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5.已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，当$0≤ x≤4$时，y的取值范围是
$-4≤y≤5$
。答案
5. $-4≤y≤5$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确二次函数的图象特征，我们可以先将二次函数的一般式配方为顶点式，得到开口方向、对称轴和顶点坐标。由于是求给定区间$0≤x≤4$内$y$的取值范围，首先判断对称轴是否在该区间内：本题二次函数开口向上，若对称轴在区间内，顶点处就是最小值点，再比较区间两个端点的函数值，较大的就是区间内的最大值，由此就能确定$y$的完整取值范围。
【解析】
解：先将二次函数配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-3\\&=(x^2-2x+1)-1-3\\&=(x-1)^2-4\end{aligned}$
可知该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
$\because$ 对称轴$x=1$在区间$0≤ x≤4$内，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-4$。
再分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
$\because 5＞-3$，
$\therefore$ 在$0≤ x≤4$范围内，$y$的最大值为$5$。
综上，$y$的取值范围是$-4≤ y≤5$。
【答案】
$-4≤y≤5$
【知识点】
配方法；二次函数性质；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数区间取值问题的基础题型，解题核心是先判断对称轴与给定区间的位置关系，再结合二次函数的开口方向确定最值的位置，切勿直接代入区间端点计算最值，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确二次函数的图象特征，我们可以先将二次函数的一般式配方为顶点式，得到开口方向、对称轴和顶点坐标。由于是求给定区间$0≤x≤4$内$y$的取值范围，首先判断对称轴是否在该区间内：本题二次函数开口向上，若对称轴在区间内，顶点处就是最小值点，再比较区间两个端点的函数值，较大的就是区间内的最大值，由此就能确定$y$的完整取值范围。
【解析】
解：先将二次函数配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-3\\&=(x^2-2x+1)-1-3\\&=(x-1)^2-4\end{aligned}$
可知该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
$\because$ 对称轴$x=1$在区间$0≤ x≤4$内，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-4$。
再分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$。
$\because 5＞-3$，
$\therefore$ 在$0≤ x≤4$范围内，$y$的最大值为$5$。
综上，$y$的取值范围是$-4≤ y≤5$。
【答案】
$-4≤y≤5$
【知识点】
配方法；二次函数性质；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数区间取值问题的基础题型，解题核心是先判断对称轴与给定区间的位置关系，再结合二次函数的开口方向确定最值的位置，切勿直接代入区间端点计算最值，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
6.如图，矩形OABC的顶点A，B在抛物线$y=x^2+bx-3$上，点C在x轴上，且OA=3，OC=2.求抛物线对应的函数解析式及抛物线的对称轴.
答案
6.【解】
∵OA=3,OC=2,
∴A(0,-3),C(2,0).
∵四边形OABC为矩形,
∴B(2,-3).
把(2,-3)代入$y=x^2+bx-3$,得$-3=4+2b-3$.
解得$b=-2$.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$.
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$.
∵OA=3,OC=2,
∴A(0,-3),C(2,0).
∵四边形OABC为矩形,
∴B(2,-3).
把(2,-3)代入$y=x^2+bx-3$,得$-3=4+2b-3$.
解得$b=-2$.
∴抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$.
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$.
解析
【分析】
解题时首先根据已知的线段长度和点的位置确定点A、C的坐标，再结合矩形对边分别平行于坐标轴的性质，推出点B的坐标；由于点B在抛物线上，将B点坐标代入抛物线表达式即可求出未知参数b，得到抛物线的完整解析式；最后通过配方法或者二次函数对称轴公式求出对称轴即可。
【解析】
∵OA=3，点A在y轴负半轴，OC=2，点C在x轴正半轴，
∴A(0,-3)，C(2,0)。
∵四边形OABC为矩形，
∴点B的横坐标与点C相同，纵坐标与点A相同，即B(2,-3)。
把B(2,-3)代入$y=x^2+bx-3$，得：
$-3=2^2+2b-3$，
整理得$-3=4+2b-3$，
解得$b=-2$。
∴抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
将解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=1}$
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数与几何图形的基础综合题，解题关键是利用矩形的性质得到抛物线上点的坐标，再代入求解参数，掌握二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知的线段长度和点的位置确定点A、C的坐标，再结合矩形对边分别平行于坐标轴的性质，推出点B的坐标；由于点B在抛物线上，将B点坐标代入抛物线表达式即可求出未知参数b，得到抛物线的完整解析式；最后通过配方法或者二次函数对称轴公式求出对称轴即可。
【解析】
∵OA=3，点A在y轴负半轴，OC=2，点C在x轴正半轴，
∴A(0,-3)，C(2,0)。
∵四边形OABC为矩形，
∴点B的横坐标与点C相同，纵坐标与点A相同，即B(2,-3)。
把B(2,-3)代入$y=x^2+bx-3$，得：
$-3=2^2+2b-3$，
整理得$-3=4+2b-3$，
解得$b=-2$。
∴抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-2x-3$。
将解析式配方得：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$。
【答案】
抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=1}$
【知识点】
矩形的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数与几何图形的基础综合题，解题关键是利用矩形的性质得到抛物线上点的坐标，再代入求解参数，掌握二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
7. 如果二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，那么下列结论正确的是（
A.$abc＜0$
B.$2a - b = 0$
C.$a - b + c ＞ 0$
D.$a + b + c ＞ 0$
C
）A.$abc＜0$
B.$2a - b = 0$
C.$a - b + c ＞ 0$
D.$a + b + c ＞ 0$
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图像提取核心信息：先根据开口方向确定a的符号，再根据抛物线与y轴的交点确定c的取值，结合抛物线与x轴的两个交点算出对称轴，进而推导b的符号及a和b的数量关系；最后将各选项的代数式对应到x取特殊值时的函数值，结合图像判断函数值的正负，即可选出正确结论。
【解析】
第一步：推导参数的性质及关系
① 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
② 抛物线过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=0$；
③ 抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(2,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$，结合$a＞0$可知$b＜0$。
第二步：逐个分析选项
A选项：$abc=a× b× 0=0$，因此$abc＜0$不成立，A错误；
B选项：将$b=-2a$代入$2a-b$，得$2a-(-2a)=4a≠0$，B错误；
C选项：$a-b+c$是$x=-1$时对应的函数值，由图像可知，当$x=-1$时，函数图像在x轴上方，即函数值$y＞0$，因此$a-b+c＞0$，C正确；
D选项：$a+b+c$是$x=1$时对应的函数值，由图像可知，$x=1$是抛物线顶点，位于x轴下方，即函数值$y＜0$，因此$a+b+c＜0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数对称轴，二次函数特殊值判断
【点评】
本题是二次函数的常考题型，解题核心是建立图像特征与代数式的对应关系，需要熟练掌握二次函数开口、交点、对称轴等性质，结合特殊x值的函数值判断选项，难度不高但需要细心推导。
【难度系数】
0.7
解题时首先从二次函数图像提取核心信息：先根据开口方向确定a的符号，再根据抛物线与y轴的交点确定c的取值，结合抛物线与x轴的两个交点算出对称轴，进而推导b的符号及a和b的数量关系；最后将各选项的代数式对应到x取特殊值时的函数值，结合图像判断函数值的正负，即可选出正确结论。
【解析】
第一步：推导参数的性质及关系
① 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
② 抛物线过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=0$；
③ 抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(2,0)$，因此对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，化简得$b=-2a$，结合$a＞0$可知$b＜0$。
第二步：逐个分析选项
A选项：$abc=a× b× 0=0$，因此$abc＜0$不成立，A错误；
B选项：将$b=-2a$代入$2a-b$，得$2a-(-2a)=4a≠0$，B错误；
C选项：$a-b+c$是$x=-1$时对应的函数值，由图像可知，当$x=-1$时，函数图像在x轴上方，即函数值$y＞0$，因此$a-b+c＞0$，C正确；
D选项：$a+b+c$是$x=1$时对应的函数值，由图像可知，$x=1$是抛物线顶点，位于x轴下方，即函数值$y＜0$，因此$a+b+c＜0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数对称轴，二次函数特殊值判断
【点评】
本题是二次函数的常考题型，解题核心是建立图像特征与代数式的对应关系，需要熟练掌握二次函数开口、交点、对称轴等性质，结合特殊x值的函数值判断选项，难度不高但需要细心推导。
【难度系数】
0.7
8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+b(a≠0)$和二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象可能是（
A
）答案
8. A
解析
【分析】
本题考查同一坐标系中一次函数与二次函数图象的匹配，解题核心是两个函数共有的参数a、b的符号要保持一致。思路如下：第一步先判断参数a的符号：一次函数中a决定直线的升降（a＞0直线上升，a＜0直线下降），二次函数中a决定开口方向（a＞0开口向上，a＜0开口向下），先排除a符号矛盾的选项；第二步判断参数b的符号：二次函数中可通过对称轴$x=-\frac{b}{2a}$的位置，结合已确定的a的符号推出b的符号，再和一次函数中b（直线与y轴交点的纵坐标，交点在正半轴则b＞0，负半轴则b＜0）对比，符号一致的即为正确选项。
【解析】
我们逐一分析选项：
选项A：
1. 二次函数开口向上，得$a＞0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$，推出$b＞0$。
2. 一次函数图象上升，得$a＞0$；与y轴交点在正半轴，得$b＞0$，两个函数参数符号完全一致，符合要求。
选项B：
二次函数开口向下，得$a＜0$；但一次函数图象上升，得$a＞0$，a的符号矛盾，排除。
选项C：
二次函数开口向上，得$a＞0$；但一次函数图象下降，得$a＜0$，a的符号矛盾，排除。
选项D：
1. 二次函数开口向下，得$a＜0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＜0$，推出$b＜0$。
2. 一次函数与y轴交点在正半轴，得$b＞0$，b的符号矛盾，排除。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，数形结合思想
【点评】
本题是函数图象类的基础典型题，解题时无需计算具体数值，只需抓住共有的参数符号是否统一即可快速排除错误选项，能有效考查对函数图象性质的掌握程度和读图分析能力。
【难度系数】
0.7
本题考查同一坐标系中一次函数与二次函数图象的匹配，解题核心是两个函数共有的参数a、b的符号要保持一致。思路如下：第一步先判断参数a的符号：一次函数中a决定直线的升降（a＞0直线上升，a＜0直线下降），二次函数中a决定开口方向（a＞0开口向上，a＜0开口向下），先排除a符号矛盾的选项；第二步判断参数b的符号：二次函数中可通过对称轴$x=-\frac{b}{2a}$的位置，结合已确定的a的符号推出b的符号，再和一次函数中b（直线与y轴交点的纵坐标，交点在正半轴则b＞0，负半轴则b＜0）对比，符号一致的即为正确选项。
【解析】
我们逐一分析选项：
选项A：
1. 二次函数开口向上，得$a＞0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$，推出$b＞0$。
2. 一次函数图象上升，得$a＞0$；与y轴交点在正半轴，得$b＞0$，两个函数参数符号完全一致，符合要求。
选项B：
二次函数开口向下，得$a＜0$；但一次函数图象上升，得$a＞0$，a的符号矛盾，排除。
选项C：
二次函数开口向上，得$a＞0$；但一次函数图象下降，得$a＜0$，a的符号矛盾，排除。
选项D：
1. 二次函数开口向下，得$a＜0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＜0$，推出$b＜0$。
2. 一次函数与y轴交点在正半轴，得$b＞0$，b的符号矛盾，排除。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，数形结合思想
【点评】
本题是函数图象类的基础典型题，解题时无需计算具体数值，只需抓住共有的参数符号是否统一即可快速排除错误选项，能有效考查对函数图象性质的掌握程度和读图分析能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的顶点为 M，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，OA=1，OB=OC=3，则 CM 的长为
$\sqrt{2}$
。答案
9. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据OA、OB、OC的长度及点的位置确定A、B、C三点的坐标，再将三点坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求出a、b、c的值，得到抛物线的解析式，接着求出抛物线顶点M的坐标，最后利用两点之间的距离公式计算CM的长度即可。
【解析】
第一步：确定各点坐标
由图可知点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，点C在y轴负半轴，
∵OA=1，OB=3，OC=3，
∴A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)。
第二步：用待定系数法求抛物线解析式
将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)代入$y = ax^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0 \\c = -3\end{cases}$
把$c=-3$代入前两个方程，得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$4a=4$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a - b =3$，得$1 - b =3$，解得$b=-2$，
∴抛物线解析式为$y=x^2 -2x -3$。
第三步：求顶点M的坐标
对解析式配方：$y=x^2 -2x -3=(x-1)^2 -4$，
∴顶点M的坐标为$(1,-4)$。
第四步：计算CM的长度
根据两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，
已知$C(0,-3)$，$M(1,-4)$，
∴$CM=\sqrt{(1-0)^2 + (-4 - (-3))^2}=\sqrt{1^2 + (-1)^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，两点间距离公式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题核心是根据线段长度确定对应点的坐标，再结合二次函数的相关性质逐步求解，是二次函数部分的常考基础题型，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先根据OA、OB、OC的长度及点的位置确定A、B、C三点的坐标，再将三点坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求出a、b、c的值，得到抛物线的解析式，接着求出抛物线顶点M的坐标，最后利用两点之间的距离公式计算CM的长度即可。
【解析】
第一步：确定各点坐标
由图可知点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，点C在y轴负半轴，
∵OA=1，OB=3，OC=3，
∴A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)。
第二步：用待定系数法求抛物线解析式
将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)代入$y = ax^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0 \\c = -3\end{cases}$
把$c=-3$代入前两个方程，得：
$\begin{cases}a - b = 3 \\3a + b = 1\end{cases}$
两式相加得$4a=4$，解得$a=1$，
将$a=1$代入$a - b =3$，得$1 - b =3$，解得$b=-2$，
∴抛物线解析式为$y=x^2 -2x -3$。
第三步：求顶点M的坐标
对解析式配方：$y=x^2 -2x -3=(x-1)^2 -4$，
∴顶点M的坐标为$(1,-4)$。
第四步：计算CM的长度
根据两点间距离公式，若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，
已知$C(0,-3)$，$M(1,-4)$，
∴$CM=\sqrt{(1-0)^2 + (-4 - (-3))^2}=\sqrt{1^2 + (-1)^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，两点间距离公式
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，解题核心是根据线段长度确定对应点的坐标，再结合二次函数的相关性质逐步求解，是二次函数部分的常考基础题型，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
10.如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是$(0,\sqrt{3})$,以点C为顶点的抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$恰好经过x轴上的A,B两点,过点C作$CE⊥x$轴,垂足为E.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)求经过A,B,C三点的抛物线对应的函数解析式.
(3)若上述抛物线向上平移后恰好过点D,求平移后所得抛物线对应的函数解析式,并指出平移了多少个单位长度.
(1)求A,B,C三点的坐标.
(2)求经过A,B,C三点的抛物线对应的函数解析式.
(3)若上述抛物线向上平移后恰好过点D,求平移后所得抛物线对应的函数解析式,并指出平移了多少个单位长度.
答案
10.【解】(1)由四边形ABCD是菱形可知,AB=AD=BC=DC.易得四边形ODCE为矩形.
∴OD=EC.
∴Rt△AOD≌Rt△BEC(HL).
由抛物线的对称性可知,AE=BE.
∴OA=EB=EA.
设菱形的边长为2m,则OA=EB=EA=$\frac{1}{2}$AB=m.
在Rt△AOD中,$m^2+(\sqrt{3})^2=(2m)^2$.
解得m=1.
∴DC=2,OA=1,OB=3.
∴A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),$(2,\sqrt{3})$.
(2)设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+\sqrt{3}$.代入点A的坐标(1,0),得$a=-\sqrt{3}$,
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$.
(3)设平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+k$.代入点D的坐标$(0,\sqrt{3})$,得$k=5\sqrt{3}$.
∴平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$,平移了$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$(个)单位长度.
∴OD=EC.
∴Rt△AOD≌Rt△BEC(HL).
由抛物线的对称性可知,AE=BE.
∴OA=EB=EA.
设菱形的边长为2m,则OA=EB=EA=$\frac{1}{2}$AB=m.
在Rt△AOD中,$m^2+(\sqrt{3})^2=(2m)^2$.
解得m=1.
∴DC=2,OA=1,OB=3.
∴A,B,C三点的坐标分别为(1,0),(3,0),$(2,\sqrt{3})$.
(2)设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+\sqrt{3}$.代入点A的坐标(1,0),得$a=-\sqrt{3}$,
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$.
(3)设平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+k$.代入点D的坐标$(0,\sqrt{3})$,得$k=5\sqrt{3}$.
∴平移后的抛物线对应的函数解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$,平移了$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$(个)单位长度.
解析
【分析】
(1)求解A、B、C三点坐标：先利用菱形四边相等、对边平行的性质，结合CE⊥x轴、OD⊥x轴判定四边形ODCE为矩形，得到CE=OD=√3；再根据抛物线的对称性得AE=BE，推导可知OA=AE=BE，设OA为m，结合菱形边长为2m，在Rt△AOD中用勾股定理列方程求解m，即可得到三点坐标。
(2)求解抛物线解析式：已知抛物线顶点为C，优先选用顶点式设函数解析式，代入A点坐标即可求出未知系数a，得到解析式。
(3)求解平移后解析式：抛物线上下平移时开口方向、对称轴不变，仅顶点纵坐标改变，设平移后的顶点式解析式，代入D点坐标求出平移后的顶点纵坐标，与原顶点纵坐标的差值即为平移的单位长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，CD//AB。
∵CE⊥x轴，OD⊥x轴，
∴四边形ODCE是矩形，
∴CE=OD=√3，CD=OE。
由抛物线的对称性可知，抛物线对称轴为直线CE，
∴AE=BE，
∴OA=OE-AE=CD-AE=AB-AE=BE，即OA=AE=BE。
设OA=m，则菱形边长AD=AB=2m，在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$m^2+(\sqrt{3})^2=(2m)^2$，解得$m=1$（负值舍去）。
∴OA=1，OE=CD=2，OB=OE+EB=3，CE=√3，
即A(1,0)，B(3,0)，C(2,√3)。
(2)
∵抛物线顶点为C(2,√3)，设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+\sqrt{3}$，
将A(1,0)代入得：$0=a(1-2)^2+\sqrt{3}$，解得$a=-\sqrt{3}$，
∴抛物线解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$。
(3)设向上平移后的抛物线解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+k$，
将D(0,√3)代入得：$\sqrt{3}=-\sqrt{3}(0-2)^2+k$，解得$k=5\sqrt{3}$，
∴平移后解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$，
平移的单位长度为$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) A(1,0)，B(3,0)，C(2,√3)；
(2) $y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$；
(3) 平移后解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$，向上平移了$4\sqrt{3}$个单位长度。
【知识点】
菱形的性质；二次函数解析式求解；二次函数图象平移
【点评】
本题是几何与二次函数结合的综合题，既考查了矩形判定、勾股定理等几何知识，又考查了二次函数顶点式应用、平移规律等代数知识，解题时可利用抛物线对称性简化运算，熟练掌握函数平移的规律是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.65
(1)求解A、B、C三点坐标：先利用菱形四边相等、对边平行的性质，结合CE⊥x轴、OD⊥x轴判定四边形ODCE为矩形，得到CE=OD=√3；再根据抛物线的对称性得AE=BE，推导可知OA=AE=BE，设OA为m，结合菱形边长为2m，在Rt△AOD中用勾股定理列方程求解m，即可得到三点坐标。
(2)求解抛物线解析式：已知抛物线顶点为C，优先选用顶点式设函数解析式，代入A点坐标即可求出未知系数a，得到解析式。
(3)求解平移后解析式：抛物线上下平移时开口方向、对称轴不变，仅顶点纵坐标改变，设平移后的顶点式解析式，代入D点坐标求出平移后的顶点纵坐标，与原顶点纵坐标的差值即为平移的单位长度。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，CD//AB。
∵CE⊥x轴，OD⊥x轴，
∴四边形ODCE是矩形，
∴CE=OD=√3，CD=OE。
由抛物线的对称性可知，抛物线对称轴为直线CE，
∴AE=BE，
∴OA=OE-AE=CD-AE=AB-AE=BE，即OA=AE=BE。
设OA=m，则菱形边长AD=AB=2m，在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$m^2+(\sqrt{3})^2=(2m)^2$，解得$m=1$（负值舍去）。
∴OA=1，OE=CD=2，OB=OE+EB=3，CE=√3，
即A(1,0)，B(3,0)，C(2,√3)。
(2)
∵抛物线顶点为C(2,√3)，设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2+\sqrt{3}$，
将A(1,0)代入得：$0=a(1-2)^2+\sqrt{3}$，解得$a=-\sqrt{3}$，
∴抛物线解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$。
(3)设向上平移后的抛物线解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+k$，
将D(0,√3)代入得：$\sqrt{3}=-\sqrt{3}(0-2)^2+k$，解得$k=5\sqrt{3}$，
∴平移后解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$，
平移的单位长度为$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) A(1,0)，B(3,0)，C(2,√3)；
(2) $y=-\sqrt{3}(x-2)^2+\sqrt{3}$；
(3) 平移后解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^2+5\sqrt{3}$，向上平移了$4\sqrt{3}$个单位长度。
【知识点】
菱形的性质；二次函数解析式求解；二次函数图象平移
【点评】
本题是几何与二次函数结合的综合题，既考查了矩形判定、勾股定理等几何知识，又考查了二次函数顶点式应用、平移规律等代数知识，解题时可利用抛物线对称性简化运算，熟练掌握函数平移的规律是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.65
11. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,该抛物线的顶点为 $C$.点 $P$ 为该抛物线上一点,其横坐标为 $m$.当 $m ＞ 0$ 时,设该抛物线在点 $B$ 与点 $P$ 之间(包含点 $B$ 和点 $P$)的部分的最低点和最高点到 $x$ 轴的距离分别为 $d,n$.当 $d - n = 1$ 时,$m$ 的取值范围为
$1≤m≤2$ 或 $m=1+\sqrt{7}$
.答案
11. $1≤m≤2$ 或 $m=1+\sqrt{7}$ 【解析】如图,过点 B 作BE//x轴交抛物线于点E.
$y=x^2-2x-3$ 可转化为 $y=(x-1)^2-4$.
∴抛物线 $y=x^2-2x-3$ 的对称轴为直线x=1,顶点坐标为 C(1,-4),与 y 轴的交点 B 的坐标为(0,-3).
易知点 E 与点 B 关于直线 x=1 对称.
∴E(2,-3).
∵点 P 的横坐标为 m,
∴$P(m,m^2-2m-3)$.
分三种情况讨论.
①当 0＜m＜1 时,抛物线在点 B 与点 P 之间的部分的最低点为点 P,最高点为点 B.
∴$d=|m^2-2m-3|=-m^2+2m+3,n=|-3|=3$.
根据题意,得$(-m^2+2m+3)-3=1$.
解得 m=1(舍去).
②当 1≤m≤2 时,抛物线在点 B 与点 P 之间的部分的最低点为点 C,最高点为点 B.
∴d=4,n=3.
∴d-n=1,符合题意.
③当 m＞2 时,抛物线在点 B 与点 P 之间的部分的最低点为点 C,最高点为点 P.
∴d=4,n=$|m^2-2m-3|$.
根据题意,得n=3.
∴$|m^2-2m-3|=3$.
∴$m^2-2m-3=-3$ 或 $m^2-2m-3=3$.
解得 m=0(舍去)或 m=2(舍去)或 m=$1-\sqrt{7}$(舍去)或 m=$1+\sqrt{7}$.
综上所述,m 的取值范围为 $1≤m≤2$ 或 $m=1+\sqrt{7}$.
解析
【分析】
解题时首先将抛物线解析式化为顶点式，确定抛物线的对称轴、顶点坐标、与y轴交点B的坐标，再利用抛物线对称性找到与B纵坐标相同的点E的坐标。由于m＞0时，抛物线在x＞0区间以x=1为界，左侧递减、右侧递增，因此需分0＜m＜1、1≤m≤2、m＞2三种情况，分别确定B和P之间部分的最低点和最高点，计算二者到x轴的距离d、n，再根据d-n=1的条件求解，最后舍去不符合取值范围的解，汇总得到m的取值范围。
【解析】
首先将抛物线解析式配方：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∴抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点C的坐标为$(1,-4)$，
令$x=0$，得$y=-3$，
∴与y轴交点B的坐标为$(0,-3)$，
过B作$BE// x$轴交抛物线于E，由抛物线对称性可知E与B关于对称轴$x=1$对称，
∴E点坐标为$(2,-3)$，
点P横坐标为$m(m＞0)$，则P点坐标为$(m,m^2-2m-3)$，分三种情况讨论：
①当$0＜m＜1$时，B到P之间的抛物线段随x增大而递减，最低点为P，最高点为B，
∴$d=|m^2-2m-3|=-m^2+2m+3$，$n=|-3|=3$，
由$d-n=1$得：$(-m^2+2m+3)-3=1$，整理得$m^2-2m+1=0$，解得$m=1$，不符合$0＜m＜1$，舍去；
②当$1≤m≤2$时，B到P之间的抛物线段最低点为顶点C，最高点为B，
∴$d=|-4|=4$，$n=|-3|=3$，此时$d-n=4-3=1$，符合题意；
③当$m＞2$时，B到P之间的抛物线段最低点为顶点C，最高点为P，
∴$d=|-4|=4$，$n=|m^2-2m-3|$，
由$d-n=1$得$4 - |m^2-2m-3|=1$，即$|m^2-2m-3|=3$，
当$m^2-2m-3=-3$时，解得$m=0$或$m=2$，均不符合$m＞2$，舍去；
当$m^2-2m-3=3$时，整理得$m^2-2m-6=0$，解得$m=1+\sqrt{7}$或$m=1-\sqrt{7}$（不符合$m＞2$，舍去），故$m=1+\sqrt{7}$符合题意；
综上，m的取值范围是$1≤m≤2$或$m=1+\sqrt{7}$。
【答案】
$1≤m≤2$或$m=1+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题需要结合二次函数的增减性分段讨论不同区间内的最高、最低点，解题时要注意利用抛物线的对称性简化计算，同时要对解出的结果进行检验，舍去不符合取值范围的解，避免出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.4
解题时首先将抛物线解析式化为顶点式，确定抛物线的对称轴、顶点坐标、与y轴交点B的坐标，再利用抛物线对称性找到与B纵坐标相同的点E的坐标。由于m＞0时，抛物线在x＞0区间以x=1为界，左侧递减、右侧递增，因此需分0＜m＜1、1≤m≤2、m＞2三种情况，分别确定B和P之间部分的最低点和最高点，计算二者到x轴的距离d、n，再根据d-n=1的条件求解，最后舍去不符合取值范围的解，汇总得到m的取值范围。
【解析】
首先将抛物线解析式配方：$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∴抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点C的坐标为$(1,-4)$，
令$x=0$，得$y=-3$，
∴与y轴交点B的坐标为$(0,-3)$，
过B作$BE// x$轴交抛物线于E，由抛物线对称性可知E与B关于对称轴$x=1$对称，
∴E点坐标为$(2,-3)$，
点P横坐标为$m(m＞0)$，则P点坐标为$(m,m^2-2m-3)$，分三种情况讨论：
①当$0＜m＜1$时，B到P之间的抛物线段随x增大而递减，最低点为P，最高点为B，
∴$d=|m^2-2m-3|=-m^2+2m+3$，$n=|-3|=3$，
由$d-n=1$得：$(-m^2+2m+3)-3=1$，整理得$m^2-2m+1=0$，解得$m=1$，不符合$0＜m＜1$，舍去；
②当$1≤m≤2$时，B到P之间的抛物线段最低点为顶点C，最高点为B，
∴$d=|-4|=4$，$n=|-3|=3$，此时$d-n=4-3=1$，符合题意；
③当$m＞2$时，B到P之间的抛物线段最低点为顶点C，最高点为P，
∴$d=|-4|=4$，$n=|m^2-2m-3|$，
由$d-n=1$得$4 - |m^2-2m-3|=1$，即$|m^2-2m-3|=3$，
当$m^2-2m-3=-3$时，解得$m=0$或$m=2$，均不符合$m＞2$，舍去；
当$m^2-2m-3=3$时，整理得$m^2-2m-6=0$，解得$m=1+\sqrt{7}$或$m=1-\sqrt{7}$（不符合$m＞2$，舍去），故$m=1+\sqrt{7}$符合题意；
综上，m的取值范围是$1≤m≤2$或$m=1+\sqrt{7}$。
【答案】
$1≤m≤2$或$m=1+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的最值；分类讨论思想
【点评】
本题需要结合二次函数的增减性分段讨论不同区间内的最高、最低点，解题时要注意利用抛物线的对称性简化计算，同时要对解出的结果进行检验，舍去不符合取值范围的解，避免出现错解、漏解的情况。
【难度系数】
0.4
