1. 原创题 一个两位数$ x $的个位和十位数字之和为10，把这个两位数个位和十位数字交换得到一个新的两位数，新的两位数可表示为________（用含$ x $的式子表示）。

1. $110-x$
【解析】设$ x $的个位数字为$ b $,十位数字为$ a $,则$ x=10a+b $,把这个两位数个位和十位数字交换得到一个新的两位数为$ 10b+a $.因为两位数$ x $的个位和十位数字之和为10,所以$ a+b=10 $,所以$ (10a+b)+(10b+a)=11a+11b=110 $,即把这个两位数个位和十位数字交换得到一个新的两位数与$ x $的和为110,故新的两位数为$ 110-x $.

2. |数学文化（2025·扬州月考）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法,最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出,在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”.例如:如图①,计算$46×71$,将乘数46写在方格上边,乘数71写在方格右边,然后用乘数46的每位数字乘乘数71的每位数字,将结果记入相应的方格中,最后沿斜线方向相加,得3 266.如图②,用“格子乘法”计算两个两位数相乘,得2 176,则$m=$,$n=$.

2. $1\quad 2$
【解析】由题意可得,$m+n+8=11$,$ad=10×n+4$,$bc=10×m+2$,$bd=16$,$ac=18$,所以$ m+n=3 $,$m,n$为非负整数,
①当$ m=0,n=3 $时,$ad=34$,$bc=2$,$bd=16$,$ac=\frac{34×2}{16}=\frac{17}{4}$与$ac=18$矛盾,故$ m=0,n=3 $不成立;②当$ m=1,n=2 $时,$ad=24$,$bc=12$,$bd=16$,$ac=\frac{24×12}{16}=18$符合题意,故$ m=1 $,$n=2 $成立;③当$ m=2,n=1 $时,$ad=14$,$bc=22$,$bd=16$,$ac=\frac{14×22}{16}=\frac{77}{4}$与$ac=18$矛盾,故$ m=2,n=1 $不成立.④当$ m=3,n=0 $时,$ad=4$,$bc=32$,$bd=16$,$ac=\frac{4×32}{16}=8$与$ac=18$矛盾,故$ m=3,n=0 $不成立.综上所述,$ m=1,n=2 $.

3. 【问题提出】数学活动课上，小寻提出一个猜想：设一个三位数的百位数字是$a$，十位数字是$b$，个位数字是$c$.若$a+b+c$可以被9整除，则这个数可以被9整除.
【试一试】135可以被9整除，$1+3+5=9$，可以被9整除.
【探索验证】尝试用整式的知识说明小寻的猜想成立.

3. 根据题意可知,这个三位数可以表示为$ 100a+10b+c $,$100a+10b+c=(99a+a)+(9b+b)+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c) $,因为$ a+b+c $可以被9整除,$a,b$均为整数,所以$ 100a+10b+c $可以被9整除,所以小寻的猜想成立.

4. 在日历图中有许多奥秘,如图是某月的日历,请仔细观察并思考下列问题:
(1)我们用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的五个数(如图中的阴影部分),探究“X”字型框架中的五个数的和与C位上的数的关系.例如图中“X”字型框架框住的五个数和为$2+4+10+16+18=\_\_\_\_\_\_,5+7+13+19+21=\_\_\_\_\_\_$;不难发现,“X”字型框架中的五个数的和与C位上的数的关系为________;
(2)设“X”字型框架中位置C上的数为$m$,请利用所学知识对(1)中的规律加以说明;
(3)在如图的日历中,“X”字型框架框住的五个数之和的最大值与最小值的差为________.

4. (1)$50\quad 65$ “X”字型框架中的五个数的和等于 $C$ 位上的数的 5 倍
(2)设“X”字型框架中位置 $C$ 上的数为 $m$,则位置 $A$ 上的数为 $m-8$,位置 $B$ 上的数为 $m-6$,位置 $D$ 上的数为 $m+6$,位置 $E$ 上的数为 $m+8$,因为$(m-8)+(m-6)+m+(m+6)+(m+8)=5m$,所以“X”字型框架中的五个数的和等于 $C$ 位上的数的 5 倍.
(3)$70$ 【解析】当 $C$ 位上的数是 23 时,“X”字型框架中的五个数的和取最大值,和为 $23×5=115$,当 $C$ 位上的数是 9 时,“X”字型框架中的五个数的和取最小值,和为 $9×5=45$,“X”字型框架框住的五个数之和的最大值与最小值的差为 $115-45=70$.