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1.如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是20 cm，当小明从水平位置CD上升10 cm时，小敏离地面的高度是（
A.20 cm
B.10 cm
C.30 cm
D.25 cm
B
）A.20 cm
B.10 cm
C.30 cm
D.25 cm
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先从跷跷板场景中抽象出几何模型：O是跷跷板中点，可得OC=OD；小明上升的高度10cm即FC的长度，FC、DG均与水平位置CD垂直，可得到一对直角相等，再结合对顶角相等，即可证明△FCO和△GDO全等，根据全等三角形对应边相等得到小敏下降的高度，再用原来水平位置的高度减去下降高度即可得到小敏离地面的高度。
【解析】
解：
∵O是CD的中点，
∴OC=OD。
由题意可知：FC⊥CD，GD⊥CD，
∴∠FCO=∠GDO=90°。
在△FCO和△GDO中：
$\{\begin{array}{l}∠FCO=∠GDO \\OC=OD \\∠COF=∠DOG（对顶角相等）\end{array} $
∴△FCO≌△GDO（ASA）
∴DG=CF=10 cm，即小敏从水平位置下降了10 cm。
∵支点O到地面距离为20 cm，即水平位置CD离地面高度为20 cm，
∴小敏离地面的高度为$20-10=10$ cm。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活常见的跷跷板场景考查全等三角形的实际应用，解题关键是将实际问题转化为全等三角形的几何模型，利用全等性质得到对应边长度即可求解，贴近生活，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先从跷跷板场景中抽象出几何模型：O是跷跷板中点，可得OC=OD；小明上升的高度10cm即FC的长度，FC、DG均与水平位置CD垂直，可得到一对直角相等，再结合对顶角相等，即可证明△FCO和△GDO全等，根据全等三角形对应边相等得到小敏下降的高度，再用原来水平位置的高度减去下降高度即可得到小敏离地面的高度。
【解析】
解：
∵O是CD的中点，
∴OC=OD。
由题意可知：FC⊥CD，GD⊥CD，
∴∠FCO=∠GDO=90°。
在△FCO和△GDO中：
$\{\begin{array}{l}∠FCO=∠GDO \\OC=OD \\∠COF=∠DOG（对顶角相等）\end{array} $
∴△FCO≌△GDO（ASA）
∴DG=CF=10 cm，即小敏从水平位置下降了10 cm。
∵支点O到地面距离为20 cm，即水平位置CD离地面高度为20 cm，
∴小敏离地面的高度为$20-10=10$ cm。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活常见的跷跷板场景考查全等三角形的实际应用，解题关键是将实际问题转化为全等三角形的几何模型，利用全等性质得到对应边长度即可求解，贴近生活，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
2.(石家庄模拟)嘉嘉和淇淇准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如图所示的示意图，点B,F,C,E在直线l上(点F,C之间的距离为池塘的长度)，点A,D在直线l的异侧，且$AB// DE$，$∠ A=∠ D$，测得$AB=DE$，$BE=120\ \mathrm{m}$，$BF=38\ \mathrm{m}$，求池塘FC的长度.
答案
2. 解:因为AB//DE,所以∠ABC=∠FED.
在△ABC和△DEF中,$\begin{cases} ∠ABC=∠FED, \\ AB=DE, \\ ∠A=∠D, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(ASA),所以BC=EF,
所以BC−FC=EF−FC,所以BF=CE.
又因为BF=38 m,所以BF=CE=38 m.
又因为BE=120 m,所以FC=BE−BF−CE=44(m).
所以池塘FC的长度为44 m.
在△ABC和△DEF中,$\begin{cases} ∠ABC=∠FED, \\ AB=DE, \\ ∠A=∠D, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(ASA),所以BC=EF,
所以BC−FC=EF−FC,所以BF=CE.
又因为BF=38 m,所以BF=CE=38 m.
又因为BE=120 m,所以FC=BE−BF−CE=44(m).
所以池塘FC的长度为44 m.
解析
【分析】
要求池塘FC的长度，已知BE的总长度和BF的长度，我们需要先推导CE的长度，找到线段之间的等量关系。首先根据AB//DE可得到一组内错角相等，结合题目给出的∠A=∠D、AB=DE的条件，可通过ASA判定定理证明△ABC和△DEF全等，得到对应边BC=EF，再对等式两边同时减去公共部分FC，即可推导出BF=CE，最后利用线段的和差关系计算FC的长度即可。
【解析】
因为$AB// DE$，所以$∠ ABC=∠ FED$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} ∠ ABC=∠ FED, \\ AB=DE, \\ ∠ A=∠ D, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$，所以$BC=EF$，
所以$BC-FC=EF-FC$，即$BF=CE$。
已知$BF=38\ \mathrm{m}$，所以$CE=38\ \mathrm{m}$。
又因为$BE=120\ \mathrm{m}$，所以$FC=BE-BF-CE=120-38-38=44(\mathrm{m})$。
【答案】
$44\ \mathrm{m}$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形在实际测量问题中的应用，解题的关键是结合平行线的性质找到全等的判定条件，通过全等三角形对应边相等推导出未知线段和已知线段的关系，最终求出待测长度，将数学知识和实际生活结合，实用性较强。
【难度系数】
0.7
要求池塘FC的长度，已知BE的总长度和BF的长度，我们需要先推导CE的长度，找到线段之间的等量关系。首先根据AB//DE可得到一组内错角相等，结合题目给出的∠A=∠D、AB=DE的条件，可通过ASA判定定理证明△ABC和△DEF全等，得到对应边BC=EF，再对等式两边同时减去公共部分FC，即可推导出BF=CE，最后利用线段的和差关系计算FC的长度即可。
【解析】
因为$AB// DE$，所以$∠ ABC=∠ FED$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases} ∠ ABC=∠ FED, \\ AB=DE, \\ ∠ A=∠ D, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$，所以$BC=EF$，
所以$BC-FC=EF-FC$，即$BF=CE$。
已知$BF=38\ \mathrm{m}$，所以$CE=38\ \mathrm{m}$。
又因为$BE=120\ \mathrm{m}$，所以$FC=BE-BF-CE=120-38-38=44(\mathrm{m})$。
【答案】
$44\ \mathrm{m}$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形在实际测量问题中的应用，解题的关键是结合平行线的性质找到全等的判定条件，通过全等三角形对应边相等推导出未知线段和已知线段的关系，最终求出待测长度，将数学知识和实际生活结合，实用性较强。
【难度系数】
0.7
3. 小唯想测量公园中一棵树的高度，但是由于这棵树不能直接攀爬上去测量，于是他想到了如下的方法：如图，树的顶点记为点A，树的底部记为点B，则AB即为树的高，在距离点B一段距离处确定一点C，延长BC至点D，使得DC＝BC，在地面上过点D作DC的垂线DE，垂足为D，用测角器在C处测量点A，C，B形成的夹角∠ACB的大小，再以点C为顶点作∠PCD＝∠ACB，延长CP交DE于点E。这样就将立体的树转化到了地面上，就可以直接进行测量，最后他测得DE的长为10 m。请问树的高度是多少？请说明理由。
答案
3. 解:树的高度为10 m. 理由如下：
由题可知∠EDC=∠ABC=90°.
在△ABC和△EDC中,$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=DE=10 m,
即树的高度为10 m.
由题可知∠EDC=∠ABC=90°.
在△ABC和△EDC中,$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=DE=10 m,
即树的高度为10 m.
解析
【分析】
要计算不可直接测量的树高AB，可通过证明AB和已知长度的DE相等求解。首先观察图形中△ABC和△EDC的已知条件：由题意得∠B和∠D都是直角，已知BC=DC，题目又明确给出∠ACB=∠ECD，刚好符合全等三角形的ASA判定条件，证明两个三角形全等后，利用全等三角形对应边相等的性质即可得到AB=DE，代入DE的长度就能求出树高。
【解析】
解：树的高度为10 m，理由如下：
由题意可知∠EDC=∠ABC=90°，
在△ABC和△EDC中：
$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=DE=10 m，即树的高度为10 m。
【答案】
树的高度为10 m
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等；全等三角形的实际应用
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的典型应用，通过构造全等三角形将无法直接测量的高度转化为可直接测量的线段长度，体现了数学中的转化思想，解题的关键是准确找到两个三角形中对应相等的边和角。
【难度系数】
0.8
要计算不可直接测量的树高AB，可通过证明AB和已知长度的DE相等求解。首先观察图形中△ABC和△EDC的已知条件：由题意得∠B和∠D都是直角，已知BC=DC，题目又明确给出∠ACB=∠ECD，刚好符合全等三角形的ASA判定条件，证明两个三角形全等后，利用全等三角形对应边相等的性质即可得到AB=DE，代入DE的长度就能求出树高。
【解析】
解：树的高度为10 m，理由如下：
由题意可知∠EDC=∠ABC=90°，
在△ABC和△EDC中：
$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=DE=10 m，即树的高度为10 m。
【答案】
树的高度为10 m
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形对应边相等；全等三角形的实际应用
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的典型应用，通过构造全等三角形将无法直接测量的高度转化为可直接测量的线段长度，体现了数学中的转化思想，解题的关键是准确找到两个三角形中对应相等的边和角。
【难度系数】
0.8
4.某中学八年级学生到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个不规则的建筑物，为测量该建筑物两端A，B间的距离，同学们给出了以下建议.
(1)甲同学的方案如下:如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接AO，BO，并分别延长AO至点C，延长BO至点D，使$CO=AO$，$DO=BO$，最后测出CD的长即为A，B间的距离，请你说说该方案可行的理由；
(2)如图2，由于在EF处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得$∠ EOC=80°$，$∠ C=65°$，$∠ OEF=145°$，$CF=127\ \mathrm{m}$，$EF=78\ \mathrm{m}$，请求出该建筑物两端A，B间的距离.(注:在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等)
(1)甲同学的方案如下:如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接AO，BO，并分别延长AO至点C，延长BO至点D，使$CO=AO$，$DO=BO$，最后测出CD的长即为A，B间的距离，请你说说该方案可行的理由；
(2)如图2，由于在EF处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照甲同学的方案直接测量出A，B间的距离，但同学们测得$∠ EOC=80°$，$∠ C=65°$，$∠ OEF=145°$，$CF=127\ \mathrm{m}$，$EF=78\ \mathrm{m}$，请求出该建筑物两端A，B间的距离.(注:在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等)
答案
4. 解:(1)理由:在△ABO和△CDO中,$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠AOB=∠COD, \\ BO=DO, \end{cases}$
所以△ABO≌△CDO(SAS),
所以AB=CD.
(2)如图,延长CF,OE交于点D,
因为∠OEF=145°,所以∠DEF=35°.
因为∠EOC=80°,∠C=65°,
所以∠D=180°−∠EOC−∠C=35°,
所以∠D=∠DEF,
所以DF=EF=78 m,
所以CD=DF+CF=205(m),
由(1)知AB=CD=205 m,
故该建筑物两端A,B间的距离为205 m.
解析
【分析】
(1) 要验证甲同学的方案可行，核心是证明AB和CD长度相等。观察△ABO和△CDO，已知两组对应边相等，且对顶角相等，可通过SAS判定两个三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质即可得到AB=CD。
(2) 受墙阻挡无法直接得到CD的长度，因此先构造第一问的几何模型：延长CF、OE交于点D。先根据邻补角的定义求出∠DEF，再利用三角形内角和定理算出∠D，可发现∠D和∠DEF相等，根据等角对等边得到DF=EF，即可求出CD的总长度，最后结合(1)的结论AB=CD就能得到AB的距离。
【解析】
(1) 在△ABO和△CDO中：
$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠AOB=∠COD（对顶角相等）, \\ BO=DO, \end{cases}$
因此△ABO≌△CDO（SAS），根据全等三角形对应边相等可得$AB=CD$，因此测出CD的长就是A、B间的距离，方案可行。
(2) 延长CF、OE交于点D：
已知$∠OEF=145°$，且$∠OEF+∠DEF=180°$，因此$∠DEF=180°-145°=35°$。
在△OCD中，三角形内角和为180°，因此$∠D=180°-∠EOC-∠C=180°-80°-65°=35°$。
可得$∠D=∠DEF$，根据等角对等边的性质，$DF=EF=78\ \mathrm{m}$。
因此$CD=DF+CF=78+127=205\ \mathrm{m}$，结合(1)的结论$AB=CD$，可得AB的长度为205m。
【答案】
(1) 理由:在△ABO和△CDO中,$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠AOB=∠COD, \\ BO=DO, \end{cases}$
所以△ABO≌△CDO(SAS),
所以AB=CD，故方案可行。
(2) 如图,延长CF,OE交于点D,
因为∠OEF=145°,所以∠DEF=35°.
因为∠EOC=80°,∠C=65°,
所以∠D=180°−∠EOC−∠C=35°,
所以∠D=∠DEF,
所以DF=EF=78 m,
所以CD=DF+CF=205(m),
由(1)知AB=CD=205 m,
故该建筑物两端A,B间的距离为205 m.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形判定
【点评】
本题结合实际测量场景考察几何知识的应用，既需要掌握全等三角形的判定和性质，也需要熟练运用等角对等边的规律，同时考察了构造辅助线将实际问题转化为几何模型的能力，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 要验证甲同学的方案可行，核心是证明AB和CD长度相等。观察△ABO和△CDO，已知两组对应边相等，且对顶角相等，可通过SAS判定两个三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质即可得到AB=CD。
(2) 受墙阻挡无法直接得到CD的长度，因此先构造第一问的几何模型：延长CF、OE交于点D。先根据邻补角的定义求出∠DEF，再利用三角形内角和定理算出∠D，可发现∠D和∠DEF相等，根据等角对等边得到DF=EF，即可求出CD的总长度，最后结合(1)的结论AB=CD就能得到AB的距离。
【解析】
(1) 在△ABO和△CDO中：
$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠AOB=∠COD（对顶角相等）, \\ BO=DO, \end{cases}$
因此△ABO≌△CDO（SAS），根据全等三角形对应边相等可得$AB=CD$，因此测出CD的长就是A、B间的距离，方案可行。
(2) 延长CF、OE交于点D：
已知$∠OEF=145°$，且$∠OEF+∠DEF=180°$，因此$∠DEF=180°-145°=35°$。
在△OCD中，三角形内角和为180°，因此$∠D=180°-∠EOC-∠C=180°-80°-65°=35°$。
可得$∠D=∠DEF$，根据等角对等边的性质，$DF=EF=78\ \mathrm{m}$。
因此$CD=DF+CF=78+127=205\ \mathrm{m}$，结合(1)的结论$AB=CD$，可得AB的长度为205m。
【答案】
(1) 理由:在△ABO和△CDO中,$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠AOB=∠COD, \\ BO=DO, \end{cases}$
所以△ABO≌△CDO(SAS),
所以AB=CD，故方案可行。
(2) 如图,延长CF,OE交于点D,
因为∠OEF=145°,所以∠DEF=35°.
因为∠EOC=80°,∠C=65°,
所以∠D=180°−∠EOC−∠C=35°,
所以∠D=∠DEF,
所以DF=EF=78 m,
所以CD=DF+CF=205(m),
由(1)知AB=CD=205 m,
故该建筑物两端A,B间的距离为205 m.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形判定
【点评】
本题结合实际测量场景考察几何知识的应用，既需要掌握全等三角形的判定和性质，也需要熟练运用等角对等边的规律，同时考察了构造辅助线将实际问题转化为几何模型的能力，实用性较强。
【难度系数】
0.7
