11（新情境）（2024绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5，则原来的方程是 （ ）
A. $x^2 + 6x + 5 = 0$
B. $x^2 - 7x + 10 = 0$
C. $x^2 - 5x + 2 = 0$
D. $x^2 - 6x - 10 = 0$

B

12（2024 扬州高邮期中）若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 的两根之和是 $ m $，两根之积是 $ n $，则关于 $ t $ 的方程 $ a(t+1)^2 + b(t+1) + c = 0 $ 的两根之积是 （ ）
A. $ n + m - 1 $
B. $ n + m + 1 $
C. $ n - m + 1 $
D. $ n - m - 1 $

C

13 (2024无锡惠山月考)已知$s$满足$2s^2 - 3s - 1 = 0$，$t$满足$2t^2 - 3t - 1 = 0$，且$s≠t$，则$s + t =$______．

$\frac{3}{2}$

14 (2024 无锡锡山月考)若$α,β$为方程$2x^2 - 5x - 1 = 0$的两个实数根，则$2α^2 + 3αβ + 5β$的值为______．

12

15 如图,四边形ABCD是边长为5的菱形,对角线AC,BD的长度分别是一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + 8m = 0$的两个实数根,DH是边AB上的高,则$DH=$______.

$\frac{24}{5}$

16（2024 苏州期中）已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2(m-1)x + m^2 = 0 $ 有实数根.
（1）求 $ m $ 的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为 $ x_1, x_2 $，若 $ x_1^2 + x_2^2 = 8 - 3x_1x_2 $，求 $ m $ 的值.

​$ (1)$​解：对于方程​$x^2-2(m - 1)x +\mathrm {m^2}=0，$​其中​$a = 1，$​​$b=-2(m - 1)，$​​$c=\mathrm {m^2}$​∵方程有实数根∴​$b^2-4ac=[-2(m - 1)]^2-4×1×\mathrm {m^2}=4\ \mathrm {m^2}-8m + 4-4\ \mathrm {m^2}=4-8m\geq 0$​​$ -8\ \mathrm {m}\geq - 4，$​解得​$m\leq \frac 12$​​$ (2)$​∵方程的两个根分别为​$x_{1}，$​​$x_{2}，$​∴​$x_{1}+x_{2}=2m - 2，$​​$x_{1}x_{2}=\mathrm {m^2}$​ ∵​$x_{1}^2+x_{2}^2=8-3x_{1}x_{2}$​∴​$(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=8-3x_{1}x_{2}，$​即​$5\ \mathrm {m^2}-8m - 4 = 0$​解得​$m_{1}=-\frac 25，$​​$m_{2}=2($​舍去​$)$​∴实数​$m $​的值为​$-\frac 25$​

17 (新考法) (2024 无锡新吴期中)如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 有两个实数根,其中一个实数根是另一个实数根的 2 倍,那么称这样的方程是“倍根方程”.例如一元二次方程 $ x^2 - 6x + 8 = 0 $ 的两个根是 $ x_1 = 2, x_2 = 4 $,则方程 $ x^2 - 6x + 8 = 0 $ 是“倍根方程”.
(1) 根据上述定义,一元二次方程 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ ______“倍根方程”(填“是”或“不是”);
(2) 若 $ (x - 2)(mx - n) = 0(m ≠ 0) $ 是“倍根方程”,求 $ m $ 与 $ n $ 的关系;
(3) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 是“倍根方程”,求 $ a,b,c $ 之间的关系.

是
; 解：​$(2)$​由​$(x - 2)(mx - n)=0(m\neq 0)，$​得​$x - 2 = 0$​或​$mx - n = 0$​解得​$x_{1}=2，$​​$x_{2}=\frac {n}{m}$​ ∵​$(x - 2)(mx - n)=0(m\neq 0)$​是​$''$​倍根方程​$''$​∴​$\frac {n}{m}=4$​或​$\frac {n}{m}=1$​∴​$n = 4m_{或}n = m$​​$ (3)$​∵一元二次方程​$ax^2+bx + c = 0(a\neq 0)$​是倍根方程∴​$b^2-4ac＞0，$​设方程的两根分别为​$t，$​​$2t$​ 根据根与系数的关系，得​$t + 2t=-\frac {b}{a}，$​​$t·2t=\frac {c}{a}$​即​$3t=-\frac {b}{a}，$​​$2t^2=\frac {c}{a}$​​$ $​由​$3\ \mathrm {t}=-\frac {b}{a}$​得​$t=-\frac {b}{3a}$​将​$t=-\frac {b}{3a}$​代入​$2t^2=\frac {c}{a}，$​得​$2(-\frac {b}{3a})^2=\frac {c}{a}$​​$ 2×\frac {b^2}{9a^2}=\frac {c}{a}，$​两边同时乘以​$9a^2$​得​$2b^2=9ac$​∴​$a，$​​$b，$​​$c $​之间的关系为​$2b^2=9ac$​