm}$，$AD=CE$，
∵$DE=9\ \mathrm{cm}$，
∴$AD=DE-AE=9-7=2\ \mathrm{cm}$，
点A的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，
∴$t=AD÷2=2÷2=1\ \mathrm{s}$，
此时$CE=2\ \mathrm{cm}$，点C运动时间也为$1\ \mathrm{s}$，
∴$x=CE÷ t=2÷1=2\ \mathrm{cm/s}$；
情况2：当△DAB≌△EAC时，
$AD=AE$，$BD=EC=7\ \mathrm{cm}$，
∵$AD+AE=DE=9\ \mathrm{cm}$，
∴$AD=AE=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$t=AD÷2=\frac{9}{2}÷2=\frac{9}{4}\ \mathrm{s}$，
此时$x=EC÷ t=7÷\frac{9}{4}=\frac{28}{9}\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{BD=AE}$，$\boldsymbol{CE=AD}$；
②$\boldsymbol{DE=BD+CE}$，理由见解析；
(2)存在，当$\boldsymbol{x=2}$时$\boldsymbol{t=1}$，当$\boldsymbol{x=\frac{28}{9}}$时$\boldsymbol{t=\frac{9}{4}}$。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是一线三等角全等模型的典型应用，着重考查全等三角形的判定和性质，最后一问的动点全等问题需要注意分类讨论不同的对应边关系，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6