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基础知识·预习
问题1 写出一个二次函数，并在平面直角坐标系中画出它的图象，图象与x轴的公共点的横坐标是多少？怎样求公共点的横坐标？
问题2 通过对上面问题的解答，你能体会到二次函数图象与x轴的公共点个数、公共点的横坐标与一元二次方程之间的关系吗？
问题1 写出一个二次函数，并在平面直角坐标系中画出它的图象，图象与x轴的公共点的横坐标是多少？怎样求公共点的横坐标？
问题2 通过对上面问题的解答，你能体会到二次函数图象与x轴的公共点个数、公共点的横坐标与一元二次方程之间的关系吗？
答案
解：
问题1
选取二次函数$y=x^2-2x-3$，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，与y轴交于点$(0,-3)$。
该图象与x轴的公共点的横坐标为$-1$和$3$。
求公共点横坐标的方法：令二次函数的函数值$y=0$，得到对应的一元二次方程$x^2-2x-3=0$，解这个一元二次方程，所得的实数根就是该二次函数图象与x轴公共点的横坐标。
问题2
对于一般的二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，它的图象与x轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的实数根，二者的对应关系如下：
1. 当一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有2个公共点；
2. 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，对应二次函数的图象与x轴有1个公共点（顶点落在x轴上）；
3. 当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根，对应二次函数的图象与x轴没有公共点。
问题1
选取二次函数$y=x^2-2x-3$，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，与y轴交于点$(0,-3)$。
该图象与x轴的公共点的横坐标为$-1$和$3$。
求公共点横坐标的方法：令二次函数的函数值$y=0$，得到对应的一元二次方程$x^2-2x-3=0$，解这个一元二次方程，所得的实数根就是该二次函数图象与x轴公共点的横坐标。
问题2
对于一般的二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，它的图象与x轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的实数根，二者的对应关系如下：
1. 当一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有2个公共点；
2. 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，对应二次函数的图象与x轴有1个公共点（顶点落在x轴上）；
3. 当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根，对应二次函数的图象与x轴没有公共点。
解析
【分析】
解答问题1时，先选取系数简单、便于计算的二次函数，绘制图象可先确定对称轴、顶点、与坐标轴交点等关键点再描点连线；求与x轴公共点横坐标时，结合x轴上点纵坐标为0的特征，将问题转化为求y=0时对应一元二次方程的根即可。解答问题2时，从问题1的特殊例子推广到一般形式的二次函数，结合一元二次方程根的判别式的三种情况，即可归纳出二次函数与x轴交点、一元二次方程根的对应关系。
【解析】
问题1
选取二次函数$y=x^2-2x-3$：
1. 先确定图象关键点：该函数开口向上，由对称轴公式得对称轴为直线$x=1$，代入$x=1$得顶点坐标为$(1,-4)$，令$x=0$得与y轴交点为$(0,-3)$，描点后可画出抛物线图象。
2. 求与x轴公共点横坐标：令$y=0$，得到方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即公共点横坐标为$-1$和$3$。
3. 方法总结：求二次函数与x轴公共点横坐标，只需令$y=0$，解对应的一元二次方程，所得实数根就是公共点的横坐标。
问题2
从特殊例子推广到一般二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其图象与x轴公共点的横坐标就是对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的实数根，二者的对应关系由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与x轴有2个公共点；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，对应二次函数图象与x轴有1个公共点（顶点落在x轴上）；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根，对应二次函数图象与x轴没有公共点。
【答案】
问题1：选取二次函数$y=x^2-2x-3$，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，与y轴交于点$(0,-3)$。该图象与x轴的公共点的横坐标为$-1$和$3$。求公共点横坐标的方法：令二次函数的函数值$y=0$，得到对应的一元二次方程$x^2-2x-3=0$，解这个一元二次方程，所得的实数根就是该二次函数图象与x轴公共点的横坐标。
问题2：对于一般的二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，它的图象与x轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的实数根，二者的对应关系如下：
1. 当一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有2个公共点；
2. 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，对应二次函数的图象与x轴有1个公共点（顶点落在x轴上）；
3. 当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根，对应二次函数的图象与x轴没有公共点。
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数与一元二次方程的联系
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题从具体实例切入，引导学生建立二次函数与一元二次方程的关联，渗透了数形结合与转化的数学思想，是理解函数与方程对应关系的基础题型，能为后续二次函数的应用打下良好基础。
【难度系数】
0.8
解答问题1时，先选取系数简单、便于计算的二次函数，绘制图象可先确定对称轴、顶点、与坐标轴交点等关键点再描点连线；求与x轴公共点横坐标时，结合x轴上点纵坐标为0的特征，将问题转化为求y=0时对应一元二次方程的根即可。解答问题2时，从问题1的特殊例子推广到一般形式的二次函数，结合一元二次方程根的判别式的三种情况，即可归纳出二次函数与x轴交点、一元二次方程根的对应关系。
【解析】
问题1
选取二次函数$y=x^2-2x-3$：
1. 先确定图象关键点：该函数开口向上，由对称轴公式得对称轴为直线$x=1$，代入$x=1$得顶点坐标为$(1,-4)$，令$x=0$得与y轴交点为$(0,-3)$，描点后可画出抛物线图象。
2. 求与x轴公共点横坐标：令$y=0$，得到方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即公共点横坐标为$-1$和$3$。
3. 方法总结：求二次函数与x轴公共点横坐标，只需令$y=0$，解对应的一元二次方程，所得实数根就是公共点的横坐标。
问题2
从特殊例子推广到一般二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其图象与x轴公共点的横坐标就是对应一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的实数根，二者的对应关系由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：
1. 当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与x轴有2个公共点；
2. 当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，对应二次函数图象与x轴有1个公共点（顶点落在x轴上）；
3. 当$\Delta＜0$时，方程没有实数根，对应二次函数图象与x轴没有公共点。
【答案】
问题1：选取二次函数$y=x^2-2x-3$，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，与y轴交于点$(0,-3)$。该图象与x轴的公共点的横坐标为$-1$和$3$。求公共点横坐标的方法：令二次函数的函数值$y=0$，得到对应的一元二次方程$x^2-2x-3=0$，解这个一元二次方程，所得的实数根就是该二次函数图象与x轴公共点的横坐标。
问题2：对于一般的二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，它的图象与x轴的公共点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的实数根，二者的对应关系如下：
1. 当一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根，对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴有2个公共点；
2. 当$\Delta=b^2-4ac=0$时，方程有两个相等的实数根，对应二次函数的图象与x轴有1个公共点（顶点落在x轴上）；
3. 当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根，对应二次函数的图象与x轴没有公共点。
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数与一元二次方程的联系
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题从具体实例切入，引导学生建立二次函数与一元二次方程的关联，渗透了数形结合与转化的数学思想，是理解函数与方程对应关系的基础题型，能为后续二次函数的应用打下良好基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象如图所示，观察图象并回答下列问题。
(1)方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=$，$x_2=$。
(2)当$y＞0$时，$x$的取值范围为。
(3)若关于$x$的方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，则$t$的取值范围是。
【答案】(1)$-3$ $1$ (2)$-3＜x＜1$
(3)$t≤4$
(1)方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=$，$x_2=$。
(2)当$y＞0$时，$x$的取值范围为。
(3)若关于$x$的方程$-x^2-2x+3=t$有实数根，则$t$的取值范围是。
【答案】(1)$-3$ $1$ (2)$-3＜x＜1$
(3)$t≤4$
答案
(1) $\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{-3＜x＜1}$
(3) $\boldsymbol{t≤4}$
(2) $\boldsymbol{-3＜x＜1}$
(3) $\boldsymbol{t≤4}$
解析
【分析】
本题可结合二次函数图象的性质，利用数形结合思想逐一求解：
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，直接读取图象与x轴的交点横坐标即可；
(2) $y＞0$对应函数图象位于x轴上方的部分，观察这部分图象对应的x的取值范围即可；
(3) 方程$-x^2-2x+3=t$有实根等价于二次函数与直线$y=t$有交点，只需求出二次函数的最大值，即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象与x轴交于$(-3,0)$和$(1,0)$，因此方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) $y＞0$对应二次函数图象在x轴上方的部分，观察图象可得，该部分对应的x的取值范围是$-3＜x＜1$。
(3) 先将二次函数配方求最值：
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x+1)+4=-(x+1)^2+4$
可知二次函数的最大值为4，方程$-x^2-2x+3=t$有实根即函数$y=-x^2-2x+3$与直线$y=t$有交点，因此t的取值不能超过函数最大值，即$t≤4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{-3＜x＜1}$
(3) $\boldsymbol{t≤4}$
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数图象的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，核心考查数形结合思想，需要熟练掌握二次函数图象与对应方程、不等式之间的联系，此类题型是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
本题可结合二次函数图象的性质，利用数形结合思想逐一求解：
(1) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，直接读取图象与x轴的交点横坐标即可；
(2) $y＞0$对应函数图象位于x轴上方的部分，观察这部分图象对应的x的取值范围即可；
(3) 方程$-x^2-2x+3=t$有实根等价于二次函数与直线$y=t$有交点，只需求出二次函数的最大值，即可得到t的取值范围。
【解析】
(1) 由图象可知，二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象与x轴交于$(-3,0)$和$(1,0)$，因此方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=-3$，$x_2=1$。
(2) $y＞0$对应二次函数图象在x轴上方的部分，观察图象可得，该部分对应的x的取值范围是$-3＜x＜1$。
(3) 先将二次函数配方求最值：
$y=-x^2-2x+3=-(x^2+2x+1)+4=-(x+1)^2+4$
可知二次函数的最大值为4，方程$-x^2-2x+3=t$有实根即函数$y=-x^2-2x+3$与直线$y=t$有交点，因此t的取值不能超过函数最大值，即$t≤4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{-3＜x＜1}$
(3) $\boldsymbol{t≤4}$
【知识点】
二次函数与方程的关系；二次函数图象的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，核心考查数形结合思想，需要熟练掌握二次函数图象与对应方程、不等式之间的联系，此类题型是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
