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1 若$x_1,x_2$是方程$x^2 - 6x - 7 = 0$的两个根，则下列结论中正确的是 （ ）
A. $x_1 + x_2 = 6$
B. $x_1 + x_2 = -6$
C. $x_1x_2 = \dfrac{7}{6}$
D. $x_1x_2 = 7$
A. $x_1 + x_2 = 6$
B. $x_1 + x_2 = -6$
C. $x_1x_2 = \dfrac{7}{6}$
D. $x_1x_2 = 7$
答案
A
2（2024 扬州邗江月考）下列方程中两个实数根之和为 6 的是 （ ）
A. $x^2 - 6x + 10 = 0$
B. $x^2 - 12x + 6 = 0$
C. $2x^2 - 6x - 3 = 0$
D. $x^2 - 6x = 15$
A. $x^2 - 6x + 10 = 0$
B. $x^2 - 12x + 6 = 0$
C. $2x^2 - 6x - 3 = 0$
D. $x^2 - 6x = 15$
答案
D
3 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 8x + m = 0$的两个根为$x_1,x_2$，且$x_1 = 3x_2$，则$m$的值为（ ）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
答案
C
4（2024 南京秦淮期中）已知方程$2x^2 + 5x - 2 = 0$有两个不相等的实数根$m,n$，则下列方程中，两个根分别是$-m,-n$的是 （ ）
A. $2x^2 + 5x - 2 = 0$
B. $2x^2 - 5x + 2 = 0$
C. $2x^2 + 5x + 2 = 0$
D. $2x^2 - 5x - 2 = 0$
A. $2x^2 + 5x - 2 = 0$
B. $2x^2 - 5x + 2 = 0$
C. $2x^2 + 5x + 2 = 0$
D. $2x^2 - 5x - 2 = 0$
答案
D
5 (2024 巴中)已知方程$x^2 - 2x + k = 0$的一个根为－2，则方程的另一个根为________．
答案
4
6 (2024 南京浦口月考)已知$x_1,x_2$是方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的实数根，则$x_1 + x_2 - x_1x_2 =$______．
答案
1
7 (2024 无锡宜兴月考)若菱形的两条对角线的长是方程 $x^2 - 5x + 3 = 0$ 的两根，则菱形的面积是______．
答案
$\frac{3}{2}$
8（2024南京期中）已知一元二次方程$x^2 - 3x + m = 0$的两根是$x_1,x_2$，且$2x_1 + x_2 = 1$，则$m$的值为______．
答案
$-10$
9 已知$x_1,x_2$是方程$\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 = 0$的两根,不解方程.求:
(1) $x_1^2 + x_2^2$;
(2) $(x_1 + 3)(x_2 + 3)$;
(3) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$.
(1) $x_1^2 + x_2^2$;
(2) $(x_1 + 3)(x_2 + 3)$;
(3) $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$.
答案
解：对于方程$\frac 12x^2+3x - 5 = 0，$其中$a=\frac 12，$$b = 3，$$c=-5$根据根与系数的关系可得$x_{1}+x_{2}=-\frac {b}{a}=-\frac 3{\frac 12}=-6，$$x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=\frac {-5}{\frac 12}=-10$$(1)x_{1}^2+x_{2}^2=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=(-6)^2-2×(-10) = 56$$(2)(x_{1}+3)(x_{2}+3)=x_{1}x_{2}+3x_{1}+3x_{2}+9=x_{1}x_{2}+3(x_{1}+x_{2})+9=-10+3×(-6)+9=-19$$(3)\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}=\frac {x_{2}^2+x_{1}^2}{x_{1}x_{2}}=\frac {(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {(-6)^2-2×(-10)}{-10}=-5.6$
10（2024 宿迁宿城期中）关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (m - 3)x - m = 0 $．
（1）求证：不论 $ m $ 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为 $ x_1, x_2 $，且满足 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2} $，求 $ m $ 的值．
（1）求证：不论 $ m $ 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为 $ x_1, x_2 $，且满足 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2} $，求 $ m $ 的值．
答案
$(1)$证明：对于方程$x^2-(m - 3)x - m = 0，$其中$a = 1，$$b=-(m - 3)，$$c=-m$$b^2-4ac=[-(m - 3)]^2-4×1×(-m)=\mathrm {m^2}-6m + 9 + 4m=(m - 1)^2+8$∵$(m - 1)^2\geq 0，$所以$(m - 1)^2+8＞0$∴不论$m $为何值，方程总有两个不相等的实数根$(2)$解：由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=m - 3，$$x_{1}x_{2}=-m$∵$\frac 1{x_{1}}+\frac 1{x_{2}}=\frac 12$∴$\frac 1{x_{1}}+\frac 1{x_{2}}=\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac 12$即$\frac {m - 3}{-m}=\frac 12，$解得$m = 2$
