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17.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,-3),B(-4,1),C(-2,3)。
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'。
(2)写出点B'的坐标：
(3)求△A'B'C'的面积。
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'。
(2)写出点B'的坐标：
(4,1)
。(3)求△A'B'C'的面积。
答案
(1) 如图,$△ A'B'C'$即为所求作的三角形。
(2) $(4,1)$
(3) $△ A'B'C'$的面积为$3×6-\frac{1}{2}×1×6-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×2×2=7$。
(2) $(4,1)$
(3) $△ A'B'C'$的面积为$3×6-\frac{1}{2}×1×6-\frac{1}{2}×4×3-\frac{1}{2}×2×2=7$。
解析
【分析】
(1) 作关于y轴对称的三角形时，先利用“关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，求出A、B、C三点的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到所求图形。
(2) 已知点B的坐标，直接套用关于y轴对称的点的坐标特征，就能得到B'的坐标。
(3) 轴对称前后的图形全等，因此△A'B'C'和△ABC面积相等，计算格点三角形面积可使用割补法：将三角形放入覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围多余的直角三角形的面积，即可得到目标三角形的面积，该方法适合八年级阶段格点图形的面积计算。
【解析】
(1) 首先求三个顶点的对称点：
点A(-1,-3)关于y轴对称的点A'为(1,-3)，点B(-4,1)关于y轴对称的点B'为(4,1)，点C(-2,3)关于y轴对称的点C'为(2,3)；在坐标系中描出A'、B'、C'三点，依次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得△A'B'C'即为所求。
(2) 根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变的特征，B(-4,1)的对称点B'的坐标为(4,1)。
(3) 用割补法计算△A'B'C'的面积：
覆盖△A'B'C'的矩形横向长度为$4-1=3$，纵向高度为$3-(-3)=6$，矩形面积为$3×6=18$；
减去周围三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×1×6=3$，$\frac{1}{2}×4×3=6$，$\frac{1}{2}×2×2=2$；
因此△A'B'C'的面积为$18-3-6-2=7$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\boldsymbol{(4,1)}$；
(3) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；轴对称作图；割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，考查轴对称变换的性质和格点图形面积的计算方法，掌握对称点的坐标规律、熟练运用割补法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 作关于y轴对称的三角形时，先利用“关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，求出A、B、C三点的对称点坐标，再依次连接三个对称点即可得到所求图形。
(2) 已知点B的坐标，直接套用关于y轴对称的点的坐标特征，就能得到B'的坐标。
(3) 轴对称前后的图形全等，因此△A'B'C'和△ABC面积相等，计算格点三角形面积可使用割补法：将三角形放入覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围多余的直角三角形的面积，即可得到目标三角形的面积，该方法适合八年级阶段格点图形的面积计算。
【解析】
(1) 首先求三个顶点的对称点：
点A(-1,-3)关于y轴对称的点A'为(1,-3)，点B(-4,1)关于y轴对称的点B'为(4,1)，点C(-2,3)关于y轴对称的点C'为(2,3)；在坐标系中描出A'、B'、C'三点，依次连接A'B'、B'C'、C'A'，所得△A'B'C'即为所求。
(2) 根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变的特征，B(-4,1)的对称点B'的坐标为(4,1)。
(3) 用割补法计算△A'B'C'的面积：
覆盖△A'B'C'的矩形横向长度为$4-1=3$，纵向高度为$3-(-3)=6$，矩形面积为$3×6=18$；
减去周围三个直角三角形的面积：
$\frac{1}{2}×1×6=3$，$\frac{1}{2}×4×3=6$，$\frac{1}{2}×2×2=2$；
因此△A'B'C'的面积为$18-3-6-2=7$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\boldsymbol{(4,1)}$；
(3) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；轴对称作图；割补法求面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，考查轴对称变换的性质和格点图形面积的计算方法，掌握对称点的坐标规律、熟练运用割补法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
18.【观察规律】
观察下列式子：
①$\sqrt{2\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{2^2×2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
②$\sqrt{3\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{\frac{3^2×3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$；
③$\sqrt{4\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{\frac{4^2×4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$；
……
【类比分析】
（1）用你发现的规律写出第④个式子。
【推理证明】
（2）用含$n(n≥2$，且$n$是正整数)的式子表示上述规律，并给出证明。
【创新应用】
（3）按此规律，若$\sqrt{a+\frac{45}{b}}=a\sqrt{\frac{45}{b}}$（$a,b$为正整数），求$a+b$的值。
观察下列式子：
①$\sqrt{2\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{2^2×2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$；
②$\sqrt{3\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\sqrt{\frac{3^2×3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$；
③$\sqrt{4\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=\sqrt{\frac{4^2×4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$；
……
【类比分析】
（1）用你发现的规律写出第④个式子。
【推理证明】
（2）用含$n(n≥2$，且$n$是正整数)的式子表示上述规律，并给出证明。
【创新应用】
（3）按此规律，若$\sqrt{a+\frac{45}{b}}=a\sqrt{\frac{45}{b}}$（$a,b$为正整数），求$a+b$的值。
答案
(1) $\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$。
(2) $\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$。
证明:左边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^2· n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=$右边，
$\therefore$等式成立。
(3) 由规律可知$a=45$,$b=a^2-1=45^2-1=2024$,
$\therefore a+b=45+2024=2069$。
(2) $\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$。
证明:左边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^2· n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=$右边，
$\therefore$等式成立。
(3) 由规律可知$a=45$,$b=a^2-1=45^2-1=2024$,
$\therefore a+b=45+2024=2069$。
解析
【分析】
1. 解答第(1)问时，先观察已知3个式子的结构特征：带分数的整数部分依次为2、3、4，分数部分的分子和整数部分相同，分母为整数部分的平方减1，化简过程是把带分数化成假分数后，将分子拆成整数部分的平方乘分子，再开方提取整数部分。按照这个规律，第④个式子的整数部分为5，分母为$5^2-1=24$，仿照前式格式书写即可。
2. 解答第(2)问时，将上述规律用含$n(n≥2)$的式子抽象出来，左边为$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}$，右边为$n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$。证明时利用分式通分，先将左边被开方数合并为一个分式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}(a≥0)$化简，验证左右两边相等即可。
3. 解答第(3)问时，将给出的等式和推导的一般规律对比，可得分数的分子对应$a$的值，分母$b$对应$a^2-1$，代入计算即可求出$a+b$的值。
【解析】
(1) 观察前3个式子规律：第k个式子的整数部分为$k+1$，分数分子等于整数部分，分母为$(k+1)^2-1$，因此第④个式子整数为5，分母为$5^2-1=24$，即：
$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$
(2) 规律为：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（$n≥2$，且n是正整数）
证明：左边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3 -n +n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^2·n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=$右边
$\therefore$等式成立。
(3) 对比规律式$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，与$\sqrt{a+\frac{45}{b}}=a\sqrt{\frac{45}{b}}$对应，可得：
$a=45$，$b=a^2-1=45^2-1=2025-1=2024$
$\therefore a+b=45+2024=2069$
【答案】
(1) $\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（$n≥2$，且n是正整数），证明见解析
(3) $2069$
【知识点】
二次根式的性质，规律探究，分式运算
【点评】
本题将规律探究与二次根式运算结合，需要先从特殊案例中归纳出共性规律，再对一般规律进行证明，最后应用规律解决具体问题，重点考查观察归纳能力和二次根式的化简运算能力，掌握二次根式的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
1. 解答第(1)问时，先观察已知3个式子的结构特征：带分数的整数部分依次为2、3、4，分数部分的分子和整数部分相同，分母为整数部分的平方减1，化简过程是把带分数化成假分数后，将分子拆成整数部分的平方乘分子，再开方提取整数部分。按照这个规律，第④个式子的整数部分为5，分母为$5^2-1=24$，仿照前式格式书写即可。
2. 解答第(2)问时，将上述规律用含$n(n≥2)$的式子抽象出来，左边为$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}$，右边为$n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$。证明时利用分式通分，先将左边被开方数合并为一个分式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}(a≥0)$化简，验证左右两边相等即可。
3. 解答第(3)问时，将给出的等式和推导的一般规律对比，可得分数的分子对应$a$的值，分母$b$对应$a^2-1$，代入计算即可求出$a+b$的值。
【解析】
(1) 观察前3个式子规律：第k个式子的整数部分为$k+1$，分数分子等于整数部分，分母为$(k+1)^2-1$，因此第④个式子整数为5，分母为$5^2-1=24$，即：
$\sqrt{5\frac{5}{24}}=\sqrt{\frac{125}{24}}=\sqrt{\frac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$
(2) 规律为：$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（$n≥2$，且n是正整数）
证明：左边$=\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3 -n +n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^2·n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}=$右边
$\therefore$等式成立。
(3) 对比规律式$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，与$\sqrt{a+\frac{45}{b}}=a\sqrt{\frac{45}{b}}$对应，可得：
$a=45$，$b=a^2-1=45^2-1=2025-1=2024$
$\therefore a+b=45+2024=2069$
【答案】
(1) $\sqrt{5\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$（$n≥2$，且n是正整数），证明见解析
(3) $2069$
【知识点】
二次根式的性质，规律探究，分式运算
【点评】
本题将规律探究与二次根式运算结合，需要先从特殊案例中归纳出共性规律，再对一般规律进行证明，最后应用规律解决具体问题，重点考查观察归纳能力和二次根式的化简运算能力，掌握二次根式的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
19.某调查小组从甲、乙两校各抽取10名学生参加语文素养水平监测，测试成绩(满分100分)如下表所示：
(1)表中$a=$
(2)请从平均数、下四分位数、中位数、上四分位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩。
(3)若甲、乙两校学生都超过1000人，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？
(1)表中$a=$
64
,$b=$80.5
,$c=$81
,$d=$76
。(2)请从平均数、下四分位数、中位数、上四分位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩。
(3)若甲、乙两校学生都超过1000人，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？
答案
(1) $a=64$,$b=80.5$,$c=81$,$d=76$
(2) 甲、乙两校学生成绩的平均数相同，
甲校的中位数、上四分位数、众数都要高于乙校，因此甲校样本学生的语文测试成绩更佳，但甲校的下四分位数要低于乙校，说明甲校样本学生低分的人数更多。(答案不唯一，合理即可)
(3) 甲、乙两校学生都超过1000人，不可以用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为样本容量太小。
(2) 甲、乙两校学生成绩的平均数相同，
甲校的中位数、上四分位数、众数都要高于乙校，因此甲校样本学生的语文测试成绩更佳，但甲校的下四分位数要低于乙校，说明甲校样本学生低分的人数更多。(答案不唯一，合理即可)
(3) 甲、乙两校学生都超过1000人，不可以用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为样本容量太小。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先需要把甲、乙两校抽取的10名学生的成绩分别按从小到大的顺序排列，再根据下四分位数、中位数、上四分位数、众数的定义，分别对应计算出a、b、c、d的值；
(2) 第二问需要对比两校的各统计量的数值，从平均水平、中等水平、高低分段表现等角度分别分析两校成绩的特点，给出合理评判即可；
(3) 第三问需要结合抽样调查的样本代表性要求判断：用样本估计总体时，样本容量需要足够大、样本要具有随机性和代表性，据此判断该抽样是否能用来估计总体。
【解析】
(1) 先将甲、乙两校10名学生的成绩分别从小到大排序：
① 10个数据的下四分位数位置为$10×25\%=2.5$，取排序后第3个数据；中位数位置为$10×50\%=5$，取排序后第5、6个数据的平均数；上四分位数位置为$10×75\%=7.5$，取排序后第8个数据；众数为出现次数最多的数。
② 经计算可得：$a=64$，$b=80.5$，$c=81$，$d=76$。
(2) 对比两校的统计量可知：甲、乙两校学生成绩的平均数相同，说明两校样本学生的平均语文水平相当；甲校的中位数、上四分位数、众数均高于乙校，说明甲校样本学生的中等水平、高分段表现及多数学生的成绩都优于乙校；但甲校的下四分位数低于乙校，说明甲校样本学生中低分段的成绩更低，低分人数更多。
(3) 不可行。理由：用样本估计总体时，样本需要有足够的容量才能保证代表性，本题中甲、乙两校学生均超过1000人，但仅各抽取10名学生，样本容量太小，无法代表两校总体的语文素养水平。
【答案】
(1) $a=64$，$b=80.5$，$c=81$，$d=76$
(2) 甲、乙两校学生成绩的平均数相同，甲校的中位数、上四分位数、众数都要高于乙校，因此甲校样本学生的语文测试成绩更佳，但甲校的下四分位数要低于乙校，说明甲校样本学生低分的人数更多。（合理即可）
(3) 不可行，因为样本容量太小。
【知识点】
统计量计算，数据分析，样本估计总体
【点评】
本题侧重考查统计模块的基础应用，要求学生熟练掌握常见统计量的计算方法，能结合统计量对数据进行客观分析，同时理解抽样调查中样本代表性的判断标准，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先需要把甲、乙两校抽取的10名学生的成绩分别按从小到大的顺序排列，再根据下四分位数、中位数、上四分位数、众数的定义，分别对应计算出a、b、c、d的值；
(2) 第二问需要对比两校的各统计量的数值，从平均水平、中等水平、高低分段表现等角度分别分析两校成绩的特点，给出合理评判即可；
(3) 第三问需要结合抽样调查的样本代表性要求判断：用样本估计总体时，样本容量需要足够大、样本要具有随机性和代表性，据此判断该抽样是否能用来估计总体。
【解析】
(1) 先将甲、乙两校10名学生的成绩分别从小到大排序：
① 10个数据的下四分位数位置为$10×25\%=2.5$，取排序后第3个数据；中位数位置为$10×50\%=5$，取排序后第5、6个数据的平均数；上四分位数位置为$10×75\%=7.5$，取排序后第8个数据；众数为出现次数最多的数。
② 经计算可得：$a=64$，$b=80.5$，$c=81$，$d=76$。
(2) 对比两校的统计量可知：甲、乙两校学生成绩的平均数相同，说明两校样本学生的平均语文水平相当；甲校的中位数、上四分位数、众数均高于乙校，说明甲校样本学生的中等水平、高分段表现及多数学生的成绩都优于乙校；但甲校的下四分位数低于乙校，说明甲校样本学生中低分段的成绩更低，低分人数更多。
(3) 不可行。理由：用样本估计总体时，样本需要有足够的容量才能保证代表性，本题中甲、乙两校学生均超过1000人，但仅各抽取10名学生，样本容量太小，无法代表两校总体的语文素养水平。
【答案】
(1) $a=64$，$b=80.5$，$c=81$，$d=76$
(2) 甲、乙两校学生成绩的平均数相同，甲校的中位数、上四分位数、众数都要高于乙校，因此甲校样本学生的语文测试成绩更佳，但甲校的下四分位数要低于乙校，说明甲校样本学生低分的人数更多。（合理即可）
(3) 不可行，因为样本容量太小。
【知识点】
统计量计算，数据分析，样本估计总体
【点评】
本题侧重考查统计模块的基础应用，要求学生熟练掌握常见统计量的计算方法，能结合统计量对数据进行客观分析，同时理解抽样调查中样本代表性的判断标准，贴合实际应用场景。
【难度系数】
0.7
