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20. 提升题 如图，在平面直角坐标系中，直线$AB:y=-\dfrac{4}{3}x+4$与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在y轴的负半轴上。若将$△ CAB$沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处。
(1)点B的坐标是
(2)求直线CD对应的函数表达式。
(3)M是y轴上的一个动点，若$S_{△ MAB}=\dfrac{3}{4}S_{△ OCD}$，求点M的坐标。
(1)点B的坐标是
(0,4)
，AB的长为5
。(2)求直线CD对应的函数表达式。
(3)M是y轴上的一个动点，若$S_{△ MAB}=\dfrac{3}{4}S_{△ OCD}$，求点M的坐标。
答案
(1) $(0,4)$；$5$
(2) 由折叠的性质,得$AD=AB=5$,
$CD=BC$,$\therefore OD=8$。
$\therefore$点$D$的坐标为$(8,0)$。
设$OC=x$,则$CD=BC=4+x$。
在$\mathrm{Rt}△ DOC$中,$OC^2+OD^2=CD^2$,
$\therefore x^2+8^2=(4+x)^2$。
解得$x=6$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-6)$。
设直线$CD$的函数表达式为$y=kx+b$。
把点$(8,0)$,$(0,-6)$代入,
得$\begin{cases} 8k+b=0, \\ b=-6 \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{3}{4}, \\ b=-6 \end{cases}$。
$\therefore$直线$CD$对应的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x-6$。
(3) 设点$M$的坐标为$(0,m)$,则$BM=|4-m|$。
$\therefore S_{△ MAB}=\frac{1}{2}BM· OA=\frac{1}{2}×|4-m|×3=\frac{3}{2}|4-m|$。
$\because S_{△ MAB}=\frac{3}{4}S_{△ OCD}$,$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}×6×8=24$,
$\therefore \frac{3}{2}|4-m|=\frac{3}{4}×24$。
解得$m=-8$或$m=16$。
$\therefore$点$M$的坐标为$(0,-8)$或$(0,16)$。
(2) 由折叠的性质,得$AD=AB=5$,
$CD=BC$,$\therefore OD=8$。
$\therefore$点$D$的坐标为$(8,0)$。
设$OC=x$,则$CD=BC=4+x$。
在$\mathrm{Rt}△ DOC$中,$OC^2+OD^2=CD^2$,
$\therefore x^2+8^2=(4+x)^2$。
解得$x=6$。
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-6)$。
设直线$CD$的函数表达式为$y=kx+b$。
把点$(8,0)$,$(0,-6)$代入,
得$\begin{cases} 8k+b=0, \\ b=-6 \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\frac{3}{4}, \\ b=-6 \end{cases}$。
$\therefore$直线$CD$对应的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x-6$。
(3) 设点$M$的坐标为$(0,m)$,则$BM=|4-m|$。
$\therefore S_{△ MAB}=\frac{1}{2}BM· OA=\frac{1}{2}×|4-m|×3=\frac{3}{2}|4-m|$。
$\because S_{△ MAB}=\frac{3}{4}S_{△ OCD}$,$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}×6×8=24$,
$\therefore \frac{3}{2}|4-m|=\frac{3}{4}×24$。
解得$m=-8$或$m=16$。
$\therefore$点$M$的坐标为$(0,-8)$或$(0,16)$。
解析
【分析】
(1) 求点B坐标时，直线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入直线AB的解析式即可得到B点纵坐标；先求A点坐标：直线与x轴交点纵坐标为0，代入解析式得A(3,0)，在Rt△AOB中，已知OA=3、OB=4，用勾股定理即可算出AB的长度。
(2) 要求直线CD的解析式，需先得到C、D两点的坐标：根据折叠的性质可知AD=AB，据此算出OD的长度得到D点坐标；设OC=x，由折叠得CD=BC=4+x，在Rt△DOC中利用勾股定理列方程求解x，得到C点坐标；再用待定系数法代入两点坐标即可求出CD的函数表达式。
(3) 先计算出△OCD的面积，再设M点坐标为(0,m)，△MAB的底为BM的长度（即|4-m|），高为OA的长度3，根据面积关系列绝对值方程，求解即可得到m的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，令$x=0$，得$y=4$，故点B的坐标为$(0,4)$；令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，故点A坐标为$(3,0)$，即$OA=3$，$OB=4$。在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(2) 由折叠的性质，得$AD=AB=5$，$CD=BC$，$\therefore OD=OA+AD=3+5=8$，$\therefore$点$D$的坐标为$(8,0)$。
设$OC=x$，则$CD=BC=OB+OC=4+x$。在$\mathrm{Rt}△ DOC$中，由勾股定理得$OC^2+OD^2=CD^2$，$\therefore x^2+8^2=(4+x)^2$，解得$x=6$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-6)$。
设直线$CD$的函数表达式为$y=kx+b$，把$(8,0)$、$(0,-6)$代入得$\begin{cases}8k+b=0\\b=-6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4}\\b=-6\end{cases}$，$\therefore$直线$CD$对应的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x-6$。
(3) 设点$M$的坐标为$(0,m)$，则$BM=|4-m|$。
$\therefore S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}× BM× OA=\dfrac{1}{2}×|4-m|×3=\dfrac{3}{2}|4-m|$。
$\because S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}× OC× OD=\dfrac{1}{2}×6×8=24$，且$S_{△ MAB}=\dfrac{3}{4}S_{△ OCD}$，
$\therefore \dfrac{3}{2}|4-m|=\dfrac{3}{4}×24$，解得$m=-8$或$m=16$，
$\therefore$点$M$的坐标为$(0,-8)$或$(0,16)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,4)}$；$\boldsymbol{5}$
(2) $\boldsymbol{y=\dfrac{3}{4}x-6}$
(3) $\boldsymbol{(0,-8)}$或$\boldsymbol{(0,16)}$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题综合考查了一次函数与几何折叠的结合应用，解题时需利用折叠的性质转化相等线段，结合勾股定理构建方程求解未知量，涉及动点的面积问题时要注意借助绝对值考虑多种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求点B坐标时，直线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入直线AB的解析式即可得到B点纵坐标；先求A点坐标：直线与x轴交点纵坐标为0，代入解析式得A(3,0)，在Rt△AOB中，已知OA=3、OB=4，用勾股定理即可算出AB的长度。
(2) 要求直线CD的解析式，需先得到C、D两点的坐标：根据折叠的性质可知AD=AB，据此算出OD的长度得到D点坐标；设OC=x，由折叠得CD=BC=4+x，在Rt△DOC中利用勾股定理列方程求解x，得到C点坐标；再用待定系数法代入两点坐标即可求出CD的函数表达式。
(3) 先计算出△OCD的面积，再设M点坐标为(0,m)，△MAB的底为BM的长度（即|4-m|），高为OA的长度3，根据面积关系列绝对值方程，求解即可得到m的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，令$x=0$，得$y=4$，故点B的坐标为$(0,4)$；令$y=0$，得$0=-\dfrac{4}{3}x+4$，解得$x=3$，故点A坐标为$(3,0)$，即$OA=3$，$OB=4$。在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
(2) 由折叠的性质，得$AD=AB=5$，$CD=BC$，$\therefore OD=OA+AD=3+5=8$，$\therefore$点$D$的坐标为$(8,0)$。
设$OC=x$，则$CD=BC=OB+OC=4+x$。在$\mathrm{Rt}△ DOC$中，由勾股定理得$OC^2+OD^2=CD^2$，$\therefore x^2+8^2=(4+x)^2$，解得$x=6$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-6)$。
设直线$CD$的函数表达式为$y=kx+b$，把$(8,0)$、$(0,-6)$代入得$\begin{cases}8k+b=0\\b=-6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4}\\b=-6\end{cases}$，$\therefore$直线$CD$对应的函数表达式为$y=\dfrac{3}{4}x-6$。
(3) 设点$M$的坐标为$(0,m)$，则$BM=|4-m|$。
$\therefore S_{△ MAB}=\dfrac{1}{2}× BM× OA=\dfrac{1}{2}×|4-m|×3=\dfrac{3}{2}|4-m|$。
$\because S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}× OC× OD=\dfrac{1}{2}×6×8=24$，且$S_{△ MAB}=\dfrac{3}{4}S_{△ OCD}$，
$\therefore \dfrac{3}{2}|4-m|=\dfrac{3}{4}×24$，解得$m=-8$或$m=16$，
$\therefore$点$M$的坐标为$(0,-8)$或$(0,16)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,4)}$；$\boldsymbol{5}$
(2) $\boldsymbol{y=\dfrac{3}{4}x-6}$
(3) $\boldsymbol{(0,-8)}$或$\boldsymbol{(0,16)}$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题综合考查了一次函数与几何折叠的结合应用，解题时需利用折叠的性质转化相等线段，结合勾股定理构建方程求解未知量，涉及动点的面积问题时要注意借助绝对值考虑多种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
