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4. 计算$(a^{-2})^{3} + a^{-2} · a^{7} - a^{2} ÷ a^{-3}$的结果为
$\frac{1}{a^6}$
。答案
4.$\frac{1}{a^6}$
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的混合运算，解题思路是先分别根据整数指数幂的相关运算法则计算每一项，再合并同类项得到最终结果。解题时需先明确三个核心运算法则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘；②同底数幂相乘：底数不变，指数相加；③同底数幂相除：底数不变，指数相减，依次计算三个项后合并即可。
【解析】
解：分别计算原式的三个项：
1. 计算$(a^{-2})^{3}$：根据幂的乘方法则，可得$(a^{-2})^{3}=a^{-2×3}=a^{-6}=\frac{1}{a^6}$；
2. 计算$a^{-2}·a^{7}$：根据同底数幂相乘法则，可得$a^{-2}·a^{7}=a^{-2+7}=a^{5}$；
3. 计算$a^{2}÷a^{-3}$：根据同底数幂相除法则，可得$a^{2}÷a^{-3}=a^{2-(-3)}=a^{5}$；
将上述结果代入原式合并：
原式$=\frac{1}{a^6} + a^5 - a^5 = \frac{1}{a^6}$
【答案】
$\frac{1}{a^6}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整数指数幂的基础运算题，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，计算指数时要注意负号的处理，避免指数加减、相乘时符号出错，合并同类项时注意互为相反数的项可以直接抵消。
【难度系数】
0.8
本题考查整数指数幂的混合运算，解题思路是先分别根据整数指数幂的相关运算法则计算每一项，再合并同类项得到最终结果。解题时需先明确三个核心运算法则：①幂的乘方：底数不变，指数相乘；②同底数幂相乘：底数不变，指数相加；③同底数幂相除：底数不变，指数相减，依次计算三个项后合并即可。
【解析】
解：分别计算原式的三个项：
1. 计算$(a^{-2})^{3}$：根据幂的乘方法则，可得$(a^{-2})^{3}=a^{-2×3}=a^{-6}=\frac{1}{a^6}$；
2. 计算$a^{-2}·a^{7}$：根据同底数幂相乘法则，可得$a^{-2}·a^{7}=a^{-2+7}=a^{5}$；
3. 计算$a^{2}÷a^{-3}$：根据同底数幂相除法则，可得$a^{2}÷a^{-3}=a^{2-(-3)}=a^{5}$；
将上述结果代入原式合并：
原式$=\frac{1}{a^6} + a^5 - a^5 = \frac{1}{a^6}$
【答案】
$\frac{1}{a^6}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整数指数幂的基础运算题，核心是熟练掌握各类幂运算的法则，计算指数时要注意负号的处理，避免指数加减、相乘时符号出错，合并同类项时注意互为相反数的项可以直接抵消。
【难度系数】
0.8
5. 当 $ a = (π - \sqrt{3})^0 + ( \frac{1}{3} )^{-1} $ 时，$ ( 2 - \frac{4}{a - 1} ) · \frac{a^2 - a}{a^2 - 6a + 9} $ 的值为
8
。答案
5.8
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先根据整数指数幂的运算法则计算出a的值；第二步先对所求的分式进行化简，先通分计算括号内的减法，再对分子分母因式分解后约分，最后把a的值代入化简后的式子计算即可，先化简再代入可以简化计算过程，减少出错概率。
【解析】
1. 计算a的值：
根据零指数幂的性质：非零数的0次幂等于1，可得$(π-\sqrt{3})^0=1$；
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得$(\frac{1}{3})^{-1}=3^1=3$；
因此$a=1+3=4$。
2. 化简分式：
$\begin{aligned}&(2 - \frac{4}{a - 1}) · \frac{a^2 - a}{a^2 - 6a + 9}\\=&\frac{2(a-1)-4}{a-1} · \frac{a(a-1)}{(a-3)^2}\\=&\frac{2a - 6}{a-1} · \frac{a(a-1)}{(a-3)^2}\\=&\frac{2(a-3)}{a-1} · \frac{a(a-1)}{(a-3)^2}\\=&\frac{2a}{a-3}\end{aligned}$
3. 代入$a=4$计算：
原式$=\frac{2×4}{4-3}=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 零指数幂运算
2. 负整数指数幂运算
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，综合考查了整数指数幂的运算法则和分式通分、约分的方法，优先化简分式再代值能有效降低计算量，解题时注意不要遗漏分母不为零的隐含条件，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题分两步进行：第一步先根据整数指数幂的运算法则计算出a的值；第二步先对所求的分式进行化简，先通分计算括号内的减法，再对分子分母因式分解后约分，最后把a的值代入化简后的式子计算即可，先化简再代入可以简化计算过程，减少出错概率。
【解析】
1. 计算a的值：
根据零指数幂的性质：非零数的0次幂等于1，可得$(π-\sqrt{3})^0=1$；
根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），可得$(\frac{1}{3})^{-1}=3^1=3$；
因此$a=1+3=4$。
2. 化简分式：
$\begin{aligned}&(2 - \frac{4}{a - 1}) · \frac{a^2 - a}{a^2 - 6a + 9}\\=&\frac{2(a-1)-4}{a-1} · \frac{a(a-1)}{(a-3)^2}\\=&\frac{2a - 6}{a-1} · \frac{a(a-1)}{(a-3)^2}\\=&\frac{2(a-3)}{a-1} · \frac{a(a-1)}{(a-3)^2}\\=&\frac{2a}{a-3}\end{aligned}$
3. 代入$a=4$计算：
原式$=\frac{2×4}{4-3}=8$
【答案】
8
【知识点】
1. 零指数幂运算
2. 负整数指数幂运算
3. 分式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，综合考查了整数指数幂的运算法则和分式通分、约分的方法，优先化简分式再代值能有效降低计算量，解题时注意不要遗漏分母不为零的隐含条件，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
6. 计算：
(1) $4^0 - 2^{-3} + (-3)^2 - (\frac{1}{4})^{-1}$；
(2) $a^{-2}b^{-4} ÷ (a^{-2}b)^{-3}$；
(3) $(-\frac{1}{2}x^2y)^{-3} · (\frac{1}{3}xy^{-2})^2$；
(4) $(m^3n)^{-2} · (2m^{-2}n^{-3})^{-2} ÷ (m^{-1}n)^3$。
(1) $4^0 - 2^{-3} + (-3)^2 - (\frac{1}{4})^{-1}$；
(2) $a^{-2}b^{-4} ÷ (a^{-2}b)^{-3}$；
(3) $(-\frac{1}{2}x^2y)^{-3} · (\frac{1}{3}xy^{-2})^2$；
(4) $(m^3n)^{-2} · (2m^{-2}n^{-3})^{-2} ÷ (m^{-1}n)^3$。
答案
(1)原式=$1-\frac{1}{8}+9-4=\frac{47}{8}.$
(2)原式=$\frac{1}{a^2b^4}÷ (a^6b^{-3})=\frac{1}{a^2b^4}÷ \frac{a^6}{b^3}=\frac{1}{a^2b^4}× \frac{b^3}{a^6}=\frac{1}{a^8b}.$
(3)原式=$(-\frac{1}{2})^{-3}x^{-6}y^{-3} · (\frac{1}{3})^2 x^2 y^{-4}=-\frac{8}{x^6y^3} · \frac{x^2}{9y^4}=-\frac{8}{9x^4y^7}.$
(4)原式=$m^{-6}n^{-2} · 2^{-2}m^4n^6 ÷ (m^{-3}n^3) = 2^{-2}m^{-2}n^4÷ (m^{-3}n^3)=\frac{1}{4}mn.$
(2)原式=$\frac{1}{a^2b^4}÷ (a^6b^{-3})=\frac{1}{a^2b^4}÷ \frac{a^6}{b^3}=\frac{1}{a^2b^4}× \frac{b^3}{a^6}=\frac{1}{a^8b}.$
(3)原式=$(-\frac{1}{2})^{-3}x^{-6}y^{-3} · (\frac{1}{3})^2 x^2 y^{-4}=-\frac{8}{x^6y^3} · \frac{x^2}{9y^4}=-\frac{8}{9x^4y^7}.$
(4)原式=$m^{-6}n^{-2} · 2^{-2}m^4n^6 ÷ (m^{-3}n^3) = 2^{-2}m^{-2}n^4÷ (m^{-3}n^3)=\frac{1}{4}mn.$
解析
【分析】
这4道题均考查整数指数幂的相关运算，解题前需明确核心规则：①零指数幂：$a^0=1(a≠0)$；②负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$；③幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法则对整数指数幂仍然适用。
(1)题属于含幂运算的实数加减混合运算，先分别计算每一项的幂的值，再按从左到右的顺序计算加减法即可。
(2)题先利用积的乘方法则计算除式$(a^{-2}b)^{-3}$，再将负指数幂转化为正指数幂的分式形式，把除法转化为乘法后约分计算。
(3)题先分别利用积的乘方法则计算两个乘方式，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后将负指数幂转化为正指数幂形式。
(4)题先依次计算每个乘方式的结果，再按照从左到右的顺序，依次计算同底数幂的乘法、除法，最后化简得到最简结果。
【解析】
(1) 先分别计算各项幂的值：
$4^0=1$，$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$，$(-3)^2=9$，$(\frac{1}{4})^{-1}=4$
代入原式计算：
原式$=1-\frac{1}{8}+9-4=\frac{7}{8}+5=\frac{47}{8}$
(2) 先计算乘方项：
$(a^{-2}b)^{-3}=(a^{-2})^{-3}·b^{-3}=a^{6}b^{-3}=\frac{a^6}{b^3}$
代入原式将除法转化为乘法：
原式$=\frac{1}{a^2b^4}÷\frac{a^6}{b^3}=\frac{1}{a^2b^4}×\frac{b^3}{a^6}=\frac{1}{a^{2+6}b^{4-3}}=\frac{1}{a^8b}$
(3) 分别计算两个乘方项：
$(-\frac{1}{2}x^2y)^{-3}=(-\frac{1}{2})^{-3}·(x^2)^{-3}·y^{-3}=-8x^{-6}y^{-3}=-\frac{8}{x^6y^3}$
$(\frac{1}{3}xy^{-2})^2=(\frac{1}{3})^2·x^2·(y^{-2})^2=\frac{1}{9}x^2y^{-4}=\frac{x^2}{9y^4}$
再计算乘法：
原式$=-\frac{8}{x^6y^3}·\frac{x^2}{9y^4}=-\frac{8x^2}{9x^6y^{3+4}}=-\frac{8}{9x^4y^7}$
(4) 分别计算各乘方项：
$(m^3n)^{-2}=(m^3)^{-2}·n^{-2}=m^{-6}n^{-2}$
$(2m^{-2}n^{-3})^{-2}=2^{-2}·(m^{-2})^{-2}·(n^{-3})^{-2}=\frac{1}{4}m^4n^6$
$(m^{-1}n)^3=(m^{-1})^3·n^3=m^{-3}n^3$
再按顺序计算乘除：
原式$=m^{-6}n^{-2}·\frac{1}{4}m^4n^6 ÷ (m^{-3}n^3)$
$=\frac{1}{4}m^{-6+4}n^{-2+6} ÷ (m^{-3}n^3)$
$=\frac{1}{4}m^{-2}n^4 ÷ (m^{-3}n^3)$
$=\frac{1}{4}m^{-2-(-3)}n^{4-3}$
$=\frac{1}{4}mn$
【答案】
(1) $\frac{47}{8}$
(2) $\frac{1}{a^8b}$
(3) $-\frac{8}{9x^4y^7}$
(4) $\frac{1}{4}mn$
【知识点】
1. 整数指数幂运算法则
2. 零指数幂
3. 负整数指数幂
【点评】
本组题目是整数指数幂的基础运算题，重点考查对零指数、负指数幂定义的掌握，以及幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘除运算规则的应用。解题时需特别注意系数的符号、指数的符号变化，按先乘方、再乘除的顺序运算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
这4道题均考查整数指数幂的相关运算，解题前需明确核心规则：①零指数幂：$a^0=1(a≠0)$；②负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$；③幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法则对整数指数幂仍然适用。
(1)题属于含幂运算的实数加减混合运算，先分别计算每一项的幂的值，再按从左到右的顺序计算加减法即可。
(2)题先利用积的乘方法则计算除式$(a^{-2}b)^{-3}$，再将负指数幂转化为正指数幂的分式形式，把除法转化为乘法后约分计算。
(3)题先分别利用积的乘方法则计算两个乘方式，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后将负指数幂转化为正指数幂形式。
(4)题先依次计算每个乘方式的结果，再按照从左到右的顺序，依次计算同底数幂的乘法、除法，最后化简得到最简结果。
【解析】
(1) 先分别计算各项幂的值：
$4^0=1$，$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$，$(-3)^2=9$，$(\frac{1}{4})^{-1}=4$
代入原式计算：
原式$=1-\frac{1}{8}+9-4=\frac{7}{8}+5=\frac{47}{8}$
(2) 先计算乘方项：
$(a^{-2}b)^{-3}=(a^{-2})^{-3}·b^{-3}=a^{6}b^{-3}=\frac{a^6}{b^3}$
代入原式将除法转化为乘法：
原式$=\frac{1}{a^2b^4}÷\frac{a^6}{b^3}=\frac{1}{a^2b^4}×\frac{b^3}{a^6}=\frac{1}{a^{2+6}b^{4-3}}=\frac{1}{a^8b}$
(3) 分别计算两个乘方项：
$(-\frac{1}{2}x^2y)^{-3}=(-\frac{1}{2})^{-3}·(x^2)^{-3}·y^{-3}=-8x^{-6}y^{-3}=-\frac{8}{x^6y^3}$
$(\frac{1}{3}xy^{-2})^2=(\frac{1}{3})^2·x^2·(y^{-2})^2=\frac{1}{9}x^2y^{-4}=\frac{x^2}{9y^4}$
再计算乘法：
原式$=-\frac{8}{x^6y^3}·\frac{x^2}{9y^4}=-\frac{8x^2}{9x^6y^{3+4}}=-\frac{8}{9x^4y^7}$
(4) 分别计算各乘方项：
$(m^3n)^{-2}=(m^3)^{-2}·n^{-2}=m^{-6}n^{-2}$
$(2m^{-2}n^{-3})^{-2}=2^{-2}·(m^{-2})^{-2}·(n^{-3})^{-2}=\frac{1}{4}m^4n^6$
$(m^{-1}n)^3=(m^{-1})^3·n^3=m^{-3}n^3$
再按顺序计算乘除：
原式$=m^{-6}n^{-2}·\frac{1}{4}m^4n^6 ÷ (m^{-3}n^3)$
$=\frac{1}{4}m^{-6+4}n^{-2+6} ÷ (m^{-3}n^3)$
$=\frac{1}{4}m^{-2}n^4 ÷ (m^{-3}n^3)$
$=\frac{1}{4}m^{-2-(-3)}n^{4-3}$
$=\frac{1}{4}mn$
【答案】
(1) $\frac{47}{8}$
(2) $\frac{1}{a^8b}$
(3) $-\frac{8}{9x^4y^7}$
(4) $\frac{1}{4}mn$
【知识点】
1. 整数指数幂运算法则
2. 零指数幂
3. 负整数指数幂
【点评】
本组题目是整数指数幂的基础运算题，重点考查对零指数、负指数幂定义的掌握，以及幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘除运算规则的应用。解题时需特别注意系数的符号、指数的符号变化，按先乘方、再乘除的顺序运算可有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
7. 下列四个算式：①$(-1)^0 = -1$；②$(-1)^{-1}=1$；③$2×2^{-2}=\frac{1}{2}$；④$3a^{-2}=\frac{1}{3a^2}(a≠0)$，其中正确的是（
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
7.C
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路为：先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算法则，再逐一计算四个算式，判断正误，最终选出正确选项。具体法则：①零指数幂：任何非零数的0次幂等于1，即$a^0=1(a≠0)$；②负整数指数幂：任何非零数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p是正整数)$。
【解析】
我们逐一验证4个算式：
1. 计算①$(-1)^0$：根据零指数幂法则，$-1≠0$，因此$(-1)^0=1≠-1$，①错误。
2. 计算②$(-1)^{-1}$：根据负整数指数幂法则，$(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^1}=-1≠1$，②错误。
3. 计算③$2×2^{-2}$：先算负指数幂，$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$，再算乘法：$2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，③正确。
4. 计算④$3a^{-2}(a≠0)$：负指数幂仅作用于底数$a$，因此$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}≠\frac{1}{3a^2}$，④错误。
综上，只有③正确，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的性质；负整数指数幂的性质；整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点有两个：一是记错零指数幂的结果，二是计算负整数指数幂时错误把系数也纳入负指数的运算范围，只要牢记运算法则，逐项排查即可得分。
【难度系数】
0.7
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路为：先回忆零指数幂、负整数指数幂的运算法则，再逐一计算四个算式，判断正误，最终选出正确选项。具体法则：①零指数幂：任何非零数的0次幂等于1，即$a^0=1(a≠0)$；②负整数指数幂：任何非零数的-p次幂（p为正整数），等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p是正整数)$。
【解析】
我们逐一验证4个算式：
1. 计算①$(-1)^0$：根据零指数幂法则，$-1≠0$，因此$(-1)^0=1≠-1$，①错误。
2. 计算②$(-1)^{-1}$：根据负整数指数幂法则，$(-1)^{-1}=\frac{1}{(-1)^1}=-1≠1$，②错误。
3. 计算③$2×2^{-2}$：先算负指数幂，$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$，再算乘法：$2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，③正确。
4. 计算④$3a^{-2}(a≠0)$：负指数幂仅作用于底数$a$，因此$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}≠\frac{1}{3a^2}$，④错误。
综上，只有③正确，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的性质；负整数指数幂的性质；整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点有两个：一是记错零指数幂的结果，二是计算负整数指数幂时错误把系数也纳入负指数的运算范围，只要牢记运算法则，逐项排查即可得分。
【难度系数】
0.7
8. $( \dfrac{3b^2}{4a^3} )^{-2} · ( -\dfrac{3}{2}a^{-2}b )^3$ 的结果为（
A.$\dfrac{6}{b}$
B.$-\dfrac{6}{b}$
C.$\dfrac{2}{b}$
D.$-\dfrac{2}{b}$
B
）A.$\dfrac{6}{b}$
B.$-\dfrac{6}{b}$
C.$\dfrac{2}{b}$
D.$-\dfrac{2}{b}$
答案
8.B
解析
【分析】
这道题考查整数指数幂的混合运算，解题思路分为三步：第一步，根据负整数指数幂的运算法则，将第一个含负指数的乘方转化为正指数乘方计算；第二步，根据积的乘方运算法则计算第二个乘方式，分别算出系数、各字母的乘方结果；第三步，将两个化简后的式子相乘，按照同底数幂的乘法规则计算字母的指数，合并系数后化简为最简形式，对应选项即可。运算时要特别注意符号的处理和指数的加减规则，避免出错。
【解析】
解：根据整数指数幂的运算法则计算如下：
1. 计算第一个乘方式：
$( \dfrac{3b^2}{4a^3} )^{-2} = ( \dfrac{4a^3}{3b^2} )^2 = \dfrac{(4a^3)^2}{(3b^2)^2} = \dfrac{16a^6}{9b^4}$
2. 计算第二个乘方式：
$( -\dfrac{3}{2}a^{-2}b )^3 = (-\dfrac{3}{2})^3 · (a^{-2})^3 · b^3 = -\dfrac{27}{8}a^{-6}b^3$
3. 计算两个式子的乘积：
$\begin{aligned}原式 &= \dfrac{16a^6}{9b^4} · ( -\dfrac{27}{8}a^{-6}b^3 ) \\&= ( \dfrac{16}{9} × (-\dfrac{27}{8}) ) · (a^6 · a^{-6}) · (b^{-4} · b^3) \\&= -6 · a^{0} · b^{-1} \\&= -6 × 1 × \dfrac{1}{b} \\&= -\dfrac{6}{b}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算；积的乘方；同底数幂乘法
【点评】
本题是整数指数幂运算的常规题型，核心是熟练掌握各类指数幂的运算法则，运算过程中要注意负号的乘方结果、系数的约分以及指数的加减计算，做完后可检查指数运算和符号是否正确，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查整数指数幂的混合运算，解题思路分为三步：第一步，根据负整数指数幂的运算法则，将第一个含负指数的乘方转化为正指数乘方计算；第二步，根据积的乘方运算法则计算第二个乘方式，分别算出系数、各字母的乘方结果；第三步，将两个化简后的式子相乘，按照同底数幂的乘法规则计算字母的指数，合并系数后化简为最简形式，对应选项即可。运算时要特别注意符号的处理和指数的加减规则，避免出错。
【解析】
解：根据整数指数幂的运算法则计算如下：
1. 计算第一个乘方式：
$( \dfrac{3b^2}{4a^3} )^{-2} = ( \dfrac{4a^3}{3b^2} )^2 = \dfrac{(4a^3)^2}{(3b^2)^2} = \dfrac{16a^6}{9b^4}$
2. 计算第二个乘方式：
$( -\dfrac{3}{2}a^{-2}b )^3 = (-\dfrac{3}{2})^3 · (a^{-2})^3 · b^3 = -\dfrac{27}{8}a^{-6}b^3$
3. 计算两个式子的乘积：
$\begin{aligned}原式 &= \dfrac{16a^6}{9b^4} · ( -\dfrac{27}{8}a^{-6}b^3 ) \\&= ( \dfrac{16}{9} × (-\dfrac{27}{8}) ) · (a^6 · a^{-6}) · (b^{-4} · b^3) \\&= -6 · a^{0} · b^{-1} \\&= -6 × 1 × \dfrac{1}{b} \\&= -\dfrac{6}{b}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
负整数指数幂运算；积的乘方；同底数幂乘法
【点评】
本题是整数指数幂运算的常规题型，核心是熟练掌握各类指数幂的运算法则，运算过程中要注意负号的乘方结果、系数的约分以及指数的加减计算，做完后可检查指数运算和符号是否正确，避免低级错误。
【难度系数】
0.7
9.计算:$(x^{-2}-y^{-2})÷(x^{-1}+y^{-1}).$
答案
【解】原式=$(x^{-1}+y^{-1})(x^{-1}-y^{-1})÷ (x^{-1}+y^{-1})=x^{-1}-y^{-1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}.$
解析
【分析】
解题时先观察式子的结构特征：被除式$x^{-2}-y^{-2}$可以写成$(x^{-1})^2-(y^{-1})^2$，刚好是两个数的平方差的形式，因此第一步可以利用平方差公式对其因式分解；分解后发现因式中含有除式$x^{-1}+y^{-1}$，可以直接约分简化运算；最后根据负整数指数幂的运算性质将负指数转化为正指数，再通分化为最简分式即可。
【解析】
首先利用平方差公式分解被除式：
原式$=(x^{-1}+y^{-1})(x^{-1}-y^{-1}) ÷ (x^{-1}+y^{-1})$
约分化简（$x^{-1}+y^{-1} ≠ 0$）：
$=x^{-1}-y^{-1}$
根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$转化为正指数：
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$
通分计算得：
$=\frac{y-x}{xy}$
【答案】
$\frac{y-x}{xy}$
【知识点】
平方差公式，负整数指数幂运算，分式化简
【点评】
本题属于整数指数幂的常规化简运算题，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，以及负整数指数幂的运算规则，优先选择因式分解约分的思路可以大幅简化计算过程，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
解题时先观察式子的结构特征：被除式$x^{-2}-y^{-2}$可以写成$(x^{-1})^2-(y^{-1})^2$，刚好是两个数的平方差的形式，因此第一步可以利用平方差公式对其因式分解；分解后发现因式中含有除式$x^{-1}+y^{-1}$，可以直接约分简化运算；最后根据负整数指数幂的运算性质将负指数转化为正指数，再通分化为最简分式即可。
【解析】
首先利用平方差公式分解被除式：
原式$=(x^{-1}+y^{-1})(x^{-1}-y^{-1}) ÷ (x^{-1}+y^{-1})$
约分化简（$x^{-1}+y^{-1} ≠ 0$）：
$=x^{-1}-y^{-1}$
根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p$为正整数$)$转化为正指数：
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$
通分计算得：
$=\frac{y-x}{xy}$
【答案】
$\frac{y-x}{xy}$
【知识点】
平方差公式，负整数指数幂运算，分式化简
【点评】
本题属于整数指数幂的常规化简运算题，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，以及负整数指数幂的运算规则，优先选择因式分解约分的思路可以大幅简化计算过程，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
10. 已知$10^{-2a}=3,10^{-b}=-\frac{1}{5}$，求$10^{6a+2b}$的值。
答案
【解】由$10^{-2a}=3$,得$10^{2a}=\frac{1}{3}$;由$10^{-b}=-\frac{1}{5}$,得$10^{b}=-5$,
则$10^{6a+2b}=(10^{2a})^3 · 10^{2b}=(\frac{1}{3})^3×(-5)^2=\frac{25}{27}.$
则$10^{6a+2b}=(10^{2a})^3 · 10^{2b}=(\frac{1}{3})^3×(-5)^2=\frac{25}{27}.$
解析
【分析】
要计算$10^{6a+2b}$的值，我们可以利用整数指数幂的运算性质，将待求式转化为用已知条件表示的形式。首先根据负整数指数幂的运算规则，由已知的$10^{-2a}$和$10^{-b}$的值求出$10^{2a}$和$10^b$的值；再利用幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，把$10^{6a+2b}$拆分为$(10^{2a})^3 · (10^b)^2$，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）：
由$10^{-2a}=3$，可得$10^{2a}=\frac{1}{10^{-2a}}=\frac{1}{3}$；
由$10^{-b}=-\frac{1}{5}$，可得$10^{b}=\frac{1}{10^{-b}}=-5$。
再根据同底数幂的乘法和幂的乘方的运算性质的逆用：
$10^{6a+2b}=10^{6a} · 10^{2b}=(10^{2a})^3 · (10^b)^2$
将$10^{2a}=\frac{1}{3}$，$10^b=-5$代入上式：
原式$=(\frac{1}{3})^3 × (-5)^2=\frac{1}{27} × 25=\frac{25}{27}$
【答案】
$\frac{25}{27}$
【知识点】
负整数指数幂的运算，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查整数指数幂运算性质的灵活应用，解题的核心是熟练掌握幂的相关运算的逆用，将待求式转化为可直接代入已知条件的形式，计算过程中要注意负数偶次幂的符号为正，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
要计算$10^{6a+2b}$的值，我们可以利用整数指数幂的运算性质，将待求式转化为用已知条件表示的形式。首先根据负整数指数幂的运算规则，由已知的$10^{-2a}$和$10^{-b}$的值求出$10^{2a}$和$10^b$的值；再利用幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，把$10^{6a+2b}$拆分为$(10^{2a})^3 · (10^b)^2$，最后代入数值计算即可。
【解析】
解：根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数）：
由$10^{-2a}=3$，可得$10^{2a}=\frac{1}{10^{-2a}}=\frac{1}{3}$；
由$10^{-b}=-\frac{1}{5}$，可得$10^{b}=\frac{1}{10^{-b}}=-5$。
再根据同底数幂的乘法和幂的乘方的运算性质的逆用：
$10^{6a+2b}=10^{6a} · 10^{2b}=(10^{2a})^3 · (10^b)^2$
将$10^{2a}=\frac{1}{3}$，$10^b=-5$代入上式：
原式$=(\frac{1}{3})^3 × (-5)^2=\frac{1}{27} × 25=\frac{25}{27}$
【答案】
$\frac{25}{27}$
【知识点】
负整数指数幂的运算，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查整数指数幂运算性质的灵活应用，解题的核心是熟练掌握幂的相关运算的逆用，将待求式转化为可直接代入已知条件的形式，计算过程中要注意负数偶次幂的符号为正，避免运算出错。
【难度系数】
0.7
11. 已知$(|x|-4)^{x+1}=1$，求整数$x$的值.
小红与小明交流如下：
小红:因为$a^0=1(a≠0)$，所以$x+1=0$，且$|x|-4≠0$，所以$x=-1$.
小明:因为$1^n=1$，所以$|x|-4=1$，所以$x=±5$.
你认为小红与小明的解答合在一起后是对这道题的完整解答吗？若不完整，请求出所有的整数$x$的值.
小红与小明交流如下：
小红:因为$a^0=1(a≠0)$，所以$x+1=0$，且$|x|-4≠0$，所以$x=-1$.
小明:因为$1^n=1$，所以$|x|-4=1$，所以$x=±5$.
你认为小红与小明的解答合在一起后是对这道题的完整解答吗？若不完整，请求出所有的整数$x$的值.
答案
【解】不完整.当$|x|-4=-1$时,解得$x=\pm3$,此时$(|x|-4)^{x+1}=(-1)^4$或$(-1)^{-2}$,其结果都为1,所以再结合小红和小明的解答可知,$x$的值可以为$-1,\pm3,\pm5.$
解析
【分析】
要使$(|x|-4)^{x+1}=1$成立，需分三类讨论所有满足“幂的值为1”的情况：①非零数的零次幂等于1，对应小红的解题思路；②1的任意整数次幂等于1，对应小明的解题思路；③-1的偶次幂等于1，这是小红和小明都遗漏的情况。解题时依次对三类情况列出对应条件求解，再验证结果是否符合限制要求，最后汇总所有符合条件的整数x即可。
【解析】
小红和小明的解答合在一起也不完整，完整求解过程如下：
1. 当指数为0、底数不为0时，根据$a^0=1(a≠0)$可得：
$\begin{cases}x+1=0 \\ |x|-4≠0\end{cases}$
解得$x=-1$，代入验证$|-1|-4=-3≠0$，符合要求，故$x=-1$是解；
2. 当底数为1时，根据$1^n=1$（n为任意整数）可得：
$|x|-4=1$，解得$|x|=5$，即$x=±5$，均为整数，符合要求，故$x=±5$是解；
3. 当底数为-1、指数为偶数时，根据$(-1)^{\mathrm{偶数}}=1$可得：
$\begin{cases}|x|-4=-1 \\ x+1\mathrm{为偶数}\end{cases}$
由$|x|-4=-1$解得$|x|=3$，即$x=±3$：
当$x=3$时，$x+1=4$是偶数，$(-1)^4=1$，符合要求；
当$x=-3$时，$x+1=-2$是偶数，$(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$，符合要求，故$x=±3$是解。
【答案】
整数$x$的值为$-1,\pm3,\pm5$
【知识点】
零指数幂的性质，有理数乘方的性质，整数指数幂的运算
【点评】
本题的易错点是容易遗漏底数为-1且指数为偶数的情况，解题时要对幂结果为1的所有可能情况分类讨论，求解后需验证结果是否符合对应情况的限制条件，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.6
要使$(|x|-4)^{x+1}=1$成立，需分三类讨论所有满足“幂的值为1”的情况：①非零数的零次幂等于1，对应小红的解题思路；②1的任意整数次幂等于1，对应小明的解题思路；③-1的偶次幂等于1，这是小红和小明都遗漏的情况。解题时依次对三类情况列出对应条件求解，再验证结果是否符合限制要求，最后汇总所有符合条件的整数x即可。
【解析】
小红和小明的解答合在一起也不完整，完整求解过程如下：
1. 当指数为0、底数不为0时，根据$a^0=1(a≠0)$可得：
$\begin{cases}x+1=0 \\ |x|-4≠0\end{cases}$
解得$x=-1$，代入验证$|-1|-4=-3≠0$，符合要求，故$x=-1$是解；
2. 当底数为1时，根据$1^n=1$（n为任意整数）可得：
$|x|-4=1$，解得$|x|=5$，即$x=±5$，均为整数，符合要求，故$x=±5$是解；
3. 当底数为-1、指数为偶数时，根据$(-1)^{\mathrm{偶数}}=1$可得：
$\begin{cases}|x|-4=-1 \\ x+1\mathrm{为偶数}\end{cases}$
由$|x|-4=-1$解得$|x|=3$，即$x=±3$：
当$x=3$时，$x+1=4$是偶数，$(-1)^4=1$，符合要求；
当$x=-3$时，$x+1=-2$是偶数，$(-1)^{-2}=\frac{1}{(-1)^2}=1$，符合要求，故$x=±3$是解。
【答案】
整数$x$的值为$-1,\pm3,\pm5$
【知识点】
零指数幂的性质，有理数乘方的性质，整数指数幂的运算
【点评】
本题的易错点是容易遗漏底数为-1且指数为偶数的情况，解题时要对幂结果为1的所有可能情况分类讨论，求解后需验证结果是否符合对应情况的限制条件，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.6
