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5. 下面四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是（
B
）。答案
5. B
解析
【分析】
要判断线段BE是否为三角形ABC的高，首先需要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。我们需要逐个验证四个选项中的BE是否同时满足两个条件：①过顶点B；②垂直于AC边（或AC所在的直线），垂足为E，满足这两个条件的就是正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义可知，若BE是△ABC的高，需同时满足：BE过顶点B，且BE与AC边（或AC所在直线）垂直，垂足为E。
选项A：BE垂直于AB，不与AC垂直，不符合高的定义，排除；
选项B：BE过顶点B，且BE⊥AC，垂足E在AC边上，符合高的定义，当选；
选项C：BE垂直于BC，不与AC所在直线垂直，不符合高的定义，排除；
选项D：BE垂直于AB，不与AC所在直线垂直，不符合高的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形高的概念的掌握，注意判断高时要同时满足“过对应顶点”“垂直于对边所在直线”两个条件，不要被三角形的形状干扰判断。
【难度系数】
0.8
要判断线段BE是否为三角形ABC的高，首先需要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形这条边上的高。我们需要逐个验证四个选项中的BE是否同时满足两个条件：①过顶点B；②垂直于AC边（或AC所在的直线），垂足为E，满足这两个条件的就是正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义可知，若BE是△ABC的高，需同时满足：BE过顶点B，且BE与AC边（或AC所在直线）垂直，垂足为E。
选项A：BE垂直于AB，不与AC垂直，不符合高的定义，排除；
选项B：BE过顶点B，且BE⊥AC，垂足E在AC边上，符合高的定义，当选；
选项C：BE垂直于BC，不与AC所在直线垂直，不符合高的定义，排除；
选项D：BE垂直于AB，不与AC所在直线垂直，不符合高的定义，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形高的概念的掌握，注意判断高时要同时满足“过对应顶点”“垂直于对边所在直线”两个条件，不要被三角形的形状干扰判断。
【难度系数】
0.8
6. 如图13.2-6，$AH ⊥ BC$，$M$为$BC$上一点，则以$AH$为高的三角形的个数是（
A.6
B.5
C.4
D.3
A
）。A.6
B.5
C.4
D.3
答案
6. A
解析
【分析】
解题的核心是先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。已知AH⊥BC，因此所有以A为顶点、另两个顶点在BC边上的三角形，AH都是它们的高，接下来只需数出BC边上共有多少条不同线段，每条线段对应一个以A为顶点的三角形，即可得到结果。
【解析】
∵ AH⊥BC，
∴ 所有以A为顶点，且有一条边在直线BC上的三角形，AH都是该三角形BC边上的高。
BC边上共有B、M、H、C4个点，可组成的线段总数为$\frac{4×(4-1)}{2}=6$条，分别对应△ABM、△ABH、△ABC、△AMH、△AMC、△AHC，共6个三角形。
因此以AH为高的三角形的个数是6。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义；线段计数
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的理解，易错点是计数时漏数三角形，使用按固定顺序数线段的方法可以有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。已知AH⊥BC，因此所有以A为顶点、另两个顶点在BC边上的三角形，AH都是它们的高，接下来只需数出BC边上共有多少条不同线段，每条线段对应一个以A为顶点的三角形，即可得到结果。
【解析】
∵ AH⊥BC，
∴ 所有以A为顶点，且有一条边在直线BC上的三角形，AH都是该三角形BC边上的高。
BC边上共有B、M、H、C4个点，可组成的线段总数为$\frac{4×(4-1)}{2}=6$条，分别对应△ABM、△ABH、△ABC、△AMH、△AMC、△AHC，共6个三角形。
因此以AH为高的三角形的个数是6。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义；线段计数
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的理解，易错点是计数时漏数三角形，使用按固定顺序数线段的方法可以有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
7. 如图13.2-7，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高，下列说法中错误的是（
A.$BC=2CD$
B.$∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AFB=90°$
D.$AE=CE$
A
D
）。A.$BC=2CD$
B.$∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AFB=90°$
D.$AE=CE$
A
答案
7. D
解析
【分析】
解答本题的核心是准确掌握三角形的中线、角平分线、高的定义，我们可以依次将每个选项和对应线段的定义匹配验证，判断说法是否正确，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们结合各线段的定义逐一分析选项：
1. 对选项A：AD是△ABC的中线，说明D是BC的中点，因此$BC=2CD$，该说法正确，不符合题意；
2. 对选项B：AE是△ABC的角平分线，说明AE平分∠BAC，因此$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC$，该说法正确，不符合题意；
3. 对选项C：AF是△ABC的高，说明$AF⊥BC$，因此$∠AFB=∠AFC=90°$，该说法正确，不符合题意；
4. 对选项D：AE是角平分线，仅能说明它平分∠BAC，没有额外条件的情况下无法推出$AE=CE$，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分三角形三类重要线段的性质，只要熟练掌握各线段的定义即可快速解题，是对基础知识点掌握程度的检验。
【难度系数】
0.9
解答本题的核心是准确掌握三角形的中线、角平分线、高的定义，我们可以依次将每个选项和对应线段的定义匹配验证，判断说法是否正确，最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们结合各线段的定义逐一分析选项：
1. 对选项A：AD是△ABC的中线，说明D是BC的中点，因此$BC=2CD$，该说法正确，不符合题意；
2. 对选项B：AE是△ABC的角平分线，说明AE平分∠BAC，因此$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC$，该说法正确，不符合题意；
3. 对选项C：AF是△ABC的高，说明$AF⊥BC$，因此$∠AFB=∠AFC=90°$，该说法正确，不符合题意；
4. 对选项D：AE是角平分线，仅能说明它平分∠BAC，没有额外条件的情况下无法推出$AE=CE$，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是区分三角形三类重要线段的性质，只要熟练掌握各线段的定义即可快速解题，是对基础知识点掌握程度的检验。
【难度系数】
0.9
8. 如图13.2-8，CM是△ABC的中线，AB=10，则BM的长为
图13.2-8
5
。图13.2-8
答案
8. 5
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，因此CM作为AB边上的中线，可得点M是AB的中点，再根据线段中点将线段分为长度相等的两段，可知BM的长度是AB的一半，代入AB的长度即可计算出结果。
【解析】
∵CM是△ABC的中线，且点M在AB边上，
∴M是AB的中点，
∴$BM=\frac{1}{2}AB$，
又
∵AB=10，
∴$BM=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的定义，线段中点的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是理解三角形中线的定义，明确中线与对边中点的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，因此CM作为AB边上的中线，可得点M是AB的中点，再根据线段中点将线段分为长度相等的两段，可知BM的长度是AB的一半，代入AB的长度即可计算出结果。
【解析】
∵CM是△ABC的中线，且点M在AB边上，
∴M是AB的中点，
∴$BM=\frac{1}{2}AB$，
又
∵AB=10，
∴$BM=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
三角形中线的定义，线段中点的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是理解三角形中线的定义，明确中线与对边中点的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
9. 如图13.2-9，在锐角△ABC中，BC边上有E，D，F三点，BD=CD，∠BAE=∠DAE，AF⊥BC，垂足为F。以AD为中线的三角形有
；以AE为角平分线的三角形有
；以AE为角平分线的三角形有$△ ABE,△ ABD$
；以AF为高的钝角三角形有$△ ADE$
。答案
9. $△ ABC$ $△ ABD$ $△ ABE,△ ABD,△ ADE$
解析
【分析】
解题时需紧扣三角形中线、角平分线、高的定义逐一判断：
1. 找以AD为中线的三角形：中线对应对边中点，已知BD=CD，即D是BC中点，找到D为某边中点、对应顶点为A的三角形即可；
2. 找以AE为角平分线的三角形：角平分线对应平分内角，已知∠BAE=∠DAE，即AE平分∠BAD，找到包含该角、且AE与角的对边相交的三角形即可；
3. 找以AF为高的钝角三角形：AF⊥BC，因此所有以BC上线段为边、顶点为A的三角形都以AF为高，再从中筛选出有一个内角为钝角的三角形即可。
【解析】
1. 三角形中线的定义为：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。已知BD=CD，说明D是BC的中点，因此在△ABC中，边BC上的中线是AD，即以AD为中线的三角形是△ABC；
2. 三角形角平分线的定义为：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。已知∠BAE=∠DAE，说明AE平分△ABD的内角∠BAD，且AE与∠BAD的对边BD交于点E，因此AE是△ABD的角平分线，即以AE为角平分线的三角形是△ABD；
3. 三角形高的定义为：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。已知AF⊥BC，因此所有底边在BC上、顶点为A的三角形，AF都是其对应的高。结合图形可判断，其中钝角三角形有△ABE、△ABD、△ADE，即这三个三角形是以AF为高的钝角三角形。
【答案】
△ABC；△ABD；△ABE、△ABD、△ADE
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题侧重考查三角形三类重要线段的定义，解题时要结合图形特征，紧扣定义筛选对应三角形，注意不要漏数符合要求的图形。
【难度系数】
0.7
解题时需紧扣三角形中线、角平分线、高的定义逐一判断：
1. 找以AD为中线的三角形：中线对应对边中点，已知BD=CD，即D是BC中点，找到D为某边中点、对应顶点为A的三角形即可；
2. 找以AE为角平分线的三角形：角平分线对应平分内角，已知∠BAE=∠DAE，即AE平分∠BAD，找到包含该角、且AE与角的对边相交的三角形即可；
3. 找以AF为高的钝角三角形：AF⊥BC，因此所有以BC上线段为边、顶点为A的三角形都以AF为高，再从中筛选出有一个内角为钝角的三角形即可。
【解析】
1. 三角形中线的定义为：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。已知BD=CD，说明D是BC的中点，因此在△ABC中，边BC上的中线是AD，即以AD为中线的三角形是△ABC；
2. 三角形角平分线的定义为：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。已知∠BAE=∠DAE，说明AE平分△ABD的内角∠BAD，且AE与∠BAD的对边BD交于点E，因此AE是△ABD的角平分线，即以AE为角平分线的三角形是△ABD；
3. 三角形高的定义为：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。已知AF⊥BC，因此所有底边在BC上、顶点为A的三角形，AF都是其对应的高。结合图形可判断，其中钝角三角形有△ABE、△ABD、△ADE，即这三个三角形是以AF为高的钝角三角形。
【答案】
△ABC；△ABD；△ABE、△ABD、△ADE
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题侧重考查三角形三类重要线段的定义，解题时要结合图形特征，紧扣定义筛选对应三角形，注意不要漏数符合要求的图形。
【难度系数】
0.7
10. 在$△ ABC$中，$AC=2BC$，$BC$边上的中线$AD$把$△ ABC$的周长分成40和60两部分，求$BC$的长.
答案
$\because AD$是$BC$边上的中线，$\therefore BD=CD$. 又$\because AC=2BC$，设$BD=CD=x$，$AB=y$，则$AC=4x$，分为两种情况：①$AC+CD=60$，$AB+BD=40$，则$4x+x=60$，$x+y=40$，解得$x=12$，$y=28$，即$BC=2x=24$，$AB=28$，$AC=4x=48$，$\because BC+AB=24+28=52＞AC$，$\therefore$此时符合三角形三边关系；②$AC+CD=40$，$AB+BD=60$，则$4x+x=40$，$x+y=60$，解得$x=8$，$y=52$，即$AC=4x=32$，$AB=52$，$BC=2x=16$，$\because AC+BC=32+16=48＜AB$，$\therefore$此时不符合三角形三边关系；$\therefore BC=24$
解析
【分析】
解题时首先利用三角形中线的性质可得BD=CD，结合已知AC=2BC的数量关系，可设未知数表示各边的长度；由于题目未明确周长被分成的40和60两部分分别对应哪组边的和，因此需要分两种情况进行讨论计算；最后需根据三角形三边关系对计算结果进行验证，不符合三边关系的结果要舍去，最终得到BC的长度。
【解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
又
∵AC=2BC，设BD=CD=x，AB=y，则BC=2x，AC=4x，分为两种情况：
①当AC+CD=60，AB+BD=40时，
可得方程组：$\begin{cases}4x+x=60\\x+y=40\end{cases}$
解得$x=12$，$y=28$，
即$BC=2x=24$，$AB=28$，$AC=4x=48$，
∵$BC+AB=24+28=52＞AC=48$，符合三角形两边之和大于第三边的关系，该情况成立；
②当AC+CD=40，AB+BD=60时，
可得方程组：$\begin{cases}4x+x=40\\x+y=60\end{cases}$
解得$x=8$，$y=52$，
即$AC=4x=32$，$AB=52$，$BC=2x=16$，
∵$AC+BC=32+16=48＜AB=52$，不符合三角形三边关系，该情况舍去；
综上，BC的长为24。
【答案】
24
【知识点】
三角形中线的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是三角形相关的典型题型，重点考查对三角形中线性质的运用和分类讨论的数学思维，易错点是遗漏分类讨论的情况，或计算后忽略用三角形三边关系验证结果的合理性，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用三角形中线的性质可得BD=CD，结合已知AC=2BC的数量关系，可设未知数表示各边的长度；由于题目未明确周长被分成的40和60两部分分别对应哪组边的和，因此需要分两种情况进行讨论计算；最后需根据三角形三边关系对计算结果进行验证，不符合三边关系的结果要舍去，最终得到BC的长度。
【解析】
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
又
∵AC=2BC，设BD=CD=x，AB=y，则BC=2x，AC=4x，分为两种情况：
①当AC+CD=60，AB+BD=40时，
可得方程组：$\begin{cases}4x+x=60\\x+y=40\end{cases}$
解得$x=12$，$y=28$，
即$BC=2x=24$，$AB=28$，$AC=4x=48$，
∵$BC+AB=24+28=52＞AC=48$，符合三角形两边之和大于第三边的关系，该情况成立；
②当AC+CD=40，AB+BD=60时，
可得方程组：$\begin{cases}4x+x=40\\x+y=60\end{cases}$
解得$x=8$，$y=52$，
即$AC=4x=32$，$AB=52$，$BC=2x=16$，
∵$AC+BC=32+16=48＜AB=52$，不符合三角形三边关系，该情况舍去；
综上，BC的长为24。
【答案】
24
【知识点】
三角形中线的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是三角形相关的典型题型，重点考查对三角形中线性质的运用和分类讨论的数学思维，易错点是遗漏分类讨论的情况，或计算后忽略用三角形三边关系验证结果的合理性，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.6
11. 如图13.2 - 10，CD ⊥ AB 于点 D，已知∠ABC是钝角，则（
A.线段CD是△ABC的AC边上的高
B.线段CD是△ABC的AB边上的高
C.线段AD是△ABC的BC边上的高
D.线段AD是△ABC的AC边上的高
B
）。A.线段CD是△ABC的AC边上的高
B.线段CD是△ABC的AB边上的高
C.线段AD是△ABC的BC边上的高
D.线段AD是△ABC的AC边上的高
答案
11. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要牢记三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。解题时我们逐一对照定义判断每个选项即可：首先找每条高对应的顶点和对边，判断是否满足“从顶点向对边所在直线作垂线”的要求。
【解析】
我们根据三角形高的定义逐个分析选项：
A选项：△ABC的AC边上的高，需要从AC边的对角顶点B向AC所在直线作垂线，垂足和B之间的线段才是AC边上的高，显然CD不符合要求，A错误；
B选项：△ABC的AB边上的高，需要从AB边的对角顶点C向AB所在直线作垂线，题中CD⊥AB（AB所在直线为AD），垂足为D，因此线段CD就是△ABC AB边上的高，B正确；
C选项：△ABC的BC边上的高，需要从BC边的对角顶点A向BC所在直线作垂线，线段AD不垂直于BC，不符合高的定义，C错误；
D选项：△ABC的AC边上的高，需要从AC边的对角顶点B向AC所在直线作垂线，线段AD不符合要求，D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查三角形高的判定，注意钝角三角形有两条高落在三角形外部，判断时只要紧扣“顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足的线段”这一核心定义即可准确作答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要牢记三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。解题时我们逐一对照定义判断每个选项即可：首先找每条高对应的顶点和对边，判断是否满足“从顶点向对边所在直线作垂线”的要求。
【解析】
我们根据三角形高的定义逐个分析选项：
A选项：△ABC的AC边上的高，需要从AC边的对角顶点B向AC所在直线作垂线，垂足和B之间的线段才是AC边上的高，显然CD不符合要求，A错误；
B选项：△ABC的AB边上的高，需要从AB边的对角顶点C向AB所在直线作垂线，题中CD⊥AB（AB所在直线为AD），垂足为D，因此线段CD就是△ABC AB边上的高，B正确；
C选项：△ABC的BC边上的高，需要从BC边的对角顶点A向BC所在直线作垂线，线段AD不垂直于BC，不符合高的定义，C错误；
D选项：△ABC的AC边上的高，需要从AC边的对角顶点B向AC所在直线作垂线，线段AD不符合要求，D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查三角形高的判定，注意钝角三角形有两条高落在三角形外部，判断时只要紧扣“顶点向对边所在直线作垂线，顶点到垂足的线段”这一核心定义即可准确作答。
【难度系数】
0.7
