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基础知识·预习
问题1 用描点法画反比例函数图象的步骤是什么？
问题2 反比例函数的图象与坐标轴相交吗？为什么？
问题3 如何利用反比例函数的图象和性质比较函数值的大小？你有几种方法？
问题1 用描点法画反比例函数图象的步骤是什么？
问题2 反比例函数的图象与坐标轴相交吗？为什么？
问题3 如何利用反比例函数的图象和性质比较函数值的大小？你有几种方法？
答案
解：
问题1：用描点法画反比例函数图象的步骤为：
① 列表：在自变量$x$的取值范围$x≠0$内，选取若干组互为相反数的数值，分别计算对应的函数$y$的值；
② 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用光滑的曲线顺次连接各象限内的点，延伸得到反比例函数的两支双曲线，连线过程中曲线不与坐标轴相交。
问题2：反比例函数的图象与坐标轴不相交。
理由：反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的取值范围是$x≠0$，因此图象上所有点的横坐标都不为0，图象不会与$y$轴相交；同时由$xy=k≠0$可知，图象上所有点的纵坐标都不为0，图象也不会与$x$轴相交。
问题3：共有两种常用方法：
方法1：图象法：根据给定的自变量取值，在反比例函数图象上找到对应的点，通过比较点的纵坐标的高低，直接得到对应函数值的大小关系。
方法2：性质法：先判断待比较的点是否在双曲线的同一象限内：若$k＞0$，同一象限内$y$随$x$的增大而减小；若$k＜0$，同一象限内$y$随$x$的增大而增大；若点不在同一象限，可直接根据不同象限内函数值的正负性，直接比较出函数值的大小。
问题1：用描点法画反比例函数图象的步骤为：
① 列表：在自变量$x$的取值范围$x≠0$内，选取若干组互为相反数的数值，分别计算对应的函数$y$的值；
② 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用光滑的曲线顺次连接各象限内的点，延伸得到反比例函数的两支双曲线，连线过程中曲线不与坐标轴相交。
问题2：反比例函数的图象与坐标轴不相交。
理由：反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的取值范围是$x≠0$，因此图象上所有点的横坐标都不为0，图象不会与$y$轴相交；同时由$xy=k≠0$可知，图象上所有点的纵坐标都不为0，图象也不会与$x$轴相交。
问题3：共有两种常用方法：
方法1：图象法：根据给定的自变量取值，在反比例函数图象上找到对应的点，通过比较点的纵坐标的高低，直接得到对应函数值的大小关系。
方法2：性质法：先判断待比较的点是否在双曲线的同一象限内：若$k＞0$，同一象限内$y$随$x$的增大而减小；若$k＜0$，同一象限内$y$随$x$的增大而增大；若点不在同一象限，可直接根据不同象限内函数值的正负性，直接比较出函数值的大小。
解析
【分析】
本题设置三个基础问题，均围绕反比例函数图象与性质的核心基础知识点展开，解题思路如下：① 解答画图象步骤问题时，先回顾描点法画函数图象的通用三步（列表、描点、连线），再结合反比例函数自变量x≠0、图象关于原点对称的特点，补充对应特殊要求即可；② 解答图象是否与坐标轴相交问题时，先明确坐标轴上点的坐标特征（y轴上点横坐标为0，x轴上点纵坐标为0），再结合反比例函数解析式中x、y的取值限制推导即可；③ 解答比较函数值大小问题时，可从直观和逻辑两个维度思考，直观维度直接借助图象点位的纵坐标高低判断，逻辑维度借助增减性判断，注意先区分待比较的点是否在同一象限，不同象限的点可直接通过函数值正负性比较。
【解析】
问题1：用描点法画反比例函数图象的步骤为：
① 列表：在自变量$x$的取值范围$x≠0$内，选取若干组互为相反数的数值，分别计算对应的函数$y$的值；
② 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用光滑的曲线顺次连接各象限内的点，延伸得到反比例函数的两支双曲线，连线过程中曲线不与坐标轴相交。
问题2：反比例函数的图象与坐标轴不相交。
理由：反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的取值范围是$x≠0$，因此图象上所有点的横坐标都不为0，图象不会与$y$轴相交；同时由$xy=k≠0$可知，图象上所有点的纵坐标都不为0，图象也不会与$x$轴相交。
问题3：共有两种常用方法：
方法1：图象法：根据给定的自变量取值，在反比例函数图象上找到对应的点，通过比较点的纵坐标的高低，直接得到对应函数值的大小关系。
方法2：性质法：先判断待比较的点是否在双曲线的同一象限内：若$k＞0$，同一象限内$y$随$x$的增大而减小；若$k＜0$，同一象限内$y$随$x$的增大而增大；若点不在同一象限，可直接根据不同象限内函数值的正负性，直接比较出函数值的大小。
【答案】
问题1：用描点法画反比例函数图象的步骤为：
① 列表：在自变量$x$的取值范围$x≠0$内，选取若干组互为相反数的数值，分别计算对应的函数$y$的值；
② 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用光滑的曲线顺次连接各象限内的点，延伸得到反比例函数的两支双曲线，连线过程中曲线不与坐标轴相交。
问题2：反比例函数的图象与坐标轴不相交。理由：反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的取值范围是$x≠0$，因此图象上所有点的横坐标都不为0，图象不会与$y$轴相交；同时由$xy=k≠0$可知，图象上所有点的纵坐标都不为0，图象也不会与$x$轴相交。
问题3：共有两种常用方法：①图象法：根据给定的自变量取值，在反比例函数图象上找到对应的点，通过比较点的纵坐标的高低，直接得到对应函数值的大小关系；②性质法：先判断待比较的点是否在双曲线的同一象限内：若$k＞0$，同一象限内$y$随$x$的增大而减小；若$k＜0$，同一象限内$y$随$x$的增大而增大；若点不在同一象限，可直接根据不同象限内函数值的正负性比较出函数值的大小。
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 反比例函数图象特征
3. 反比例函数增减性应用
【点评】
本题属于反比例函数的基础预习类题目，侧重对基础概念、性质的理解与记忆，相关内容是后续解决反比例函数综合应用问题的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
本题设置三个基础问题，均围绕反比例函数图象与性质的核心基础知识点展开，解题思路如下：① 解答画图象步骤问题时，先回顾描点法画函数图象的通用三步（列表、描点、连线），再结合反比例函数自变量x≠0、图象关于原点对称的特点，补充对应特殊要求即可；② 解答图象是否与坐标轴相交问题时，先明确坐标轴上点的坐标特征（y轴上点横坐标为0，x轴上点纵坐标为0），再结合反比例函数解析式中x、y的取值限制推导即可；③ 解答比较函数值大小问题时，可从直观和逻辑两个维度思考，直观维度直接借助图象点位的纵坐标高低判断，逻辑维度借助增减性判断，注意先区分待比较的点是否在同一象限，不同象限的点可直接通过函数值正负性比较。
【解析】
问题1：用描点法画反比例函数图象的步骤为：
① 列表：在自变量$x$的取值范围$x≠0$内，选取若干组互为相反数的数值，分别计算对应的函数$y$的值；
② 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用光滑的曲线顺次连接各象限内的点，延伸得到反比例函数的两支双曲线，连线过程中曲线不与坐标轴相交。
问题2：反比例函数的图象与坐标轴不相交。
理由：反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的取值范围是$x≠0$，因此图象上所有点的横坐标都不为0，图象不会与$y$轴相交；同时由$xy=k≠0$可知，图象上所有点的纵坐标都不为0，图象也不会与$x$轴相交。
问题3：共有两种常用方法：
方法1：图象法：根据给定的自变量取值，在反比例函数图象上找到对应的点，通过比较点的纵坐标的高低，直接得到对应函数值的大小关系。
方法2：性质法：先判断待比较的点是否在双曲线的同一象限内：若$k＞0$，同一象限内$y$随$x$的增大而减小；若$k＜0$，同一象限内$y$随$x$的增大而增大；若点不在同一象限，可直接根据不同象限内函数值的正负性，直接比较出函数值的大小。
【答案】
问题1：用描点法画反比例函数图象的步骤为：
① 列表：在自变量$x$的取值范围$x≠0$内，选取若干组互为相反数的数值，分别计算对应的函数$y$的值；
② 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
③ 连线：用光滑的曲线顺次连接各象限内的点，延伸得到反比例函数的两支双曲线，连线过程中曲线不与坐标轴相交。
问题2：反比例函数的图象与坐标轴不相交。理由：反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），自变量$x$的取值范围是$x≠0$，因此图象上所有点的横坐标都不为0，图象不会与$y$轴相交；同时由$xy=k≠0$可知，图象上所有点的纵坐标都不为0，图象也不会与$x$轴相交。
问题3：共有两种常用方法：①图象法：根据给定的自变量取值，在反比例函数图象上找到对应的点，通过比较点的纵坐标的高低，直接得到对应函数值的大小关系；②性质法：先判断待比较的点是否在双曲线的同一象限内：若$k＞0$，同一象限内$y$随$x$的增大而减小；若$k＜0$，同一象限内$y$随$x$的增大而增大；若点不在同一象限，可直接根据不同象限内函数值的正负性比较出函数值的大小。
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 反比例函数图象特征
3. 反比例函数增减性应用
【点评】
本题属于反比例函数的基础预习类题目，侧重对基础概念、性质的理解与记忆，相关内容是后续解决反比例函数综合应用问题的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
【典型例题】已知$y$关于$x$的反比例函数$y=(m-3)x^{3-m^2}$的图象的两支分别位于第二、第四象限.
(1)求$m$的值.
(2)若点$(-2,y_1),(-1,y_2),(1,y_3)$都在该函数的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为.(用“＞”连接)
【解】(1)根据题意，得$3-m^2=-1$.
解得$m_1=2,m_2=-2$.
∵该函数图象的两支分别位于第二、第四象限，
∴$m-3＜0$，即$m＜3$.
∴$m$的值为2或$-2$.
(2)$y_2＞y_1＞y_3$
规律方法 反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k$为常数，$k≠0$)的图象特征和性质如下：
(1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.
(2)当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大.
【即学即练】
反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象的一支位于第一象限.
(1)图象的另一支位于第象限，常数$m$的取值范围是.
(2)已知点$A(a,b),B(c,d)$在该函数的图象上.若$a＞c$，则$b$和$d$有怎样的大小关系？
(1)求$m$的值.
(2)若点$(-2,y_1),(-1,y_2),(1,y_3)$都在该函数的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为.(用“＞”连接)
【解】(1)根据题意，得$3-m^2=-1$.
解得$m_1=2,m_2=-2$.
∵该函数图象的两支分别位于第二、第四象限，
∴$m-3＜0$，即$m＜3$.
∴$m$的值为2或$-2$.
(2)$y_2＞y_1＞y_3$
规律方法 反比例函数$y=\frac{k}{x}$($k$为常数，$k≠0$)的图象特征和性质如下：
(1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.
(2)当$k＞0$时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大.
【即学即练】
反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$的图象的一支位于第一象限.
(1)图象的另一支位于第象限，常数$m$的取值范围是.
(2)已知点$A(a,b),B(c,d)$在该函数的图象上.若$a＞c$，则$b$和$d$有怎样的大小关系？
答案
(1)三 $m＞3$
(2)由(1)知该反比例函数的图象的两支分别位于第一、第三象限，
$\therefore$在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小.
分情况讨论.
①当$0＞a＞c$时,$d＞b$.
②当$a＞0＞c$时,$d＜b$.
③当$a＞c＞0$时,$d＞b$.
综上所述,当$a,c$同号时,$d＞b$;当$a,c$异号时,$d＜b$.
(2)由(1)知该反比例函数的图象的两支分别位于第一、第三象限，
$\therefore$在每一个象限内，$y$随$x$的增大而减小.
分情况讨论.
①当$0＞a＞c$时,$d＞b$.
②当$a＞0＞c$时,$d＜b$.
③当$a＞c＞0$时,$d＞b$.
综上所述,当$a,c$同号时,$d＞b$;当$a,c$异号时,$d＜b$.
解析
【分析】
(1) 反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，若一支在第一象限，另一支必然在第三象限；反比例函数图象位于第一、第三象限时，比例系数大于0，据此列不等式即可求出m的取值范围。
(2) 由(1)可知反比例函数比例系数为正，因此在每个象限内y随x的增大而减小，但该增减性仅在同一象限内成立，因此需要分两点在同一象限（同正、同负）和不同象限三种情况讨论，再结合增减性和函数值的正负判断b和d的大小关系。
【解析】
(1)
∵反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，已知图象的一支位于第一象限，
∴图象的另一支位于第三象限。
∵反比例函数图象位于第一、第三象限时，比例系数$m-3＞0$，
解得$m＞3$。
(2) 由(1)得$m-3＞0$，因此该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，分三种情况讨论：
①当两点都在第三象限，即$0＞a＞c$时，根据增减性可得$b＜d$，即$d＞b$；
②当点$A$在第一象限，点$B$在第三象限，即$a＞0＞c$时，$b＞0$，$d＜0$，因此$d＜b$；
③当两点都在第一象限，即$a＞c＞0$时，根据增减性可得$b＜d$，即$d＞b$。
综上，当$a,c$同号时，$d＞b$；当$a,c$异号时，$d＜b$。
【答案】
(1) 三；$m＞3$
(2) 当$a,c$同号时，$d＞b$；当$a,c$异号时，$d＜b$
【知识点】
反比例函数的图象性质；反比例函数的增减性；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查反比例函数的图象与性质，易错点在于使用反比例函数增减性时忽略其适用前提是“在同一象限内”，跨象限比较函数值大小时需结合函数值的正负性分析，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，若一支在第一象限，另一支必然在第三象限；反比例函数图象位于第一、第三象限时，比例系数大于0，据此列不等式即可求出m的取值范围。
(2) 由(1)可知反比例函数比例系数为正，因此在每个象限内y随x的增大而减小，但该增减性仅在同一象限内成立，因此需要分两点在同一象限（同正、同负）和不同象限三种情况讨论，再结合增减性和函数值的正负判断b和d的大小关系。
【解析】
(1)
∵反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，已知图象的一支位于第一象限，
∴图象的另一支位于第三象限。
∵反比例函数图象位于第一、第三象限时，比例系数$m-3＞0$，
解得$m＞3$。
(2) 由(1)得$m-3＞0$，因此该反比例函数在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，分三种情况讨论：
①当两点都在第三象限，即$0＞a＞c$时，根据增减性可得$b＜d$，即$d＞b$；
②当点$A$在第一象限，点$B$在第三象限，即$a＞0＞c$时，$b＞0$，$d＜0$，因此$d＜b$；
③当两点都在第一象限，即$a＞c＞0$时，根据增减性可得$b＜d$，即$d＞b$。
综上，当$a,c$同号时，$d＞b$；当$a,c$异号时，$d＜b$。
【答案】
(1) 三；$m＞3$
(2) 当$a,c$同号时，$d＞b$；当$a,c$异号时，$d＜b$
【知识点】
反比例函数的图象性质；反比例函数的增减性；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查反比例函数的图象与性质，易错点在于使用反比例函数增减性时忽略其适用前提是“在同一象限内”，跨象限比较函数值大小时需结合函数值的正负性分析，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
