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8. 已知$y-2$与$3x-4$成正比例，且当$x=2$时，$y=3$。
(1)求$y$与$x$之间的关系式；
(2)若点$P(a,-3)$在这个函数的图象上，求$a$的值；
(3)若$y$的取值范围为$-1≤ y≤1$，求$x$的最小值。
(1)求$y$与$x$之间的关系式；
(2)若点$P(a,-3)$在这个函数的图象上，求$a$的值；
(3)若$y$的取值范围为$-1≤ y≤1$，求$x$的最小值。
答案
8. 解:(1)设 $y-2=k(3x-4)(k≠0)$,由条件可得 $2k=1$,解得 $k=\frac{1}{2}$,所以 $y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$,即 $y=\frac{3}{2}x$。
(2)由条件可得 $\frac{3}{2}a=-3$,解得 $a=-2$。
(3)在 $y=\frac{3}{2}x$ 中,因为 $\frac{3}{2}＞0$,所以 y 随 x 的增大而增大,所以当 x 取最小值时,y 值最小。当 $y=-1$ 时,$\frac{3}{2}x=-1$,解得 $x=-\frac{2}{3}$,所以 x 的最小值为 $-\frac{2}{3}$。
(2)由条件可得 $\frac{3}{2}a=-3$,解得 $a=-2$。
(3)在 $y=\frac{3}{2}x$ 中,因为 $\frac{3}{2}＞0$,所以 y 随 x 的增大而增大,所以当 x 取最小值时,y 值最小。当 $y=-1$ 时,$\frac{3}{2}x=-1$,解得 $x=-\frac{2}{3}$,所以 x 的最小值为 $-\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
(1) 若两个量成正比例关系，可根据正比例定义设出含参数$k$的关系式，再将已知的$x$、$y$的对应值代入求出参数$k$，整理后即可得到$y$与$x$的函数关系式。
(2) 点在函数图象上意味着点的横纵坐标满足函数解析式，将点$P$的坐标代入(1)得到的关系式，解一元一次方程即可求出$a$的值。
(3) 先判断一次函数的增减性，由斜率$k＞0$可知$y$随$x$的增大而增大，因此$y$取最小值时对应的$x$就是$x$的最小值，将$y$的最小值代入解析式求解即可。
【解析】
(1) 因为$y-2$与$3x-4$成正比例，设$y-2=k(3x-4)$（$k≠0$）。
将$x=2$，$y=3$代入上式得：$3-2=k(3×2 -4)$，即$2k=1$，解得$k=\frac{1}{2}$。
把$k=\frac{1}{2}$代入所设式子，得$y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$，整理得$y=\frac{3}{2}x$。
(2) 因为点$P(a,-3)$在函数$y=\frac{3}{2}x$的图象上，将$x=a$，$y=-3$代入解析式得：$\frac{3}{2}a=-3$，解得$a=-2$。
(3) 在一次函数$y=\frac{3}{2}x$中，$\frac{3}{2}＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大，因此$y$取最小值时，$x$取得最小值。
已知$y$的取值范围是$-1≤y≤1$，$y$的最小值为$-1$，将$y=-1$代入$y=\frac{3}{2}x$得：$\frac{3}{2}x=-1$，解得$x=-\frac{2}{3}$，即$x$的最小值为$-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2}x$；(2) $a=-2$；(3) $x$的最小值为$-\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例关系定义，一次函数的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的常规基础题，围绕正比例关系、函数解析式求解、函数单调性的应用展开，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关概念和性质，代入法是解决这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
(1) 若两个量成正比例关系，可根据正比例定义设出含参数$k$的关系式，再将已知的$x$、$y$的对应值代入求出参数$k$，整理后即可得到$y$与$x$的函数关系式。
(2) 点在函数图象上意味着点的横纵坐标满足函数解析式，将点$P$的坐标代入(1)得到的关系式，解一元一次方程即可求出$a$的值。
(3) 先判断一次函数的增减性，由斜率$k＞0$可知$y$随$x$的增大而增大，因此$y$取最小值时对应的$x$就是$x$的最小值，将$y$的最小值代入解析式求解即可。
【解析】
(1) 因为$y-2$与$3x-4$成正比例，设$y-2=k(3x-4)$（$k≠0$）。
将$x=2$，$y=3$代入上式得：$3-2=k(3×2 -4)$，即$2k=1$，解得$k=\frac{1}{2}$。
把$k=\frac{1}{2}$代入所设式子，得$y-2=\frac{1}{2}(3x-4)$，整理得$y=\frac{3}{2}x$。
(2) 因为点$P(a,-3)$在函数$y=\frac{3}{2}x$的图象上，将$x=a$，$y=-3$代入解析式得：$\frac{3}{2}a=-3$，解得$a=-2$。
(3) 在一次函数$y=\frac{3}{2}x$中，$\frac{3}{2}＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大，因此$y$取最小值时，$x$取得最小值。
已知$y$的取值范围是$-1≤y≤1$，$y$的最小值为$-1$，将$y=-1$代入$y=\frac{3}{2}x$得：$\frac{3}{2}x=-1$，解得$x=-\frac{2}{3}$，即$x$的最小值为$-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{2}x$；(2) $a=-2$；(3) $x$的最小值为$-\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例关系定义，一次函数的性质，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的常规基础题，围绕正比例关系、函数解析式求解、函数单调性的应用展开，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关概念和性质，代入法是解决这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 根据函数 $y=x+\dfrac{1}{x}+1(x＞0)$ 完成表 4-3-1，
并在平面直角坐标系（图 4-3-3）中画出函数
$y=x+\dfrac{1}{x}+1(x＞0)$ 的图象。根据图象回答
问题：观察函数 $y_1=3x(x≥0)$ 的图象，当 $x$
取何值时，$y_1＞y$？
表 4-3-1
9. 根据函数 $y=x+\dfrac{1}{x}+1(x＞0)$ 完成表 4-3-1，
并在平面直角坐标系（图 4-3-3）中画出函数
$y=x+\dfrac{1}{x}+1(x＞0)$ 的图象。根据图象回答
问题：观察函数 $y_1=3x(x≥0)$ 的图象，当 $x$
取何值时，$y_1＞y$？
表 4-3-1
答案
9. 解:如答表4-3-1。
| $x$ | $\dots$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|---------------|---------------|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $\frac{21}{4}$ | $\frac{7}{2}$ | $3$ | $\frac{7}{2}$ | $\frac{21}{4}$ | $\dots$ |
根据图象可得,当 $x＞1$ 时,$y_1＞y$。
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先完成表格填写，将表中给出的x取值依次代入函数$y=x+\dfrac{1}{x}+1(x＞0)$，计算得到对应的y值即可完成表格；第二步结合表格中坐标点绘制函数$y=x+\dfrac{1}{x}+1$的图像；第三步对比两个函数的图像：首先找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，再观察哪个区间内$y_1=3x$的图像在$y=x+\dfrac{1}{x}+1$的上方，该区间对应的x取值就是$y_1＞y$的解集。
【解析】
1. 计算函数值填表：
当$x=\dfrac{1}{4}$时，$y=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}+1=\dfrac{1}{4}+4+1=\dfrac{21}{4}$；
当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}+1=\dfrac{1}{2}+2+1=\dfrac{7}{2}$；
当$x=1$时，$y=1+\dfrac{1}{1}+1=3$；
当$x=2$时，$y=2+\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{7}{2}$；
当$x=4$时，$y=4+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{21}{4}$，据此完成表格。
2. 结合表格中坐标描点、连线，画出$y=x+\dfrac{1}{x}+1(x＞0)$的图像。
3. 观察两个函数的图像，可得两个图像交点为$(1,3)$：当$x＞1$时，$y_1=3x$的图像位于$y=x+\dfrac{1}{x}+1$的图像上方，对应$y_1＞y$。
【答案】
如答表4-3-1。
| $x$ | $\dots$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|---------------|---------------|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $\frac{21}{4}$ | $\frac{7}{2}$ | $3$ | $\frac{7}{2}$ | $\frac{21}{4}$ | $\dots$ |
根据图象可得,当 $x＞1$ 时,$y_1＞y$。
【知识点】
函数值计算；一次函数的图像；函数与不等式的关系
【点评】
本题侧重考察数形结合思想的应用，需要掌握代入求函数值的基本方法，能通过观察函数图像的位置关系判断函数值的大小，是函数类基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先完成表格填写，将表中给出的x取值依次代入函数$y=x+\dfrac{1}{x}+1(x＞0)$，计算得到对应的y值即可完成表格；第二步结合表格中坐标点绘制函数$y=x+\dfrac{1}{x}+1$的图像；第三步对比两个函数的图像：首先找到两个函数的交点，交点处两个函数值相等，再观察哪个区间内$y_1=3x$的图像在$y=x+\dfrac{1}{x}+1$的上方，该区间对应的x取值就是$y_1＞y$的解集。
【解析】
1. 计算函数值填表：
当$x=\dfrac{1}{4}$时，$y=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}+1=\dfrac{1}{4}+4+1=\dfrac{21}{4}$；
当$x=\dfrac{1}{2}$时，$y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}+1=\dfrac{1}{2}+2+1=\dfrac{7}{2}$；
当$x=1$时，$y=1+\dfrac{1}{1}+1=3$；
当$x=2$时，$y=2+\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{7}{2}$；
当$x=4$时，$y=4+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{21}{4}$，据此完成表格。
2. 结合表格中坐标描点、连线，画出$y=x+\dfrac{1}{x}+1(x＞0)$的图像。
3. 观察两个函数的图像，可得两个图像交点为$(1,3)$：当$x＞1$时，$y_1=3x$的图像位于$y=x+\dfrac{1}{x}+1$的图像上方，对应$y_1＞y$。
【答案】
如答表4-3-1。
| $x$ | $\dots$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|---------------|---------------|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $\frac{21}{4}$ | $\frac{7}{2}$ | $3$ | $\frac{7}{2}$ | $\frac{21}{4}$ | $\dots$ |
根据图象可得,当 $x＞1$ 时,$y_1＞y$。
【知识点】
函数值计算；一次函数的图像；函数与不等式的关系
【点评】
本题侧重考察数形结合思想的应用，需要掌握代入求函数值的基本方法，能通过观察函数图像的位置关系判断函数值的大小，是函数类基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图4-3-4，已知正比例函数$y=kx$的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作$AH⊥x$轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且$△ AOH$的面积为8。
(1)求正比例函数的表达式；
(2)若点P是该正比例函数$y=kx$图象上一点，且使得$△ AHP$的面积是$△ AOH$面积的两倍，求点P的坐标。
(1)求正比例函数的表达式；
(2)若点P是该正比例函数$y=kx$图象上一点，且使得$△ AHP$的面积是$△ AOH$面积的两倍，求点P的坐标。
答案
10. 解:(1)因为点 A 的横坐标为 4,$S_{△ AOH}=8$,所以点 A 的纵坐标为$-4$,所以点 A 的坐标为$(4,-4)$。因为正比例函数$y=kx$的图象经过点 A,所以$-4=4k$,解得 $k=-1$,所以正比例函数的表达式为 $y=-x$。
(2)因为 $A(4,-4)$,所以 $AH=4$。设点 P 的坐标为 $(m,-m)$,因为$△ AHP$ 的面积是$△ AOH$ 面积的两倍,所以 $S_{△ AHP}=2×8=16$,所以 $\frac{1}{2}×4×|4-m|=16$,解得 $m=12$ 或 $m=-4$,所以点 P 的坐标为$(12,-12)$或$(-4,4)$。
(2)因为 $A(4,-4)$,所以 $AH=4$。设点 P 的坐标为 $(m,-m)$,因为$△ AHP$ 的面积是$△ AOH$ 面积的两倍,所以 $S_{△ AHP}=2×8=16$,所以 $\frac{1}{2}×4×|4-m|=16$,解得 $m=12$ 或 $m=-4$,所以点 P 的坐标为$(12,-12)$或$(-4,4)$。
解析
【分析】
(1) 要确定正比例函数的表达式，需要先得到函数经过的点A的坐标。已知点A的横坐标为4，可得OH=4，结合△AOH的面积为8可求出AH的长度，再根据点A在第四象限确定纵坐标的符号，得到A点完整坐标后，代入y=kx即可求出k的值。
(2) 求点P坐标时，先明确△AHP的面积为16，AH的长度为4。由于AH垂直于x轴，△AHP中AH边上的高等于点P到直线x=4的水平距离，也就是点P横坐标与4的差的绝对值。设出点P坐标，根据面积公式列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1)
∵点A的横坐标为4，AH⊥x轴，
∴OH=4，
根据三角形面积公式，$S_{△AOH}=\frac{1}{2}×OH×AH=8$，代入OH=4得：$\frac{1}{2}×4×AH=8$，解得AH=4，
∵点A在第四象限，
∴点A的纵坐标为-4，即A(4,-4)，
将A(4,-4)代入$y=kx$得：$-4=4k$，解得$k=-1$，
∴正比例函数的表达式为$y=-x$。
(2)
∵A(4,-4)，
∴AH=4，
由题意得$S_{△AHP}=2S_{△AOH}=2×8=16$，
设点P的坐标为$(m,-m)$（P在$y=-x$上，纵坐标为横坐标的相反数），
△AHP中AH边上的高为点P到直线x=4的水平距离，即$|m-4|$，
代入面积公式得：$\frac{1}{2}×4×|m-4|=16$，
化简得$|m-4|=8$，
∴$m-4=8$或$m-4=-8$，
解得$m=12$或$m=-4$，
当$m=12$时，$-m=-12$，即P(12,-12)；
当$m=-4$时，$-m=4$，即P(-4,4)。
【答案】
(1) $y=-x$；
(2) 点P的坐标为$(12,-12)$或$(-4,4)$。
【知识点】
正比例函数解析式求解；三角形面积计算；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数与三角形面积的综合应用，解题关键是先确定函数解析式，再结合三角形面积公式构建方程求解未知点，需注意绝对值方程的两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定正比例函数的表达式，需要先得到函数经过的点A的坐标。已知点A的横坐标为4，可得OH=4，结合△AOH的面积为8可求出AH的长度，再根据点A在第四象限确定纵坐标的符号，得到A点完整坐标后，代入y=kx即可求出k的值。
(2) 求点P坐标时，先明确△AHP的面积为16，AH的长度为4。由于AH垂直于x轴，△AHP中AH边上的高等于点P到直线x=4的水平距离，也就是点P横坐标与4的差的绝对值。设出点P坐标，根据面积公式列绝对值方程求解即可，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1)
∵点A的横坐标为4，AH⊥x轴，
∴OH=4，
根据三角形面积公式，$S_{△AOH}=\frac{1}{2}×OH×AH=8$，代入OH=4得：$\frac{1}{2}×4×AH=8$，解得AH=4，
∵点A在第四象限，
∴点A的纵坐标为-4，即A(4,-4)，
将A(4,-4)代入$y=kx$得：$-4=4k$，解得$k=-1$，
∴正比例函数的表达式为$y=-x$。
(2)
∵A(4,-4)，
∴AH=4，
由题意得$S_{△AHP}=2S_{△AOH}=2×8=16$，
设点P的坐标为$(m,-m)$（P在$y=-x$上，纵坐标为横坐标的相反数），
△AHP中AH边上的高为点P到直线x=4的水平距离，即$|m-4|$，
代入面积公式得：$\frac{1}{2}×4×|m-4|=16$，
化简得$|m-4|=8$，
∴$m-4=8$或$m-4=-8$，
解得$m=12$或$m=-4$，
当$m=12$时，$-m=-12$，即P(12,-12)；
当$m=-4$时，$-m=4$，即P(-4,4)。
【答案】
(1) $y=-x$；
(2) 点P的坐标为$(12,-12)$或$(-4,4)$。
【知识点】
正比例函数解析式求解；三角形面积计算；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题考查正比例函数与三角形面积的综合应用，解题关键是先确定函数解析式，再结合三角形面积公式构建方程求解未知点，需注意绝对值方程的两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
