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【例】用配方法解下列方程：
(1)$2x^2 - 3x - 4 = 0$；
(2)$6x^2 - 2x - 1 = 0$。
(1)$2x^2 - 3x - 4 = 0$；
(2)$6x^2 - 2x - 1 = 0$。
答案
解:(1)$2x^2 - 3x=4$,
$x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=2+(\frac{3}{4})^2$,
$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{41}{16}$
$\therefore x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{41}}{4}$,
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$.
(2)将二次项系数化为 1,得 $x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}=0$,
配方,得 $x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}-\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=0$,即 $(x-\frac{1}{6})^2=\frac{7}{36}$,
$\therefore x-\frac{1}{6}=\pm\frac{\sqrt{7}}{6}$,
$\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{6},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{6}$.
$x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=2+(\frac{3}{4})^2$,
$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{41}{16}$
$\therefore x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{41}}{4}$,
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$.
(2)将二次项系数化为 1,得 $x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}=0$,
配方,得 $x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}-\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=0$,即 $(x-\frac{1}{6})^2=\frac{7}{36}$,
$\therefore x-\frac{1}{6}=\pm\frac{\sqrt{7}}{6}$,
$\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{6},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{6}$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：第一步先移项，把常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；第二步将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；第三步配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；第四步直接开平方，若等号右侧为非负数，即可转化为两个一元一次方程求解。本题两个小题均按照该思路逐步计算即可，计算时注意分数运算和符号处理。
【解析】
(1) 移项，得$2x^2 - 3x=4$，
二次项系数化为1并配方，得$x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=2+(\frac{3}{4})^2$，
整理得$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{41}{16}$，
开平方得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{41}}{4}$，
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
(2) 二次项系数化为1，得 $x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}=0$，
配方，得 $x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}-\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=0$，即 $(x-\frac{1}{6})^2=\frac{7}{36}$，
开平方得$x-\frac{1}{6}=\pm\frac{\sqrt{7}}{6}$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{6},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{6}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$；(2)$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{6},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作流程，解题时需准确计算一次项系数一半的平方，注意分数运算的准确性，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.75
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：第一步先移项，把常数项移到等号右侧，含未知数的项留在左侧；第二步将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；第三步配方，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式；第四步直接开平方，若等号右侧为非负数，即可转化为两个一元一次方程求解。本题两个小题均按照该思路逐步计算即可，计算时注意分数运算和符号处理。
【解析】
(1) 移项，得$2x^2 - 3x=4$，
二次项系数化为1并配方，得$x^2-\frac{3}{2}x+(\frac{3}{4})^2=2+(\frac{3}{4})^2$，
整理得$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{41}{16}$，
开平方得$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{41}}{4}$，
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
(2) 二次项系数化为1，得 $x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}=0$，
配方，得 $x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}-\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=0$，即 $(x-\frac{1}{6})^2=\frac{7}{36}$，
开平方得$x-\frac{1}{6}=\pm\frac{\sqrt{7}}{6}$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{6},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{6}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$；(2)$x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{6},x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作流程，解题时需准确计算一次项系数一半的平方，注意分数运算的准确性，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.75
【变式1】(2025眉山期末)将方程$2x^2 -12x +1=0$配方成$(x - m)^2 =n$的形式，下列配方结果正确的是（
A.$(x+3)^2=17$
B.$(x+3)^2=\frac{17}{2}$
C.$(x-3)^2=17$
D.$(x-3)^2=\frac{17}{2}$
D
）A.$(x+3)^2=17$
B.$(x+3)^2=\frac{17}{2}$
C.$(x-3)^2=17$
D.$(x-3)^2=\frac{17}{2}$
答案
D
解析
【分析】
要将给定的一元二次方程配方成$(x - m)^2 =n$的形式，需按照配方法的标准步骤操作：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到方程右侧，第三步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式，最后整理得到结果。也可先通过一次项的符号缩小选项范围：原方程一次项系数为-12，二次项系数化为1后一次项系数为-6，因此配方后完全平方的括号内应为$x-3$，可直接排除A、B选项，再计算右侧常数项即可确定答案。
【解析】
解：对原方程$2x^2 -12x +1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 6x + \frac{1}{2}=0$
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2 - 6x = -\frac{1}{2}$
3. 配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为-6，一半为-3，平方为9，因此两边加9：
左边整理为完全平方形式：$x^2 -6x +9 = (x-3)^2$
右边计算常数项：$-\frac{1}{2} +9 = \frac{17}{2}$
因此配方结果为$(x-3)^2=\frac{17}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题时要严格遵循配方法的操作步骤，特别注意一次项系数的符号以及常数项的计算，避免因符号或计算错误选错答案。
【难度系数】
0.8
要将给定的一元二次方程配方成$(x - m)^2 =n$的形式，需按照配方法的标准步骤操作：第一步先将二次项系数化为1，第二步将常数项移到方程右侧，第三步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式，最后整理得到结果。也可先通过一次项的符号缩小选项范围：原方程一次项系数为-12，二次项系数化为1后一次项系数为-6，因此配方后完全平方的括号内应为$x-3$，可直接排除A、B选项，再计算右侧常数项即可确定答案。
【解析】
解：对原方程$2x^2 -12x +1=0$进行配方：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 6x + \frac{1}{2}=0$
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2 - 6x = -\frac{1}{2}$
3. 配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为-6，一半为-3，平方为9，因此两边加9：
左边整理为完全平方形式：$x^2 -6x +9 = (x-3)^2$
右边计算常数项：$-\frac{1}{2} +9 = \frac{17}{2}$
因此配方结果为$(x-3)^2=\frac{17}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法在一元二次方程变形中的应用，解题时要严格遵循配方法的操作步骤，特别注意一次项系数的符号以及常数项的计算，避免因符号或计算错误选错答案。
【难度系数】
0.8
【变式2】用配方法解下列方程：
(1)$4x^2=-2x+1$；
(2)$(x-3)(2x+1)=-5$。
(1)$4x^2=-2x+1$；
(2)$(x-3)(2x+1)=-5$。
答案
解:(1)$4x^2 + 2x=1$,
$x^2+\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$,
$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$,
$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{5}{16}$,
$x+\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$.
(2)原方程可化为 $x^2-\frac{5}{2}x+1=0$,
配方,得 $x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}+1-\frac{25}{16}=0$,即 $(x-\frac{5}{4})^2=\frac{9}{16}$,
$\therefore x-\frac{5}{4}=\pm\frac{3}{4}$,
$\therefore x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$.
$x^2+\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$,
$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$,
$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{5}{16}$,
$x+\frac{1}{4}=\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$.
(2)原方程可化为 $x^2-\frac{5}{2}x+1=0$,
配方,得 $x^2-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}+1-\frac{25}{16}=0$,即 $(x-\frac{5}{4})^2=\frac{9}{16}$,
$\therefore x-\frac{5}{4}=\pm\frac{3}{4}$,
$\therefore x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再通过直接开平方求解，具体步骤如下：①先将方程整理为含未知数的项在左边、常数项在右边的形式；②将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；④两边直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可。
针对(1)：先移项把含x的项移到等号左侧，再按上述配方法步骤操作即可；针对(2)：先将左边的多项式乘积展开，整理为一元二次方程的一般形式，再按配方法步骤求解。
【解析】
(1) 移项，得：$4x^2 + 2x = 1$
将二次项系数化为1，两边同时除以4，得：$x^2 + \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}$
配方，两边同时加上一次项系数$\frac{1}{2}$一半的平方$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$
即$(x + \frac{1}{4})^2 = \frac{5}{16}$
两边开平方，得：$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$
解得：$x_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$，$x_2 = \frac{-\sqrt{5} - 1}{4}$
(2) 先展开左边乘积，得：$2x^2 + x - 6x - 3 = -5$
整理合并同类项，得：$2x^2 - 5x + 2 = 0$
将二次项系数化为1，两边同时除以2，得：$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$
移项，得：$x^2 - \frac{5}{2}x = -1$
配方，两边同时加上一次项系数$-\frac{5}{2}$一半的平方$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，得：
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = -1 + \frac{25}{16}$
即$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$
两边开平方，得：$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得：$x_1 = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = 2$，$x_2 = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$；
(2) $x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时等式两边必须同时加上一次项系数一半的平方，展开多项式乘积时不要漏乘、错项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再通过直接开平方求解，具体步骤如下：①先将方程整理为含未知数的项在左边、常数项在右边的形式；②将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；④两边直接开平方得到两个一元一次方程，求解即可。
针对(1)：先移项把含x的项移到等号左侧，再按上述配方法步骤操作即可；针对(2)：先将左边的多项式乘积展开，整理为一元二次方程的一般形式，再按配方法步骤求解。
【解析】
(1) 移项，得：$4x^2 + 2x = 1$
将二次项系数化为1，两边同时除以4，得：$x^2 + \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}$
配方，两边同时加上一次项系数$\frac{1}{2}$一半的平方$(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$
即$(x + \frac{1}{4})^2 = \frac{5}{16}$
两边开平方，得：$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$
解得：$x_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$，$x_2 = \frac{-\sqrt{5} - 1}{4}$
(2) 先展开左边乘积，得：$2x^2 + x - 6x - 3 = -5$
整理合并同类项，得：$2x^2 - 5x + 2 = 0$
将二次项系数化为1，两边同时除以2，得：$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$
移项，得：$x^2 - \frac{5}{2}x = -1$
配方，两边同时加上一次项系数$-\frac{5}{2}$一半的平方$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，得：
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = -1 + \frac{25}{16}$
即$(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}$
两边开平方，得：$x - \frac{5}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得：$x_1 = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = 2$，$x_2 = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$；
(2) $x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时等式两边必须同时加上一次项系数一半的平方，展开多项式乘积时不要漏乘、错项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
1. 用配方法解方程 $3x^2 -6x +1=0$，则方程可变形为（
A.$(x-3)^2=\frac{1}{3}$
B.$(x-1)^2=\frac{1}{3}$
C.$(3x-1)^2=1$
D.$(x-1)^2=\frac{2}{3}$
D
）A.$(x-3)^2=\frac{1}{3}$
B.$(x-1)^2=\frac{1}{3}$
C.$(3x-1)^2=1$
D.$(x-1)^2=\frac{2}{3}$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题遵循配方法的标准步骤：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，最后整理得到变形后的方程，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$3x^2 -6x +1=0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2 - 2x + \frac{1}{3}=0$；
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2 -2x = -\frac{1}{3}$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，方程两边同时加1，得$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{3} +1$；
4. 整理：左侧写成完全平方式，右侧计算结果，得$(x-1)^2=\frac{2}{3}$。
综上可知D选项符合变形结果。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，重点要求熟练掌握配方法的操作流程，尤其注意二次项系数不为1时，必须先将二次项系数化为1再进行配方，计算右侧常数项时要注意符号问题。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法变形一元二次方程，解题遵循配方法的标准步骤：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程右侧，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，最后整理得到变形后的方程，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$3x^2 -6x +1=0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2 - 2x + \frac{1}{3}=0$；
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2 -2x = -\frac{1}{3}$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，方程两边同时加1，得$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{3} +1$；
4. 整理：左侧写成完全平方式，右侧计算结果，得$(x-1)^2=\frac{2}{3}$。
综上可知D选项符合变形结果。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础考查题型，重点要求熟练掌握配方法的操作流程，尤其注意二次项系数不为1时，必须先将二次项系数化为1再进行配方，计算右侧常数项时要注意符号问题。
【难度系数】
0.8
2. 数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），第一位同学完成一步解答后接着第二位同学上黑板计算……依次进行，最后完成计算。规则是每人只能看到前一名同学的计算结果。接力计算中，出现错误的同学是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2. B
解析
【分析】
要判断接力中哪位同学出错，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤，结合等式的性质，依次核对每位同学的计算是否符合规则：配方法解一元二次方程的步骤为移项→二次项系数化为1→配方→开方求解，逐一验证每一步运算即可锁定错误步骤。
【解析】
我们依次检查四位同学的计算步骤：
1. 检查甲的步骤：原方程为$2x^2+4x-1=0$，将常数项移到等号右侧（移项变号），得$2x^2+4x=1$，甲的计算符合移项规则，结果正确。
2. 检查乙的步骤：承接甲的结果$2x^2+4x=1$，下一步需将二次项系数化为1，方程两边应同时除以2，计算得$x^2+2x=\frac{1}{2}$，但乙给出的结果是$x^2+2x=1$，漏除了等号右侧的常数项，计算错误。
3. 检查丙的步骤：承接乙的结果$x^2+2x=1$，配方时等号两边同时加一次项系数一半的平方（一次项系数为2，一半的平方是1），得$x^2+2x+1=2$，即$(x+1)^2=2$，丙的运算符合前一步的逻辑，无错误。
4. 检查丁的步骤：承接丙的结果$(x+1)^2=2$，开平方得$x+1=\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$，丁的运算符合前一步的逻辑，无错误。
因此出现错误的同学是乙。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的性质
【点评】
本题针对配方法解方程的易错点设置，解题时要注意二次项系数化为1时，等号两边的所有项都要除以二次项系数，避免漏除常数项造成错误。
【难度系数】
0.7
要判断接力中哪位同学出错，需按照配方法解一元二次方程的标准步骤，结合等式的性质，依次核对每位同学的计算是否符合规则：配方法解一元二次方程的步骤为移项→二次项系数化为1→配方→开方求解，逐一验证每一步运算即可锁定错误步骤。
【解析】
我们依次检查四位同学的计算步骤：
1. 检查甲的步骤：原方程为$2x^2+4x-1=0$，将常数项移到等号右侧（移项变号），得$2x^2+4x=1$，甲的计算符合移项规则，结果正确。
2. 检查乙的步骤：承接甲的结果$2x^2+4x=1$，下一步需将二次项系数化为1，方程两边应同时除以2，计算得$x^2+2x=\frac{1}{2}$，但乙给出的结果是$x^2+2x=1$，漏除了等号右侧的常数项，计算错误。
3. 检查丙的步骤：承接乙的结果$x^2+2x=1$，配方时等号两边同时加一次项系数一半的平方（一次项系数为2，一半的平方是1），得$x^2+2x+1=2$，即$(x+1)^2=2$，丙的运算符合前一步的逻辑，无错误。
4. 检查丁的步骤：承接丙的结果$(x+1)^2=2$，开平方得$x+1=\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$，丁的运算符合前一步的逻辑，无错误。
因此出现错误的同学是乙。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的性质
【点评】
本题针对配方法解方程的易错点设置，解题时要注意二次项系数化为1时，等号两边的所有项都要除以二次项系数，避免漏除常数项造成错误。
【难度系数】
0.7
