1. 在平面直角坐标系中，一次函数 $ y = x - 1 $ 的图象是()。

1. D

【分析】
要判断一次函数对应的图象，我们可以按两步思路分析：第一步先根据一次函数解析式$y=kx+b$中$k$的正负，判断图象的倾斜趋势，先排除不符合的选项；第二步通过$b$的取值或者求解函数与坐标轴的交点，进一步筛选出正确图象。本题中先根据$k=1＞0$判断出图象是上升直线，排除下降的选项，再结合函数与坐标轴的交点即可锁定正确答案。
【解析】
解：对于一次函数$y = x - 1$：
1. 解析式中$k=1＞0$，因此函数图象是从左下向右上倾斜的上升直线，选项B、C的图象为下降直线，不符合特征，排除B、C；
2. 求解函数与坐标轴的交点：
当$x=0$时，代入解析式得$y=0-1=-1$，即函数与$y$轴的交点为$(0,-1)$，选项A与$y$轴交于$(0,1)$，不符合，排除A；
当$y=0$时，代入解析式得$x-1=0$，解得$x=1$，即函数与$x$轴的交点为$(1,0)$，与选项D的图象完全吻合。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数的图象性质
2.一次函数与坐标轴交点求解
【点评】
本题属于一次函数图象识别的基础题型，解题关键是掌握一次函数解析式中$k$、$b$的几何意义，也可通过代入与坐标轴的交点这种特殊点快速判断对应图象，是对一次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8

2. 已知点$(7,y_1),(-5,y_2)$都在直线$y=-2x+1$上,则$y_1$与$y_2$的大小关系为()。

A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.无法比较

2. C

【分析】
要判断$y_1$和$y_2$的大小关系，有两种常规解题思路：思路1：利用一次函数的增减性判断。先明确一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，$k$的正负决定$y$随$x$的变化趋势：$k＞0$时$y$随$x$增大而增大，$k＜0$时$y$随$x$增大而减小，再比较两个点横坐标的大小，即可对应得到$y$值的大小关系。思路2：代入求值法。将两个点的横坐标分别代入直线解析式，计算出$y_1$和$y_2$的具体数值，直接比较大小即可。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性求解
对于一次函数$y=-2x+1$，其中$k=-2＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小。
已知两个点的横坐标分别为$7$和$-5$，且$7＞-5$，根据函数的增减性，横坐标越大对应的$y$值越小，因此$y_1＜y_2$。
方法二：代入计算法
将$x=7$代入$y=-2x+1$，得$y_1=-2×7+1=-13$；
将$x=-5$代入$y=-2x+1$，得$y_2=-2×(-5)+1=11$；
因为$-13＜11$，所以$y_1＜y_2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，两种解法中，利用增减性判断无需计算具体数值，解题效率更高，熟练掌握一次函数的增减性规律是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9

3. 图4-3-5是一次函数$y=kx+b$的图象，当x时，函数的图象在x轴的上方。

3. ＞−2

【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先明确“函数图象在x轴上方”的含义：此时对应的函数值y＞0；其次观察图象找到一次函数与x轴的交点，交点处y=0，对应的x值为-2；最后结合一次函数的增减性判断：该一次函数图象从左到右上升，说明y随x的增大而增大，因此要让y＞0，x的取值就要比交点的x值大。
【解析】
解：函数图象在x轴上方时，对应的函数值满足y＞0。
由图象可知，一次函数$y=kx+b$与x轴的交点坐标为$(-2, 0)$，且该函数y随x的增大而增大。
因此当y＞0时，x的取值范围为$x ＞ -2$，即当$x ＞ -2$时，函数的图象在x轴的上方。
【答案】
＞−2
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数和不等式结合的基础题型，解题核心是建立函数图象位置、函数值符号、自变量取值范围三者的对应关系，结合图象特征即可快速求解。
【难度系数】
0.85

4. 若直线 $ y = ax - 2x + 5 $ 与直线 $ y = 3x + 4 $ 平行，则 $ a $ 的值为 。

4. 5

【分析】
解题前先回忆一次函数两直线平行的性质：若两条一次函数直线$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$平行，需满足一次项系数相等（$k_1=k_2$），且常数项不相等（$b_1≠b_2$，避免两直线重合）。解题第一步先将第一条直线的解析式整理为$y=kx+b$的标准形式，合并$x$的同类项得到它的一次项系数，再令其和第二条直线的一次项系数相等，列方程求解$a$，最后验证常数项是否不等即可。
【解析】
先化简直线$y = ax - 2x + 5$，合并同类项得：
$y = (a - 2)x + 5$
已知该直线与$y = 3x + 4$平行，根据一次函数平行的性质，两直线平行时一次项系数相等，因此：
$a - 2 = 3$
解得$a = 5$。
此时两条直线的常数项分别为5和4，$5≠4$，不会出现重合的情况，符合题意。
【答案】
5
【知识点】
1.一次函数的性质 2.两直线平行的判定条件
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查两直线平行时的系数关系，解题的易错点是忘记先合并第一条直线中$x$的同类项就直接列等式，只要熟练掌握一次函数的相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8

5. 一次函数$y=(3m-7)x-2$的$y$随$x$的增大而减小，且常数$m$为整数，请尝试写出一个符合要求的$m$：。

5. 1(答案不唯一)

【分析】
解决本题首先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。由此可知本题中一次项系数$3m-7$必须小于0，接下来列不等式求解$m$的取值范围，再结合$m$是整数的限制条件，任选一个符合范围的整数即可。
【解析】
解：
∵一次函数$y=(3m-7)x-2$的$y$随$x$的增大而减小
∴一次项系数满足$3m-7＜0$
解不等式：
$3m＜7$
$m＜\frac{7}{3}\approx2.33$
又
∵$m$为整数
∴$m$可取2、1、0等小于等于2的整数，例如$m=1$（答案不唯一）
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
一次函数的增减性；一元一次不等式的整数解
【点评】
本题是基础题，主要考查一次函数增减性与一次项系数的对应关系，只要牢记相关性质，正确列不等式求解，结合整数限制条件就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8

6. 已知一次函数$y=(m-2)x+m+3$的图象不经过第三象限，且m为正整数。
(1)求m的值。
(2)在图4-3-6中的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象。
(3)当$y＜0$时，根据函数图象，写出x的取值范围。

6. 解:(1)由条件可得 $\begin{cases} m-2＜0, \\ m+3≥0, \end{cases}$ 得$-3≤ m＜2$。
因为m为正整数，
所以$m=1$。
(2)由(1)知,$m=1$,
所以$y=-x+4$。
当$x=0$时,$y=4$,当$x=4$时,$y=0$,该函数的图象如所示。
(3)由(2)中函数图象可知,当$y＜0$时,$x＞4$。

【分析】
(1) 求解第一问需先掌握一次函数图象经过象限与系数的关系：一次函数$y=kx+b(k≠0)$若不经过第三象限，需满足斜率$k＜0$（保证函数图象呈下降趋势，不会向第三象限延伸），截距$b≥0$（保证图象与y轴交点在非负半轴，避免经过第三象限）。据此列不等式组求出m的取值范围，再结合m是正整数的限制确定m的值。
(2) 第二问将求得的m值代入解析式得到具体函数，一次函数图象为直线，只需找到图象上两个点（通常取与x轴、y轴的交点），描点连线即可画出图象。
(3) 第三问$y＜0$对应函数图象在x轴下方的部分，直接观察图象即可得到对应x的取值范围。
【解析】
(1)
∵一次函数$y=(m-2)x+m+3$的图象不经过第三象限
∴可得不等式组$\begin{cases} m-2＜0 \\ m+3≥0 \end{cases}$
解不等式$m-2＜0$，得$m＜2$；解不等式$m+3≥0$，得$m≥-3$
∴m的取值范围为$-3≤ m＜2$
又
∵m为正整数，
∴$m=1$
(2) 将$m=1$代入解析式得：$y=(1-2)x+1+3=-x+4$
当$x=0$时，$y=4$，即函数与y轴交点为$(0,4)$；当$y=0$时，$0=-x+4$，解得$x=4$，即函数与x轴交点为$(4,0)$
在坐标系中描出$(0,4)$和$(4,0)$两点，过两点作直线，即为该一次函数的图象。
(3) 观察函数图象，$y＜0$对应图象位于x轴下方的部分，该部分所有点的横坐标都大于4，因此x的取值范围为$x＞4$。
【答案】
(1) $m=1$
(2) 函数解析式为$y=-x+4$，该函数的图象如所示。
(3) $x＞4$
【知识点】
一次函数的图象与性质，一元一次不等式组的解法，一次函数与不等式的关系
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，综合考察了参数求解、图象绘制、图象应用三类核心考点，能够帮助学生熟练掌握一次函数系数与图象的对应关系，以及数形结合解不等式的方法。
【难度系数】
0.7

7. 如图4-3-7,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1=-2x+4$的图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,一次函数$y_2=\frac{1}{2}x+4$的图象与$x$轴交于点$C$。

图4-3-7
(1) 在平面直角坐标系中画出一次函数$y_1=-2x+4$与$y_2=\frac{1}{2}x+4$的图象;
(2) 求$△ ABC$的面积;
(3) 判断$△ ABC$的形状并说明理由。

7. 解:(1)一次函数$y_1=-2x+4$与一次函数$y_2=\frac{1}{2}x+4$的图象如所示。
(2)结合图象与表达式可知$A(2,0),B(0,4),C(-8,0)$,
所以$AC=10$,$OB=4$,
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× OB=20$。
(3)$△ ABC$为直角三角形。
理由:在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,由勾股定理得 $AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$;
在$\mathrm{Rt}△ CBO$中,由勾股定理得 $CB=\sqrt{CO^2+BO^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
因为$AB=2\sqrt{5}$,$CB=4\sqrt{5}$,$AC=10$,所以$AB^2+BC^2=AC^2$,所以$△ ABC$为直角三角形。

【分析】
1. 画一次函数图象：一次函数图象为直线，只需找到直线上两个点连线即可，通常选取函数与x轴、y轴的交点，计算更简便。
2. 求△ABC面积：先求出A、B、C三点坐标，A、C均在x轴上，AC长度为两点横坐标差的绝对值，AC边上的高为点B到x轴的距离即B点纵坐标，代入三角形面积公式即可求解。
3. 判断三角形形状：先用勾股定理分别计算AB、BC的长度，再结合AC的长度，验证三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 绘制$y_1=-2x+4$的图象：令$x=0$，得$y=4$，即点$B(0,4)$；令$y=0$，得$x=2$，即点$A(2,0)$，过A、B两点作直线即为$y_1$的图象。
绘制$y_2=\frac{1}{2}x+4$的图象：令$x=0$，得$y=4$，即点$B(0,4)$；令$y=0$，得$x=-8$，即点$C(-8,0)$，过C、B两点作直线即为$y_2$的图象。
(2) 由上述计算得$A(2,0)$、$B(0,4)$、$C(-8,0)$，则$AC=|2-(-8)|=10$，点B到x轴的距离$OB=4$，
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × OB = \frac{1}{2} × 10 × 4=20$。
(3) △ABC为直角三角形，理由如下：
在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
在$Rt△ CBO$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{CO^2+BO^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$；
已知$AC=10$，则$AB^2+BC^2=(2\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2=20+80=100$，$AC^2=10^2=100$，
可得$AB^2+BC^2=AC^2$，由勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形。
【答案】
(1)一次函数$y_1=-2x+4$与一次函数$y_2=\frac{1}{2}x+4$的图象如所示。
(2)$S_{△ ABC}=20$
(3)$△ ABC$为直角三角形。理由:在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,由勾股定理得 $AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；在$\mathrm{Rt}△ CBO$中,由勾股定理得 $CB=\sqrt{CO^2+BO^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。因为$AB=2\sqrt{5}$,$CB=4\sqrt{5}$,$AC=10$,所以$AB^2+BC^2=AC^2$,所以$△ ABC$为直角三角形。
【知识点】
一次函数的图象、三角形面积计算、勾股定理及逆定理
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题型，覆盖了一次函数图象绘制、坐标系中图形面积求解、直角三角形判定多个考点，解题核心是准确求出一次函数与坐标轴的交点坐标，灵活运用勾股定理及其逆定理。
【难度系数】
0.7