1. 如图，点C，O在线段AB上，AC：BC=2：3，O是AB的中点。若AB=20，则OC=。

1. 2

【分析】
解题时首先结合已知AB的长度和O是AB中点的条件，先求出线段AO的长度；再根据AC与BC的比例关系，结合AB总长度求出AC的长度；最后根据线段的和差关系，用AO减去AC即可得到OC的长度。
【解析】
解：
∵O是AB的中点，AB=20
∴AO = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×20 = 10
∵AC:BC=2:3，且AC+BC=AB=20
∴AC = AB×$\frac{2}{2+3}$ = 20×$\frac{2}{5}$ = 8
∴OC = AO - AC = 10 - 8 = 2
【答案】
2
【知识点】
线段中点的定义；线段和差计算；比例的应用
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题关键是理清各线段之间的数量关系，熟练运用线段中点性质和比例关系求解对应线段长度即可。
【难度系数】
0.8

2. 如图，C为线段AB上一点，D为线段CB的中点，且$AB=18\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$。
(1)求线段BD的长度；
(2)若点E在线段AB上，且是线段AB的三等分点，求线段ED的长。

2. (1) BD=5 cm.
(2) 线段ED的长度为7 cm或1 cm.

【分析】
(1) 要求BD的长度，已知D是CB的中点，只要先求出CB的长度即可。根据线段和差关系，CB=AB-AC，代入已知数值算出CB后，利用中点性质，BD等于CB的一半，就能求出BD。
(2) 点E是AB的三等分点，存在两种情况：一种是E靠近点A，此时AE=$\frac{1}{3}$AB；另一种是E靠近点B，此时AE=$\frac{2}{3}$AB。先算出两种情况下E到A的距离，再结合D点到A的距离，通过线段和差计算就能得到ED的长度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知$AB=18\ \mathrm{cm}$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，根据线段和差关系可得：
$BC=AB-AC=18-8=10(\mathrm{cm})$
∵ D是线段CB的中点
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$
(2)
∵ E是线段AB的三等分点，$AB=18\ \mathrm{cm}$
∴ 三等分AB后每段长度为$18÷3=6(\mathrm{cm})$，分两种情况讨论：
① 当E为靠近A的三等分点时，$AE=6\ \mathrm{cm}$
先求D到A的距离：$AD=AB-BD=18-5=13(\mathrm{cm})$
此时$ED=AD-AE=13-6=7(\mathrm{cm})$
② 当E为靠近B的三等分点时，$AE=2×6=12(\mathrm{cm})$
此时$ED=AD-AE=13-12=1(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $BD=5\ \mathrm{cm}$
(2) 线段ED的长度为$7\ \mathrm{cm}$或$1\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算、线段中点的定义、线段三等分点的定义
【点评】
本题是线段计算的基础题型，重点考查线段中点、三等分点的性质和线段和差的运算，解题时要注意三等分点存在两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

3. 如图，AC为一条直线，O是AC上一点，$∠ AOB = n°$，射线OE，OF分别平分$∠ AOB$和$∠ BOC$，则$∠ EOF =$ .（填度数）

3. 90°

【分析】
解题时首先从已知条件入手：①AC是直线，可得∠AOC是平角，即∠AOB+∠BOC=180°；②OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，根据角平分线定义，可得到∠EOB和∠AOB的关系、∠BOF和∠BOC的关系；观察图形可知∠EOF=∠EOB+∠BOF，将上述两个关系代入后，就能消去未知的n°，算出∠EOF的度数。
【解析】
解：
∵AC为直线，O是AC上一点
∴∠AOC=180°，即$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$
∵OE平分$∠ AOB$，OF平分$∠ BOC$
∴$∠ EOB = \frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ BOF = \frac{1}{2}∠ BOC$
∴$∠ EOF = ∠ EOB + ∠ BOF$
$=\frac{1}{2}∠ AOB + \frac{1}{2}∠ BOC$
$=\frac{1}{2}(∠ AOB + ∠ BOC)$
$=\frac{1}{2} × 180° = 90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础类几何题，解题的关键是结合图形将所求角转化为两个被平分角的和的一半，无需知道n的具体数值即可求出结果，熟练掌握角平分线和平角的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 如图，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC=1：2.
(1)求∠AOC的度数；
(2)过点O作射线OD，若∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB，求∠COD的度数.

4. (1) ∠AOC=40°.
(2) ∠COD的度数为20°或100°.

【分析】
(1) 已知∠AOB的总度数，且∠AOC与∠BOC的比值为1:2，两个角相加恰好等于∠AOB，我们可以通过设未知数，结合角的和差关系列方程求出∠AOC的度数。
(2) 先根据已知条件算出∠AOD的度数，由于题目没有明确射线OD的位置，OD既可能在∠AOB内部，也可能在∠AOB外部，需要分两种情况，结合角的和差关系分别计算∠COD的度数，避免漏解。
【解析】
(1) 设∠AOC = x，由∠AOC:∠BOC = 1:2可得∠BOC = 2x。
∵ ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB，且∠AOB = 120°
∴ x + 2x = 120°
解得x = 40°，即∠AOC = 40°。
(2) 由题意得：$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$，分两种情况讨论：
① 当射线OD在∠AOB内部时：
$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=60°-40°=20°$
② 当射线OD在∠AOB外部时：
$∠ COD=∠ AOD+∠ AOC=60°+40°=100°$
综上，∠COD的度数为20°或100°。
【答案】
(1) $∠ AOC=40°$；(2) $∠ COD$的度数为$20°$或$100°$
【知识点】
角的和差运算；按比例求角度；分类讨论思想
【点评】
本题是角度计算的常规题型，第一问直接利用比例关系和角的和差即可求解，第二问的易错点是忽略射线OD位置的不确定性，未分类讨论导致漏解，解题时要注意考虑所有符合条件的位置情况。
【难度系数】
0.6

5. 如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠AOB的平分线. 若∠BOD = 80°，求∠COE的度数.

5. ∠COE=40°.

【分析】
解题时首先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角分成两个相等的角，大小都是原角的一半。要求∠COE的度数，我们可以先把∠COE拆成两个角的差，即∠AOE与∠AOC的差，再结合两条角平分线的性质，将这两个角分别用∠AOB、∠AOD表示，最后找到∠AOB与∠AOD的差就是已知的∠BOD，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ OC是∠AOD的平分线，
∴ $∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOD$，
∵ OE是∠AOB的平分线，
∴ $∠ AOE = \frac{1}{2}∠ AOB$，
观察图形可得$∠ COE = ∠ AOE - ∠ AOC$，
代入上述结论得：
$\begin{aligned}∠ COE &= \frac{1}{2}∠ AOB - \frac{1}{2}∠ AOD \\&= \frac{1}{2}(∠ AOB - ∠ AOD)\end{aligned}$
又
∵ $∠ AOB - ∠ AOD = ∠ BOD = 80°$，
∴ $∠ COE = \frac{1}{2}×80° = 40°$。
【答案】
∠COE=40°
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题型，核心是利用角平分线的性质建立角的倍分关系，再通过角的和差转化将未知角和已知角关联起来，解题时要注意结合图形准确识别角的位置关系，避免找错角的和差对应关系。
【难度系数】
0.7