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【例1】如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10 m时，桥洞与水面的最大距离是5 m. 建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)因为上游水库泄洪，水面宽度变为6 m，求水面上涨的高度.
方法技巧 建立平面直角坐标系的原则：
(1)简洁性，所建立的坐标系使二次函数表达式比较简洁；(2)可化性，能将已知条件转化为抛物线上的一些点的坐标. 具体方法是要交代清楚坐标原点与坐标轴.
(1)求抛物线的表达式；
(2)因为上游水库泄洪，水面宽度变为6 m，求水面上涨的高度.
方法技巧 建立平面直角坐标系的原则：
(1)简洁性，所建立的坐标系使二次函数表达式比较简洁；(2)可化性，能将已知条件转化为抛物线上的一些点的坐标. 具体方法是要交代清楚坐标原点与坐标轴.
答案
(1) 如图，以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系
，根据题意，得A(5,0),C(0,5)。设抛物线的表达式为y=ax²+5，把A(5,0)代入，得a=-1/5，∴抛物线的表达式为y=-1/5 x²+5。
(2) 当x=3时，y=-1/5 ×3²+5=16/5，
∴当水面宽度变为6 m时，水面上涨的高度为16/5 m。
解析
【分析】
(1) 求解抛物线表达式首先要合理建立平面直角坐标系，按照简洁性原则，选择水面为x轴、抛物线顶点所在竖直直线为y轴建系，此时抛物线顶点在y轴上，可设形式简单的顶点式解析式；再将已知的顶点坐标和水面交点坐标代入，即可求出解析式参数。
(2) 水面宽度为6m时，水面与抛物线交点的横坐标为±3，将x=3代入已求出的抛物线表达式，得到的y值就是此时水面的高度，也就是相对原水面上涨的高度。
【解析】
(1) 以水面所在直线为x轴，桥洞抛物线顶点所在的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：抛物线顶点C坐标为(0,5)，水面与抛物线右交点A坐标为(5,0)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+5$，将A(5,0)代入解析式：
$0=a×5^2+5$
解得$a=-\frac{1}{5}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{5}x^2+5$。
(2) 当水面宽度变为6m时，水面与抛物线交点的横坐标为$\pm3$，将$x=3$代入抛物线表达式：
$y=-\frac{1}{5}×3^2+5=\frac{16}{5}$
该值即为水面相对原水面上涨的高度。
【答案】
(1) 如图，以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意，得A(5,0),C(0,5)。设抛物线的表达式为$y=ax^2+5$，把A(5,0)代入，得$a=-\frac{1}{5}$，
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{5}x^2+5$。
(2) 当x=3时，$y=-\frac{1}{5} ×3^2+5=\frac{16}{5}$，
∴当水面宽度变为6 m时，水面上涨的高度为$\frac{16}{5}$ m。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数建模的典型基础题，解题关键是合理建立坐标系将实际条件转化为数学坐标，再利用二次函数的性质解决实际问题，能有效考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线表达式首先要合理建立平面直角坐标系，按照简洁性原则，选择水面为x轴、抛物线顶点所在竖直直线为y轴建系，此时抛物线顶点在y轴上，可设形式简单的顶点式解析式；再将已知的顶点坐标和水面交点坐标代入，即可求出解析式参数。
(2) 水面宽度为6m时，水面与抛物线交点的横坐标为±3，将x=3代入已求出的抛物线表达式，得到的y值就是此时水面的高度，也就是相对原水面上涨的高度。
【解析】
(1) 以水面所在直线为x轴，桥洞抛物线顶点所在的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系
。由题意得：抛物线顶点C坐标为(0,5)，水面与抛物线右交点A坐标为(5,0)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+5$，将A(5,0)代入解析式：
$0=a×5^2+5$
解得$a=-\frac{1}{5}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{5}x^2+5$。
(2) 当水面宽度变为6m时，水面与抛物线交点的横坐标为$\pm3$，将$x=3$代入抛物线表达式：
$y=-\frac{1}{5}×3^2+5=\frac{16}{5}$
该值即为水面相对原水面上涨的高度。
【答案】
(1) 如图，以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系
，根据题意，得A(5,0),C(0,5)。设抛物线的表达式为$y=ax^2+5$，把A(5,0)代入，得$a=-\frac{1}{5}$，∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{5}x^2+5$。
(2) 当x=3时，$y=-\frac{1}{5} ×3^2+5=\frac{16}{5}$，
∴当水面宽度变为6 m时，水面上涨的高度为$\frac{16}{5}$ m。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数建模的典型基础题，解题关键是合理建立坐标系将实际条件转化为数学坐标，再利用二次函数的性质解决实际问题，能有效考查学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
【例2】如图，ABCD是一块边长为8 m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，$DG=2BE$，设BE的长为$x$ m.当$x$为何值时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大？并求出最大面积.
答案
设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为S m²，则S=(8-x)(8+2x)=-2x²+8x+64=-2(x-2)²+72，当x=2时，S有最大值72。答：当x=2时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72 m²。
解析
【分析】
要解决这个实际最值问题，我们可以按以下思路推导：第一步先确定矩形AEFG的两条邻边长度，已知正方形边长为8m，BE的长为x m，可得AE的长度为(8-x)m；由DG=2BE可知DG=2x m，因此AG的长度为(8+2x)m。第二步根据矩形面积公式列出面积关于x的函数关系式，该关系式为二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点对应函数的最大值，将二次函数配方为顶点式即可求出最值对应的x值和最大面积。
【解析】
设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为S m²。
根据题意：
AE = AB - BE = (8 - x) m，
AG = AD + DG = 8 + 2x m，
由矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=(8-x)(8+2x)\\&=-2x^2+8x+64\\&=-2(x-2)^2+72\end{aligned}$
∵二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且$0＜x＜8$，x=2符合实际意义
∴当x=2时，S取得最大值，最大值为72。
【答案】
当x=2时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72 m²。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心是结合题意列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
要解决这个实际最值问题，我们可以按以下思路推导：第一步先确定矩形AEFG的两条邻边长度，已知正方形边长为8m，BE的长为x m，可得AE的长度为(8-x)m；由DG=2BE可知DG=2x m，因此AG的长度为(8+2x)m。第二步根据矩形面积公式列出面积关于x的函数关系式，该关系式为二次函数，且二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点对应函数的最大值，将二次函数配方为顶点式即可求出最值对应的x值和最大面积。
【解析】
设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为S m²。
根据题意：
AE = AB - BE = (8 - x) m，
AG = AD + DG = 8 + 2x m，
由矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=(8-x)(8+2x)\\&=-2x^2+8x+64\\&=-2(x-2)^2+72\end{aligned}$
∵二次项系数$-2＜0$，抛物线开口向下，且$0＜x＜8$，x=2符合实际意义
∴当x=2时，S取得最大值，最大值为72。
【答案】
当x=2时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72 m²。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心是结合题意列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
【例3】某超市销售一种文具，进价为5元/件.在销售过程中发现，当售价为6元/件时，日销售量为100件，每件文具售价每上涨0.5元，日销售量就减少5件.设文具的售价为x元/件时（$x≥6$，且x是按0.5元的倍数上涨），日销售利润为y元.
(1)求y关于x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若每件文具的利润不超过进价的80%，要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应定为多少元？并求出最大利润.
(1)求y关于x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若每件文具的利润不超过进价的80%，要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应定为多少元？并求出最大利润.
答案
(1) 根据题意，得y=(x-5)[100-(x-6)÷0.5×5]=-10x²+210x-800，
∴y关于x的函数表达式为y=-10x²+210x-800。
(2)
∵每件文具的利润不超过进价的80%，
∴x-5≤5×80%，解得x≤9，
∴每件文具的售价x的取值范围是6≤x≤9。由(1)，得y=-10x²+210x-800=-10(x-21/2)²+605/2，
∵此抛物线的对称轴为直线x=21/2，开口向下，
∴当6≤x≤9时，y随x的增大而增大，
∴当x=9时，y取得最大值，此时y=-10×(9-21/2)²+605/2=280。故要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应定为9元，最大利润为280元。
∴y关于x的函数表达式为y=-10x²+210x-800。
(2)
∵每件文具的利润不超过进价的80%，
∴x-5≤5×80%，解得x≤9，
∴每件文具的售价x的取值范围是6≤x≤9。由(1)，得y=-10x²+210x-800=-10(x-21/2)²+605/2，
∵此抛物线的对称轴为直线x=21/2，开口向下，
∴当6≤x≤9时，y随x的增大而增大，
∴当x=9时，y取得最大值，此时y=-10×(9-21/2)²+605/2=280。故要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应定为9元，最大利润为280元。
解析
【分析】
(1) 解第一问先回忆销售问题的核心公式：总利润=单件利润×日销售量。首先确定单件利润为售价减进价，即(x-5)元；再推导日销售量：售价从6元涨到x元，共上涨(x-6)元，每涨0.5元少卖5件，因此减少的销量为[(x-6)÷0.5]×5件，实际日销量就是初始销量100件减去减少的销量，将两个量相乘后化简即可得到函数表达式。
(2) 解第二问首先根据“每件利润不超过进价的80%”列不等式，求出售价x的取值范围；再将第一问得到的二次函数化为顶点式，结合抛物线开口方向和对称轴，判断函数在x的取值范围内的增减性，即可找到最大利润对应的售价和最大利润值。
【解析】
(1) 根据题意，单件利润为(x-5)元，日销售量为$100-\frac{x-6}{0.5}×5$件，因此总利润：
$y=(x-5)[100-(x-6)÷0.5×5]$
化简得：$y=-10x^2+210x-800$
(2) 由每件文具的利润不超过进价的80%，列不等式：
$x-5≤5×80\%$
解得$x≤9$，结合题中$x≥6$，得售价的取值范围为$6≤ x≤9$。
将(1)中函数化为顶点式：
$y=-10x^2+210x-800=-10(x-\frac{21}{2})^2+\frac{605}{2}$
该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=\frac{21}{2}=10.5$，因此当$6≤ x≤9$时，$y$随$x$的增大而增大。
则当$x=9$时，$y$取最大值，代入计算：
$y=-10×(9-\frac{21}{2})^2+\frac{605}{2}=280$
【答案】
(1) $y=-10x^2+210x-800$
(2) 每件文具的售价应定为9元，最大日销售利润为280元。
【知识点】
1. 二次函数的应用
2. 二次函数的图象与性质
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的销售类利润最值问题，解题关键是找准销售问题中的数量关系，正确列出二次函数表达式，要注意自变量的取值范围会影响最值的取值，不能直接套用顶点坐标求解，需结合函数增减性判断。
【难度系数】
0.6
(1) 解第一问先回忆销售问题的核心公式：总利润=单件利润×日销售量。首先确定单件利润为售价减进价，即(x-5)元；再推导日销售量：售价从6元涨到x元，共上涨(x-6)元，每涨0.5元少卖5件，因此减少的销量为[(x-6)÷0.5]×5件，实际日销量就是初始销量100件减去减少的销量，将两个量相乘后化简即可得到函数表达式。
(2) 解第二问首先根据“每件利润不超过进价的80%”列不等式，求出售价x的取值范围；再将第一问得到的二次函数化为顶点式，结合抛物线开口方向和对称轴，判断函数在x的取值范围内的增减性，即可找到最大利润对应的售价和最大利润值。
【解析】
(1) 根据题意，单件利润为(x-5)元，日销售量为$100-\frac{x-6}{0.5}×5$件，因此总利润：
$y=(x-5)[100-(x-6)÷0.5×5]$
化简得：$y=-10x^2+210x-800$
(2) 由每件文具的利润不超过进价的80%，列不等式：
$x-5≤5×80\%$
解得$x≤9$，结合题中$x≥6$，得售价的取值范围为$6≤ x≤9$。
将(1)中函数化为顶点式：
$y=-10x^2+210x-800=-10(x-\frac{21}{2})^2+\frac{605}{2}$
该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=\frac{21}{2}=10.5$，因此当$6≤ x≤9$时，$y$随$x$的增大而增大。
则当$x=9$时，$y$取最大值，代入计算：
$y=-10×(9-\frac{21}{2})^2+\frac{605}{2}=280$
【答案】
(1) $y=-10x^2+210x-800$
(2) 每件文具的售价应定为9元，最大日销售利润为280元。
【知识点】
1. 二次函数的应用
2. 二次函数的图象与性质
3. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的销售类利润最值问题，解题关键是找准销售问题中的数量关系，正确列出二次函数表达式，要注意自变量的取值范围会影响最值的取值，不能直接套用顶点坐标求解，需结合函数增减性判断。
【难度系数】
0.6
