登录
若$∠α=29°45'$，则$∠α$的余角等于（
A.$60°55'$
B.$60°15'$
C.$150°55'$
D.$150°15'$
B
）A.$60°55'$
B.$60°15'$
C.$150°55'$
D.$150°15'$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此求∠α的余角只需用90°减去∠α的度数即可。另外要注意度和分的换算进率是60（1°=60'），计算减法时如果分的部分不够减，需要向度借1当60再计算。
【解析】
根据余角的定义，∠α的余角 = 90° - ∠α。
已知∠α=29°45'，先将90°转化为89°60'（方便分的部分相减），代入计算：
90° - 29°45' = 89°60' - 29°45'
分别计算度和分：
度：89° - 29° = 60°
分：60' - 45' = 15'
因此∠α的余角为60°15'，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记余角的定义，同时注意度分秒的运算为60进制，避免混淆十进制导致计算错误。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需要明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此求∠α的余角只需用90°减去∠α的度数即可。另外要注意度和分的换算进率是60（1°=60'），计算减法时如果分的部分不够减，需要向度借1当60再计算。
【解析】
根据余角的定义，∠α的余角 = 90° - ∠α。
已知∠α=29°45'，先将90°转化为89°60'（方便分的部分相减），代入计算：
90° - 29°45' = 89°60' - 29°45'
分别计算度和分：
度：89° - 29° = 60°
分：60' - 45' = 15'
因此∠α的余角为60°15'，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记余角的定义，同时注意度分秒的运算为60进制，避免混淆十进制导致计算错误。
【难度系数】
0.85
探究1：若$∠ 1$与$∠ 2$，$∠ 3$都互为补角，$∠ 2$与$∠ 3$的大小有什么关系？说明理由。
答案
解：∠2=∠3. 理由如下：
因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，
所以∠2=180°−∠1，∠3=180°−∠1.
所以∠2=∠3.
因为∠1 与∠2，∠3 都互为补角，
所以∠2=180°−∠1，∠3=180°−∠1.
所以∠2=∠3.
解析
【分析】
首先回忆补角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。题目已知∠1与∠2、∠3都互为补角，我们可以先根据补角的定义分别写出∠2、∠3与∠1的数量关系，再通过等量代换就能推出∠2和∠3的大小关系。
【解析】
解：∠2=∠3，理由如下：
因为∠1与∠2，∠3都互为补角，
所以∠2=180°−∠1，∠3=180°−∠1，
所以∠2=∠3。
【答案】
∠2=∠3
【知识点】
1. 补角的定义
2. 同角的补角相等
【点评】
本题是基础的角度关系推导题，核心考查补角的相关概念与性质，掌握基础定义和性质即可顺利求解，这类性质是后续角度计算与几何推理的常用依据。
【难度系数】
0.9
首先回忆补角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。题目已知∠1与∠2、∠3都互为补角，我们可以先根据补角的定义分别写出∠2、∠3与∠1的数量关系，再通过等量代换就能推出∠2和∠3的大小关系。
【解析】
解：∠2=∠3，理由如下：
因为∠1与∠2，∠3都互为补角，
所以∠2=180°−∠1，∠3=180°−∠1，
所以∠2=∠3。
【答案】
∠2=∠3
【知识点】
1. 补角的定义
2. 同角的补角相等
【点评】
本题是基础的角度关系推导题，核心考查补角的相关概念与性质，掌握基础定义和性质即可顺利求解，这类性质是后续角度计算与几何推理的常用依据。
【难度系数】
0.9
探究2:若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，则∠2与∠4的大小有什么关系？说明理由.
探究3:若将探究1、探究2条件中的互补关系换成互余，结论还成立吗？
新知生成：(1)同角(等角)的余角
(2)同角(等角)的补角
探究3:若将探究1、探究2条件中的互补关系换成互余，结论还成立吗？
新知生成：(1)同角(等角)的余角
相等
.(2)同角(等角)的补角
相等
.答案
探究2 解：∠2=∠4. 理由如下：
因为∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，
所以∠2=180°−∠1，∠4=180°−∠3.
因为∠1=∠3，所以∠2=∠4.
探究3 解：结论依然成立.
新知生成 (1)相等 (2)相等
因为∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，
所以∠2=180°−∠1，∠4=180°−∠3.
因为∠1=∠3，所以∠2=∠4.
探究3 解：结论依然成立.
新知生成 (1)相等 (2)相等
解析
【分析】
解决本题首先回忆余角、补角的定义：两个角互余说明和为90°，互补说明和为180°。探究2中，先根据补角定义将∠2、∠4分别用含∠1、∠3的式子表示，再结合∠1=∠3的条件，通过等量代换即可判断∠2和∠4的大小关系；探究3将互补换成互余后，沿用相同的思路，用余角定义表示角后代入等量条件，即可验证结论是否成立；最后根据两个探究的推导结果，直接总结对应性质填写新知生成的空即可。
【解析】
探究2
∠2=∠4，理由如下：
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，根据补角的定义可得：
∠2=180°−∠1，∠4=180°−∠3
又因为已知∠1=∠3，所以180°−∠1=180°−∠3，即∠2=∠4。
探究3
结论依然成立。理由如下：
若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，根据余角的定义可得：
∠2=90°−∠1，∠4=90°−∠3
因为∠1=∠3，所以90°−∠1=90°−∠3，即∠2=∠4，所以结论成立。
新知生成
根据上述推导可得：(1)同角(等角)的余角相等；(2)同角(等角)的补角相等。
【答案】
探究2：∠2=∠4，理由如下：
因为∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，
所以∠2=180°−∠1，∠4=180°−∠3.
因为∠1=∠3，所以∠2=∠4.
探究3：结论依然成立.
新知生成 (1)相等 (2)相等
【知识点】
补角的定义；余角的定义；余角补角的性质
【点评】
本题是余角、补角相关性质的基础推导题，解题核心是熟练掌握余角、补角的定义，通过等量代换即可推导得出结论，掌握该性质可为后续几何角度计算与关系证明打下基础。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆余角、补角的定义：两个角互余说明和为90°，互补说明和为180°。探究2中，先根据补角定义将∠2、∠4分别用含∠1、∠3的式子表示，再结合∠1=∠3的条件，通过等量代换即可判断∠2和∠4的大小关系；探究3将互补换成互余后，沿用相同的思路，用余角定义表示角后代入等量条件，即可验证结论是否成立；最后根据两个探究的推导结果，直接总结对应性质填写新知生成的空即可。
【解析】
探究2
∠2=∠4，理由如下：
因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，根据补角的定义可得：
∠2=180°−∠1，∠4=180°−∠3
又因为已知∠1=∠3，所以180°−∠1=180°−∠3，即∠2=∠4。
探究3
结论依然成立。理由如下：
若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，根据余角的定义可得：
∠2=90°−∠1，∠4=90°−∠3
因为∠1=∠3，所以90°−∠1=90°−∠3，即∠2=∠4，所以结论成立。
新知生成
根据上述推导可得：(1)同角(等角)的余角相等；(2)同角(等角)的补角相等。
【答案】
探究2：∠2=∠4，理由如下：
因为∠1 与∠2 互补，∠3 与∠4 互补，
所以∠2=180°−∠1，∠4=180°−∠3.
因为∠1=∠3，所以∠2=∠4.
探究3：结论依然成立.
新知生成 (1)相等 (2)相等
【知识点】
补角的定义；余角的定义；余角补角的性质
【点评】
本题是余角、补角相关性质的基础推导题，解题核心是熟练掌握余角、补角的定义，通过等量代换即可推导得出结论，掌握该性质可为后续几何角度计算与关系证明打下基础。
【难度系数】
0.8
1. 已知∠1与∠2互余，∠1=(7x−2)°，∠2=(3x+2)°，则x的值是
9
。答案
1. 9
解析
【分析】
解题首先要明确余角的定义：如果两个角互余，那么这两个角的度数之和为90°。本题已知∠1和∠2互余，且两个角的度数都用含x的代数式表示，我们只需根据余角的定义列出关于x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，根据互余的性质可知：
$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
将$∠ 1=(7x−2)°$，$∠ 2=(3x+2)°$代入上式得：
$(7x - 2) + (3x + 2) = 90$
去括号得：$7x - 2 + 3x + 2 = 90$
合并同类项得：$10x = 90$
系数化为1得：$x = 9$
【答案】
9
【知识点】
余角的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记互余两角的度数和为90°，结合已知条件列方程求解即可，计算过程简单，不容易出错。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确余角的定义：如果两个角互余，那么这两个角的度数之和为90°。本题已知∠1和∠2互余，且两个角的度数都用含x的代数式表示，我们只需根据余角的定义列出关于x的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵∠1与∠2互余，根据互余的性质可知：
$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$
将$∠ 1=(7x−2)°$，$∠ 2=(3x+2)°$代入上式得：
$(7x - 2) + (3x + 2) = 90$
去括号得：$7x - 2 + 3x + 2 = 90$
合并同类项得：$10x = 90$
系数化为1得：$x = 9$
【答案】
9
【知识点】
余角的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记互余两角的度数和为90°，结合已知条件列方程求解即可，计算过程简单，不容易出错。
【难度系数】
0.9
2. 一个锐角的补角等于这个锐角的余角的3倍，求这个锐角的度数.
答案
2. 这个锐角的度数为 45°.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先明确余角和补角的定义：如果两个角的和是90°，则这两个角互为余角；如果两个角的和是180°，则这两个角互为补角。我们可以先设这个锐角的度数为未知数，再用含未知数的式子分别表示出它的补角和余角，最后根据题目给出的“补角等于余角的3倍”这一等量关系列方程，求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设这个锐角的度数为$ x° $。
根据补角的定义，这个锐角的补角为$ (180 - x)° $；
根据余角的定义，这个锐角的余角为$ (90 - x)° $。
根据题意列方程得：
$ 180 - x = 3(90 - x) $
去括号，得：
$ 180 - x = 270 - 3x $
移项，得：
$ -x + 3x = 270 - 180 $
合并同类项，得：
$ 2x = 90 $
系数化为1，得：
$ x = 45 $
【答案】
这个锐角的度数为$ 45° $
【知识点】
余角的概念，补角的概念，列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握余角、补角的表示方法，能从题干中提取等量关系列方程，解题时注意不要混淆余角和补角的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先明确余角和补角的定义：如果两个角的和是90°，则这两个角互为余角；如果两个角的和是180°，则这两个角互为补角。我们可以先设这个锐角的度数为未知数，再用含未知数的式子分别表示出它的补角和余角，最后根据题目给出的“补角等于余角的3倍”这一等量关系列方程，求解方程即可得到答案。
【解析】
解：设这个锐角的度数为$ x° $。
根据补角的定义，这个锐角的补角为$ (180 - x)° $；
根据余角的定义，这个锐角的余角为$ (90 - x)° $。
根据题意列方程得：
$ 180 - x = 3(90 - x) $
去括号，得：
$ 180 - x = 270 - 3x $
移项，得：
$ -x + 3x = 270 - 180 $
合并同类项，得：
$ 2x = 90 $
系数化为1，得：
$ x = 45 $
【答案】
这个锐角的度数为$ 45° $
【知识点】
余角的概念，补角的概念，列一元一次方程解应用题
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握余角、补角的表示方法，能从题干中提取等量关系列方程，解题时注意不要混淆余角和补角的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
请根据本课所学，构建知识体系.
余角和
补角
定义
两角和为
角和为
性质
余角和
补角
定义
两角和为
90°
↔ 互余角和为180°
↔ 互补性质
答案
1. 90°
2. 180°
2. 180°
解析
【分析】
本题考查余角和补角的基础定义，解题时直接回忆互余、互补的概念即可：互余是对和为直角的两个角的关系描述，互补是对和为平角的两个角的关系描述，对应填入对应度数即可。
【解析】
根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就称这两个角互为余角，简称互余，因此第一个空填90°；
根据补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就称这两个角互为补角，简称互补，因此第二个空填180°。
【答案】
90°；180°
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，侧重对基础定义的识记考查，准确掌握余角、补角的相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查余角和补角的基础定义，解题时直接回忆互余、互补的概念即可：互余是对和为直角的两个角的关系描述，互补是对和为平角的两个角的关系描述，对应填入对应度数即可。
【解析】
根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就称这两个角互为余角，简称互余，因此第一个空填90°；
根据补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就称这两个角互为补角，简称互补，因此第二个空填180°。
【答案】
90°；180°
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，侧重对基础定义的识记考查，准确掌握余角、补角的相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
