基础知识·预习
问题1 举例说明如何进行幂的乘方运算.
问题2 举例说明如何进行积的乘方运算.

解：
问题1
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$（$m、n$都是正整数）。
举例：计算$(x^4)^3$
根据乘方的定义展开：
$(x^4)^3 = x^4 · x^4 · x^4$
结合同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘底数不变、指数相加：
$x^4 · x^4 · x^4 = x^{4+4+4} = x^{4×3} = x^{12}$
实际运算时无需展开，直接保留原式底数$x$，将指数4与3相乘，即可得到结果。
问题2
积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n=a^n b^n$（$n$是正整数）。
举例：计算$(3xy)^2$
根据乘方的定义展开：
$(3xy)^2 = 3xy · 3xy$
利用乘法交换律、结合律分组整理：
$(3×3) · (x· x) · (y· y) = 3^2 · x^2 · y^2 = 9x^2y^2$
实际运算时，将积中的所有因式分别乘方，再将得到的幂相乘，即可得到结果。

【典型例题1】计算：
(1)$[(-3)^2]^3$；(2)$(x^{a+1})^3$；
(3)$-(x^3)^4$；
(4)$(a+b)^2 · [(a+b)^2]^3$。
思路导引 依据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的运算法则进行计算。
【解】(1)$[(-3)^2]^3 = (-3)^{2×3} = (-3)^6 = 3^6$。
(2)$(x^{a+1})^3 = x^{(a+1)×3} = x^{3a+3}$。
(3)$-(x^3)^4 = -x^{3×4} = -x^{12}$。
(4)$(a+b)^2 · [(a+b)^2]^3$
$=(a+b)^2 · (a+b)^{2×3}$
$=(a+b)^2 · (a+b)^6$
$=(a+b)^{2+6} = (a+b)^8$。
规律方法 运用幂的有关运算法则计算时，要注意幂的乘方和同底数幂的乘法之间的区别。若幂中含有负号，则先确定符号，再利用法则进行计算；若式子中同时含有乘方与乘法运算，则先算乘方，再算乘法。

解：
(1) $[(-3)^2]^3 = (-3)^{2×3} = (-3)^6 = 3^6 = 729$
(2) $(x^{a+1})^3 = x^{(a+1)×3} = x^{3a+3}$
(3) $-(x^3)^4 = -x^{3×4} = -x^{12}$
(4) $(a+b)^2 · [(a+b)^2]^3$
$=(a+b)^2 · (a+b)^{2×3}$
$=(a+b)^2 · (a+b)^6$
$=(a+b)^{2+6}$
$=(a+b)^8$

1. 下列式子成立的是 （）

A.$(x^3)^3=x^6$
B.$(7^2)^m=(7^m)^2$
C.$(y^x)^5=y^{x+5}$
D.$(-a)^2=-a^2$

1.B 【解析】$(x^3)^3=x^9$；$(7^2)^m=(7^m)^2=7^{2m}$；$(y^x)^5=y^{5x}$；$(-a)^2=a^2$.故只有选项B正确。

2. 计算:(1)$(12^5)^2$；
(2)$[(-6)^3]^4$；
(3)$-(a^2)^7$；
(4)$(y^n)^4$；
(5)$-[(a-b)^3]^4$；
(6)$(x^3)^2 · (x^2)^3$

2.【解】(1)$(12^5)^2=12^{5×2}=12^{10}$.
(2)$[(-6)^3]^4=(-6)^{3×4}=6^{12}$.
(3)$-(a^2)^7=-a^{2×7}=-a^{14}$.
(4)$(y^n)^4=y^{n×4}=y^{4n}$.
(5)$-[(a-b)^3]^4=-(a-b)^{3×4}=-(a-b)^{12}$.
(6)$(x^3)^2 · (x^2)^3=x^{3×2} · x^{2×3}=x^6 · x^6=x^{12}$.