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1. 探索并证明三角形内角和定理。
2. 通过观察、实验归纳出三角形的性质，并能用数学语言证明三角形内角和定理。
3. 学会转化思想在几何中的应用，提升抽象能力、推理能力。
自主导学
三角形的内角和等于
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2. 通过观察、实验归纳出三角形的性质，并能用数学语言证明三角形内角和定理。
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自主导学
三角形的内角和等于
180°
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答案
1. 180°
解析
【分析】
这道题考查三角形内角和定理的基础识记与推导思路。我们可以先从实验探究的角度思考：将三角形的三个内角剪下拼接，可发现三个角能凑成一个平角，而平角的度数为180°；也可以通过几何证明的思路，利用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为平角，从而推导得出三个内角的和的数值。
【解析】
我们可以通过两种方式验证推导：
1. 实验操作：任意剪一个三角形，将三个内角撕下来拼在同一个顶点处，会发现三个角刚好组成一个平角，平角的度数为180°，因此可初步得出三角形内角和为180°。
2. 几何证明：已知△ABC，过点A作直线EF平行于BC。根据平行线的性质，可得∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。因为∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角的定义），等量代换可得∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形内角和等于180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题是三角形内角相关的基础题型，推导过程中用到的转化思想是几何证明的常用思想，掌握该定理是后续学习多边形内角和、三角形外角性质等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形内角和定理的基础识记与推导思路。我们可以先从实验探究的角度思考：将三角形的三个内角剪下拼接，可发现三个角能凑成一个平角，而平角的度数为180°；也可以通过几何证明的思路，利用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为平角，从而推导得出三个内角的和的数值。
【解析】
我们可以通过两种方式验证推导：
1. 实验操作：任意剪一个三角形，将三个内角撕下来拼在同一个顶点处，会发现三个角刚好组成一个平角，平角的度数为180°，因此可初步得出三角形内角和为180°。
2. 几何证明：已知△ABC，过点A作直线EF平行于BC。根据平行线的性质，可得∠EAB=∠B，∠FAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。因为∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角的定义），等量代换可得∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形内角和等于180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题是三角形内角相关的基础题型，推导过程中用到的转化思想是几何证明的常用思想，掌握该定理是后续学习多边形内角和、三角形外角性质等内容的重要基础。
【难度系数】
0.9
例 如图13.3-1所示，在$△ ABC$中，$∠ CAB=∠ B=2∠ C$，AD是$∠ BAC$的平分线，求$∠ ADC$的度数。
解 设$∠ C=x°$，那么$∠ BAC=∠ B=(2x)°$。由三角形内角和定理，得$∠ C+∠ BAC+∠ B=180°$，即$x+2x+2x=180$，解得$x=36$。所以$∠ C=36°$。在$△ ADC$中，$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=∠ C=36°$，所以$∠ ADC=180°-36°-36°=108°$。
方法感悟 三角形的内角和定理是确定角之间关系的一个重要依据，往往作为一个隐含条件提供角之间的等量关系。
解 设$∠ C=x°$，那么$∠ BAC=∠ B=(2x)°$。由三角形内角和定理，得$∠ C+∠ BAC+∠ B=180°$，即$x+2x+2x=180$，解得$x=36$。所以$∠ C=36°$。在$△ ADC$中，$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=∠ C=36°$，所以$∠ ADC=180°-36°-36°=108°$。
方法感悟 三角形的内角和定理是确定角之间关系的一个重要依据，往往作为一个隐含条件提供角之间的等量关系。
答案
解：设$∠ C = x°$，则$∠ CAB = ∠ B = 2x°$。
根据三角形内角和定理，得
$∠ C + ∠ CAB + ∠ B = 180°$，
即$x + 2x + 2x = 180$，
解得$x = 36$，
$\therefore ∠ C = 36°$，$∠ BAC = 72°$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = 36°$。
在$△ ADC$中，
$∠ ADC = 180° - ∠ C - ∠ DAC = 180° - 36° - 36° = 108°$。
$\therefore ∠ ADC$的度数为$108°$。
根据三角形内角和定理，得
$∠ C + ∠ CAB + ∠ B = 180°$，
即$x + 2x + 2x = 180$，
解得$x = 36$，
$\therefore ∠ C = 36°$，$∠ BAC = 72°$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = 36°$。
在$△ ADC$中，
$∠ ADC = 180° - ∠ C - ∠ DAC = 180° - 36° - 36° = 108°$。
$\therefore ∠ ADC$的度数为$108°$。
解析
【分析】
题目给出了△ABC三个内角的倍数关系，要求∠ADC的度数，解题思路如下：首先利用三角形内角和为180°的隐含等量关系，通过设未知数的方式先求出△ABC各内角的度数；再根据角平分线的定义求出∠DAC的度数；最后在△ADC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
设$∠ C = x°$，则$∠ CAB = ∠ B = 2x°$。
根据三角形内角和定理，得
$∠ C + ∠ CAB + ∠ B = 180°$，
即$x + 2x + 2x = 180$，
解得$x = 36$，
$\therefore ∠ C = 36°$，$∠ BAC = 72°$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = 36°$。
在$△ ADC$中，
$∠ ADC = 180° - ∠ C - ∠ DAC = 180° - 36° - 36° = 108°$。
【答案】
$∠ ADC$的度数为$108°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题关键是合理利用三角形内角和定理建立方程求解基础角度，再结合角平分线的性质转化待求三角形的内角，进而求出目标角的度数，其中方程思想在角度计算中的应用需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
题目给出了△ABC三个内角的倍数关系，要求∠ADC的度数，解题思路如下：首先利用三角形内角和为180°的隐含等量关系，通过设未知数的方式先求出△ABC各内角的度数；再根据角平分线的定义求出∠DAC的度数；最后在△ADC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
设$∠ C = x°$，则$∠ CAB = ∠ B = 2x°$。
根据三角形内角和定理，得
$∠ C + ∠ CAB + ∠ B = 180°$，
即$x + 2x + 2x = 180$，
解得$x = 36$，
$\therefore ∠ C = 36°$，$∠ BAC = 72°$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = 36°$。
在$△ ADC$中，
$∠ ADC = 180° - ∠ C - ∠ DAC = 180° - 36° - 36° = 108°$。
【答案】
$∠ ADC$的度数为$108°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题关键是合理利用三角形内角和定理建立方程求解基础角度，再结合角平分线的性质转化待求三角形的内角，进而求出目标角的度数，其中方程思想在角度计算中的应用需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
1. 如图
，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，$DE // BC$，若$∠ B=70°$，$∠ AED=50°$，则$∠ A$的度数为（
A.$50°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$60°$
，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，$DE // BC$，若$∠ B=70°$，$∠ AED=50°$，则$∠ A$的度数为（D
）。A.$50°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$60°$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先结合已知条件$DE// BC$，根据平行线的性质可推出同位角$∠ C$和$∠ AED$相等，得到$∠ C$的度数；再利用三角形内角和为$180°$的定理，已知$∠ B$和$∠ C$的度数，即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ C=∠ AED=50°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-50°=60°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，考查平行线性质与三角形内角和定理的综合应用，解题关键是利用平行线的性质将已知角转化为三角形的内角，再代入内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件$DE// BC$，根据平行线的性质可推出同位角$∠ C$和$∠ AED$相等，得到$∠ C$的度数；再利用三角形内角和为$180°$的定理，已知$∠ B$和$∠ C$的度数，即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ C=∠ AED=50°$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-70°-50°=60°$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，考查平行线性质与三角形内角和定理的综合应用，解题关键是利用平行线的性质将已知角转化为三角形的内角，再代入内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.8
2. 如图13.3-3，一块三角尺叠放在直尺上，则$∠1 + ∠2$等于（
A.$60°$
B.$90°$
C.$75°$
D.$105°$
B
）。A.$60°$
B.$90°$
C.$75°$
D.$105°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先明确直尺的对边互相平行，三角尺的直角为90°。我们可以先通过对顶角相等，将∠1、∠2转化为和三角尺直角在同一个三角形中的两个内角，再结合三角形内角和定理，即可求出∠1+∠2的度数。思考路径：先找已知的平行关系和固定角度→将未知角和已知角度建立关联→利用几何定理计算和。
【解析】
解：设∠1的对顶角为∠α，∠2的对顶角为∠β，三角尺的直角为∠γ=90°。
∵ 直尺的上下两条对边互相平行，根据对顶角相等可得：∠1=∠α，∠2=∠β，
又
∵ ∠α、∠β、∠γ是同一个三角形的三个内角，根据三角形内角和定理：
$∠α+∠β+∠\gamma=180°$，
∴ $∠α+∠β=180°-∠\gamma=180°-90°=90°$，
通过等量代换可得：$∠1+∠2=90°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是利用对顶角的性质，将待求的两个角转化到含直角的三角形中，结合三角形内角和定理求解，是角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确直尺的对边互相平行，三角尺的直角为90°。我们可以先通过对顶角相等，将∠1、∠2转化为和三角尺直角在同一个三角形中的两个内角，再结合三角形内角和定理，即可求出∠1+∠2的度数。思考路径：先找已知的平行关系和固定角度→将未知角和已知角度建立关联→利用几何定理计算和。
【解析】
解：设∠1的对顶角为∠α，∠2的对顶角为∠β，三角尺的直角为∠γ=90°。
∵ 直尺的上下两条对边互相平行，根据对顶角相等可得：∠1=∠α，∠2=∠β，
又
∵ ∠α、∠β、∠γ是同一个三角形的三个内角，根据三角形内角和定理：
$∠α+∠β+∠\gamma=180°$，
∴ $∠α+∠β=180°-∠\gamma=180°-90°=90°$，
通过等量代换可得：$∠1+∠2=90°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是利用对顶角的性质，将待求的两个角转化到含直角的三角形中，结合三角形内角和定理求解，是角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.8
3. 在$△ ABC$中，$∠ A=3∠ B=3∠ C$，则$∠ B$的度数为（
A.$72°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$30°$
C
）.A.$72°$
B.$45°$
C.$36°$
D.$30°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。先根据已知条件梳理三个角的数量关系：由∠A=3∠B=3∠C可得∠A是∠B的3倍，且∠C=∠B，因此可以把三个角都用∠B表示，再代入内角和公式列方程求解即可。
【解析】
设∠B的度数为x，
∵ ∠A=3∠B=3∠C，
∴ ∠A=3x，∠C=x，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
代入得：3x + x + x = 180°
合并同类项得：5x = 180°
解得：x = 36°
即∠B=36°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角度等量代换
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，解题核心是将多个未知角转化为同一个未知量，结合内角和公式建立方程求解，难度较低，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。先根据已知条件梳理三个角的数量关系：由∠A=3∠B=3∠C可得∠A是∠B的3倍，且∠C=∠B，因此可以把三个角都用∠B表示，再代入内角和公式列方程求解即可。
【解析】
设∠B的度数为x，
∵ ∠A=3∠B=3∠C，
∴ ∠A=3x，∠C=x，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
代入得：3x + x + x = 180°
合并同类项得：5x = 180°
解得：x = 36°
即∠B=36°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角度等量代换
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，解题核心是将多个未知角转化为同一个未知量，结合内角和公式建立方程求解，难度较低，掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 如图13.3-4，点E，D分别在AB，AC上，若∠B=30°，∠C=55°，则∠1+∠2的度数为（
A.85°
B.80°
C.75°
D.70°
A
）。A.85°
B.80°
C.75°
D.70°
答案
4. A
解析
【分析】
本题考查三角形内角和定理的应用，解题思路如下：首先回忆三角形内角和为180°，观察图形可知△ABC和△AED有公共角∠A，因此两个三角形中除∠A外的另外两个内角的和相等，即∠1+∠2=∠B+∠C，直接代入已知角度计算即可；也可以先求出∠A的度数，再代入△AED的内角和公式计算∠1+∠2的和。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和等于180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B=30°$，$∠ C=55°$，代入得：
$∠ A = 180° - 30° - 55° = 95°$
再在△AED中，根据三角形内角和等于180°，可得：
$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
将$∠ A=95°$代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 95° = 85°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，通过公共角建立两个三角形内角和的关联可简化计算步骤，解题时注意观察图形的公共角、公共边等隐含条件，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
本题考查三角形内角和定理的应用，解题思路如下：首先回忆三角形内角和为180°，观察图形可知△ABC和△AED有公共角∠A，因此两个三角形中除∠A外的另外两个内角的和相等，即∠1+∠2=∠B+∠C，直接代入已知角度计算即可；也可以先求出∠A的度数，再代入△AED的内角和公式计算∠1+∠2的和。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和等于180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ B=30°$，$∠ C=55°$，代入得：
$∠ A = 180° - 30° - 55° = 95°$
再在△AED中，根据三角形内角和等于180°，可得：
$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
将$∠ A=95°$代入得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 95° = 85°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，通过公共角建立两个三角形内角和的关联可简化计算步骤，解题时注意观察图形的公共角、公共边等隐含条件，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.85
5. 如图13.3-5，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCE=40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADC的度数为（
A.100°
B.90°
C.80°
D.50°
C
）。A.100°
B.90°
C.80°
D.50°
答案
5. C
解析
【分析】
要计算∠ADC的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用CE⊥AB的垂直关系，结合已知的∠BCE，通过三角形内角和定理求出∠B的度数；再根据AD平分∠BAC的条件，求出∠BAD的度数；最后利用三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），∠ADC是△ABD的外角，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠B=180°-∠BEC-∠BCE=180°-90°-40°=50°。
2. 求∠BAD的度数：
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=½∠BAC=½×60°=30°。
3. 求∠ADC的度数：
∵∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=50°+30°=80°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是理清角度之间的关系，灵活运用三角形内角和、外角性质以及角平分线的性质进行推导，熟练掌握相关基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要计算∠ADC的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用CE⊥AB的垂直关系，结合已知的∠BCE，通过三角形内角和定理求出∠B的度数；再根据AD平分∠BAC的条件，求出∠BAD的度数；最后利用三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），∠ADC是△ABD的外角，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°。
在△BEC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠B=180°-∠BEC-∠BCE=180°-90°-40°=50°。
2. 求∠BAD的度数：
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=½∠BAC=½×60°=30°。
3. 求∠ADC的度数：
∵∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=50°+30°=80°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是理清角度之间的关系，灵活运用三角形内角和、外角性质以及角平分线的性质进行推导，熟练掌握相关基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
