5.(毕节模拟)如图是一位小朋友在荡秋千的侧面示意图,静止时秋千位于铅垂线BD上,转轴B到地面的距离$BD=2.5\ \mathrm{m}$.小亮在荡秋千过程中,当秋千摆动到最高点A时,测得点A到BD的距离$AC=1.5\ \mathrm{m}$,点A到地面的距离$AE=1.5\ \mathrm{m}$,将他从A处摆动后坐板的某一位置记为$A'$,$A'B⊥ AB$,求点$A'$到BD的距离.

5. 解:如图,过点A'作A'F⊥BD,垂足为F,

因为AC⊥BD,
所以∠ACB=∠A'FB=90°.
在Rt△A'FB中,∠1+∠3=90°,
又因为A'B⊥AB,
所以∠1+∠2=90°,
所以∠2=∠3.
在△ACB和△BFA'中,
$\begin{cases} ∠ACB=∠A'FB, \\ ∠2=∠3, \\ AB=A'B, \end{cases}$
所以△ACB≌△BFA'(AAS),所以A'F=BC.
因为AC//DE且CD⊥AC,AE⊥DE,所以CD=AE=1.5 m.
所以BC=BD−CD=2.5−1.5=1(m),所以A'F=1 m.
即点A'到BD的距离是1 m.

【分析】
要求点A'到BD的距离，首先过A'作BD的垂线A'F，将问题转化为求A'F的长度。首先由秋千长度不变可得AB=A'B，结合已知的垂直条件，利用同角的余角相等可推出∠2=∠3，即可证明△ACB和△BFA'全等，得到A'F=BC；再根据AC、AE、BD都与地面或水平线垂直，可得四边形ACDE是矩形，CD=AE，代入数值求出BC的长度，即可得到A'到BD的距离。
【解析】
解：如图，过点A'作A'F⊥BD，垂足为F，

∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A'FB=90°。
在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°，
又
∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3。
在△ACB和△BFA'中，
$\begin{cases} ∠ACB=∠A'FB \\ ∠2=∠3 \\ AB=A'B \end{cases}$
∴△ACB≌△BFA'(AAS)，
∴A'F=BC。
∵AC//DE，CD⊥AC，AE⊥DE，
∴四边形ACDE是矩形，CD=AE=1.5 m。
∴BC=BD−CD=2.5−1.5=1(m)，
∴A'F=1 m。
【答案】
点A'到BD的距离是$\boxed{1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的荡秋千场景考查全等三角形的实际应用，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将未知的垂线段长度转化为可求的线段长度，很好地体现了数学建模思想和转化思想，贴近生活，能有效考查学生运用几何知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

6. (重庆模拟)如图，小北在公园玩双层滑梯，每层楼梯的高度相同(BD=DE)，都为2 m，他想知道左右两个滑梯AE和GH的长度是否相等，于是制订了如下方案：

(1)根据小北的测量方案和数据，判断两个滑梯AE和GH的长度是否相等，并说明理由。
(2)猜想左右两个滑梯AE和GH所在直线的位置关系，并加以证明。

6. 解:(1)AE=GH. 理由如下：
根据题意可知,∠ABE=∠GIH=90°,AB=GI=DB=2 m,BE=IH=4 m.
在△ABE和△GIH中,$\begin{cases} AB=GI, \\ ∠ABE=∠GIH, \\ BE=IH, \end{cases}$
所以△ABE≌△GIH(SAS),
所以AE=GH,即AE和GH的长度相等.
(2)AE⊥GH. 证明如下：
如图,延长HG交AE于点C.

因为△ABE≌△GIH,
所以∠AEB=∠GHI.
根据题意,得∠ABE=90°,
所以∠AEB+∠A=90°,所以∠GHI+∠A=90°,
所以∠ACH=90°,所以AE⊥GH.

【分析】
（1）要判断两条滑梯长度是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先从题目条件提取边角信息：已知每层楼梯高度相等，可得BE、IH的长度均为4m，同时两个滑梯对应的水平段AB=GI，且两个三角形的夹角均为直角，满足SAS全等判定条件，证明△ABE和△GIH全等即可得到对应边相等。
（2）判断两条直线的位置关系，结合图形可猜想为垂直。可延长GH与AE相交，利用全等三角形对应角相等的性质，结合直角三角形两锐角互余的性质做角的等量代换，证明两条直线的夹角为90°，即可证得垂直关系。
【解析】
(1) AE和GH长度相等，理由如下：
根据题意可知$∠ ABE=∠ GIH=90°$，$BD=DE=2\mathrm{m}$，因此$BE=BD+DE=4\mathrm{m}$，同理可得$IH=4\mathrm{m}$，且$AB=GI=2\mathrm{m}$。
在$△ ABE$和$△ GIH$中：
$\begin{cases} AB=GI, \\ ∠ ABE=∠ GIH, \\ BE=IH, \end{cases}$
所以$△ ABE≌△ GIH(\mathrm{SAS})$，因此$AE=GH$。
(2) AE和GH所在直线互相垂直，证明如下：
如图，延长HG交AE于点C。
因为$△ ABE≌△ GIH$，所以$∠ AEB=∠ GHI$。
又因为$∠ ABE=90°$，所以$\mathrm{Rt}△ ABE$中$∠ AEB+∠ A=90°$，等量代换得$∠ GHI+∠ A=90°$。
在$△ ACH$中，$∠ ACH=180°-(∠ GHI+∠ A)=90°$，因此$AE⊥ GH$。
【答案】
(1) $AE=GH$，理由见解析；
(2) $AE⊥ GH$，证明见解析。

【知识点】
1. 全等三角形的SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形的实际应用，解题关键是从题干和图形中提取相等的边角条件，通过证明三角形全等，利用全等的性质解决线段等量关系和直线位置关系问题，侧重基础知识点的综合运用，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7