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例 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.
(1)若$∠ AOC=80°$，则$∠ BOC$是多少度？
(2)若$∠ AOB=40°$，$∠ DOE=30°$，则$∠ BOD$是多少度？
(3)若$∠ AOE=140°$，$∠ COD=30°$，则$∠ AOB$是多少度？
(1)若$∠ AOC=80°$，则$∠ BOC$是多少度？
(2)若$∠ AOB=40°$，$∠ DOE=30°$，则$∠ BOD$是多少度？
(3)若$∠ AOE=140°$，$∠ COD=30°$，则$∠ AOB$是多少度？
答案
解：(1) 因为 OB 是∠AOC 的平分线，∠AOC=80°，
所以∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×80°=40°$.
(2) 因为 OB 是∠AOC 的平分线，所以∠BOC=∠AOB=40°.
因为 OD 是∠COE 的平分线，所以∠COD=∠DOE=30°.
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
(3) 因为∠COD=30°，OD 是∠COE 的平分线，
所以∠COE=2∠COD=60°.
所以∠AOC=∠AOE-∠COE=140°-60°=80°.
因为 OB 是∠AOC 的平分线，
所以∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×80°=40°$.
所以∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×80°=40°$.
(2) 因为 OB 是∠AOC 的平分线，所以∠BOC=∠AOB=40°.
因为 OD 是∠COE 的平分线，所以∠COD=∠DOE=30°.
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
(3) 因为∠COD=30°，OD 是∠COE 的平分线，
所以∠COE=2∠COD=60°.
所以∠AOC=∠AOE-∠COE=140°-60°=80°.
因为 OB 是∠AOC 的平分线，
所以∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×80°=40°$.
解析
【分析】
本题围绕角平分线的定义展开角度计算，解题思路如下：(1)第一问已知OB是∠AOC的平分线，根据角平分线将一个角分成两个相等的小角的性质，直接用∠AOC的度数除以2即可得到∠BOC；(2)第二问求∠BOD，观察图形可知∠BOD由∠BOC和∠COD组成，先根据角平分线的性质分别得出∠BOC=∠AOB、∠COD=∠DOE，再将两个角度相加即可；(3)第三问先根据OD是∠COE的平分线、已知∠COD的度数求出∠COE的度数，再用∠AOE减去∠COE得到∠AOC的度数，最后根据OB是∠AOC的平分线，取∠AOC度数的一半即可求出∠AOB。
【解析】
(1) 因为 OB 是∠AOC 的平分线，∠AOC=80°，
所以∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×80°=40°$.
(2) 因为 OB 是∠AOC 的平分线，所以∠BOC=∠AOB=40°.
因为 OD 是∠COE 的平分线，所以∠COD=∠DOE=30°.
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
(3) 因为∠COD=30°，OD 是∠COE 的平分线，
所以∠COE=2∠COD=60°.
所以∠AOC=∠AOE-∠COE=140°-60°=80°.
因为 OB 是∠AOC 的平分线，
所以∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×80°=40°$.
【答案】
(1)$40°$；(2)$70°$；(3)$40°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角平分线的基础应用类题目，解题的关键是结合图形理清各个角之间的数量关系，熟练运用角平分线的性质进行角度换算即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题围绕角平分线的定义展开角度计算，解题思路如下：(1)第一问已知OB是∠AOC的平分线，根据角平分线将一个角分成两个相等的小角的性质，直接用∠AOC的度数除以2即可得到∠BOC；(2)第二问求∠BOD，观察图形可知∠BOD由∠BOC和∠COD组成，先根据角平分线的性质分别得出∠BOC=∠AOB、∠COD=∠DOE，再将两个角度相加即可；(3)第三问先根据OD是∠COE的平分线、已知∠COD的度数求出∠COE的度数，再用∠AOE减去∠COE得到∠AOC的度数，最后根据OB是∠AOC的平分线，取∠AOC度数的一半即可求出∠AOB。
【解析】
(1) 因为 OB 是∠AOC 的平分线，∠AOC=80°，
所以∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×80°=40°$.
(2) 因为 OB 是∠AOC 的平分线，所以∠BOC=∠AOB=40°.
因为 OD 是∠COE 的平分线，所以∠COD=∠DOE=30°.
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
(3) 因为∠COD=30°，OD 是∠COE 的平分线，
所以∠COE=2∠COD=60°.
所以∠AOC=∠AOE-∠COE=140°-60°=80°.
因为 OB 是∠AOC 的平分线，
所以∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}×80°=40°$.
【答案】
(1)$40°$；(2)$70°$；(3)$40°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角平分线的基础应用类题目，解题的关键是结合图形理清各个角之间的数量关系，熟练运用角平分线的性质进行角度换算即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
如图，O为直线AC上一点，OD是$∠ AOB$的平分线，OE在$∠ BOC$的内部，$∠ BOE=\frac{1}{3}∠ BOC$. 若$∠ DOE=72°$，则$∠ EOC$的度数为 （
A.$70°$
B.$72°$
C.$75°$
D.$80°$
归纳总结
涉及角度的运算，除常规的和、差、倍、分运算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想.
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系.
B
）A.$70°$
B.$72°$
C.$75°$
D.$80°$
归纳总结
涉及角度的运算，除常规的和、差、倍、分运算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想.
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系.
答案
B
解析
【分析】
首先梳理题中已知条件：1. AC为直线，根据平角定义可得∠AOB + ∠BOC = 180°；2. OD是∠AOB的平分线，所以∠DOB等于∠AOB的一半；3. ∠BOE是∠BOC的三分之一，由此可得∠EOC是∠BOC的三分之二；4. ∠DOE由∠DOB和∠BOE组成，度数为72°。解题时我们可以用方程思想，设∠BOE为未知数，将其余相关角度用含该未知数的式子表示，再结合∠DOE的度数列方程求解即可。
【解析】
解：设∠BOE = x，
∵ ∠BOE = $\frac{1}{3}$∠BOC，
∴ ∠BOC = 3x，∠EOC = ∠BOC - ∠BOE = 2x，
∵ O在直线AC上，∠AOC是平角，
∴ ∠AOB + ∠BOC = 180°，即∠AOB = 180° - 3x，
∵ OD平分∠AOB，
∴ ∠DOB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$(180° - 3x) = 90° - $\frac{3}{2}$x，
又
∵ ∠DOE = ∠DOB + ∠BOE = 72°，
代入角度表达式得：90° - $\frac{3}{2}$x + x = 72°，
化简得：90° - $\frac{1}{2}$x = 72°，
解得：x = 36°，
∴ ∠EOC = 2x = 2×36° = 72°。
【答案】
B
【知识点】
平角的定义、角平分线的定义、角度和差运算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，将角的和差倍分关系与方程思想结合考查，解题关键是找准角度之间的数量关系，通过设未知数建立方程求解，降低几何计算的难度。
【难度系数】
0.7
首先梳理题中已知条件：1. AC为直线，根据平角定义可得∠AOB + ∠BOC = 180°；2. OD是∠AOB的平分线，所以∠DOB等于∠AOB的一半；3. ∠BOE是∠BOC的三分之一，由此可得∠EOC是∠BOC的三分之二；4. ∠DOE由∠DOB和∠BOE组成，度数为72°。解题时我们可以用方程思想，设∠BOE为未知数，将其余相关角度用含该未知数的式子表示，再结合∠DOE的度数列方程求解即可。
【解析】
解：设∠BOE = x，
∵ ∠BOE = $\frac{1}{3}$∠BOC，
∴ ∠BOC = 3x，∠EOC = ∠BOC - ∠BOE = 2x，
∵ O在直线AC上，∠AOC是平角，
∴ ∠AOB + ∠BOC = 180°，即∠AOB = 180° - 3x，
∵ OD平分∠AOB，
∴ ∠DOB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$(180° - 3x) = 90° - $\frac{3}{2}$x，
又
∵ ∠DOE = ∠DOB + ∠BOE = 72°，
代入角度表达式得：90° - $\frac{3}{2}$x + x = 72°，
化简得：90° - $\frac{1}{2}$x = 72°，
解得：x = 36°，
∴ ∠EOC = 2x = 2×36° = 72°。
【答案】
B
【知识点】
平角的定义、角平分线的定义、角度和差运算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，将角的和差倍分关系与方程思想结合考查，解题关键是找准角度之间的数量关系，通过设未知数建立方程求解，降低几何计算的难度。
【难度系数】
0.7
求下列各图中的两个角的和.
(1)$130° + 50° = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$65° + 25° = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$108° + 72° = \_\_\_\_\_\_$；
(4)$54° + 36° = \_\_\_\_\_\_$.
探究：根据这些角的和把这四幅图分成两组，你是怎样分的？每一组中的两个角的和有什么共同特点？
新知生成：(1)一般地，如果两个角的和等于$90°$(直角)，就说这两个角________，简称这两个角________，其中一个角是另一个角的________.
(2)类似地，如果两个角的和等于$180°$(平角)，就说这两个角________，简称这两个角________，其中一个角是另一个角的________.
(1)$130° + 50° = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$65° + 25° = \_\_\_\_\_\_$；
(3)$108° + 72° = \_\_\_\_\_\_$；
(4)$54° + 36° = \_\_\_\_\_\_$.
探究：根据这些角的和把这四幅图分成两组，你是怎样分的？每一组中的两个角的和有什么共同特点？
新知生成：(1)一般地，如果两个角的和等于$90°$(直角)，就说这两个角________，简称这两个角________，其中一个角是另一个角的________.
(2)类似地，如果两个角的和等于$180°$(平角)，就说这两个角________，简称这两个角________，其中一个角是另一个角的________.
答案
1. 180°
2. 90°
3. 180°
4. 90°
探究 解：(2)(4)为一组，它们的和都是 90°，(1)(3)为一组，它们的和都是 180°.
新知生成 (1)互为余角 互余 余角
(2)互为补角 互补 补角
2. 90°
3. 180°
4. 90°
探究 解：(2)(4)为一组，它们的和都是 90°，(1)(3)为一组，它们的和都是 180°.
新知生成 (1)互为余角 互余 余角
(2)互为补角 互补 补角
解析
【分析】
解题时先依次计算四个角度加法的结果，再观察结果的数值特征进行分组，最后结合余角、补角的基本定义完成概念填空即可。
【解析】
1. 计算四个角度和：
(1) $130°+50°=180°$
(2) $65°+25°=90°$
(3) $108°+72°=180°$
(4) $54°+36°=90°$
2. 探究分组：
观察计算结果可知，(2)(4)的和均为$90°$，分为一组；(1)(3)的和均为$180°$，分为另一组。
3. 新知生成：
根据余角、补角的定义填空：
(1)两个角和为$90°$时，称这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个的余角。
(2)两个角和为$180°$时，称这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个的补角。
【答案】
(1)$180°$；(2)$90°$；(3)$180°$；(4)$90°$
探究：(2)(4)为一组，和为$90°$；(1)(3)为一组，和为$180°$
新知生成：(1)互为余角；互余；余角 (2)互为补角；互补；补角
【知识点】
角度加法运算；余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，通过计算、分类归纳的方式引导学生直观掌握余角和补角的核心特征，是后续角度计算和几何证明的基础。
【难度系数】
0.9
解题时先依次计算四个角度加法的结果，再观察结果的数值特征进行分组，最后结合余角、补角的基本定义完成概念填空即可。
【解析】
1. 计算四个角度和：
(1) $130°+50°=180°$
(2) $65°+25°=90°$
(3) $108°+72°=180°$
(4) $54°+36°=90°$
2. 探究分组：
观察计算结果可知，(2)(4)的和均为$90°$，分为一组；(1)(3)的和均为$180°$，分为另一组。
3. 新知生成：
根据余角、补角的定义填空：
(1)两个角和为$90°$时，称这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个的余角。
(2)两个角和为$180°$时，称这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个的补角。
【答案】
(1)$180°$；(2)$90°$；(3)$180°$；(4)$90°$
探究：(2)(4)为一组，和为$90°$；(1)(3)为一组，和为$180°$
新知生成：(1)互为余角；互余；余角 (2)互为补角；互补；补角
【知识点】
角度加法运算；余角的定义；补角的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，通过计算、分类归纳的方式引导学生直观掌握余角和补角的核心特征，是后续角度计算和几何证明的基础。
【难度系数】
0.9
