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1. 已知整数 $ a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, ··· $，满足下列条件：$ a_0 = 0 $，$ a_1 = -|a_0 + 1| $，$ a_2 = -|a_1 + 2| $，$ a_3 = -|a_2 + 3| $，$···$，以此类推，则 $ a_{199} $ 的值为 （
A.$-99$
B.$-100$
C.$-101$
D.$-199$
B
）A.$-99$
B.$-100$
C.$-101$
D.$-199$
答案
依题意得$a_0=0;a_1=-|a_0+1|=-|0+1|=-1$;$a_2=-|a_1+2|=-|-1+2|=-1;a_3=-|a_2+3|=-|-1+3|=-2$;$a_4=-|a_3+4|=-|-2+4|=-2;…;以此类推,a_{2n}=-n$,$a_{2n-1}=-n$(n为正整数),当$2n-1=199$,即$n=100$时,$a_{199}=-100$.
2. 计算：$2^1 - 1 = 1, 2^2 - 1 = 3, 2^3 - 1 = 7, 2^4 - 1 = 15, 2^5 - 1 = 31, ···$，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测$2^{499} - 5$的个位数字是（
A.1
B.3
C.2
D.5
B
）A.1
B.3
C.2
D.5
答案
$2^1-1=1,2^2-1=3,2^3-1=7,2^4-1=15,2^5-1=31,2^6-1=63,…,以此类推,2^1-1,2^2-1,…,2^n-1$这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环,1,3,7,5依次出现,因为$499÷4=124……3$,所以$2^{499}-1$的个位数字是7,所以$2^{499}-5$的个位数字是$7-4=3$.
3. （2025·无锡期中）小明利用计算机设计了一个程序，输入与输出的数据如表所示：
那么当输入数据为9和10时，输出的数据分别为a和b，则$a+b$的值为 （
A.-17
B.17
C.181
D.-181
那么当输入数据为9和10时，输出的数据分别为a和b，则$a+b$的值为 （
B
）A.-17
B.17
C.181
D.-181
答案
由题干中的数据可得当输入的数据n为奇数时,输出结果为$-n^2-1$;n为偶数时,输出结果为$n^2-1$,则输入数据9时,输出结果为$-9^2-1=-82$;输入数据10时,输出结果为$10^2-1=99$,则$a+b=-82+99=17$.故选B.
4. （2024·苏州月考）在如图的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第101次输出的结果为 （
A.3
B.6
C.50
D.100
B
）A.3
B.6
C.50
D.100
答案
第一次输出结果:$48×\frac{1}{2}=24$,第二次输出结果:$24×\frac{1}{2}=12$,第三次输出结果:$12×\frac{1}{2}=6$,第四次输出结果:$6×\frac{1}{2}=3$,第五次输出结果:$3+3=6$,第六次输出结果:$6×\frac{1}{2}=3,…$,从第三次起,奇数次输出结果为6,偶数次输出结果为3,则第101次输出的结果为6.
5. |新情境（2025·无锡期中）某校园餐厅把wifi密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是（
A.143 549
B.103 545
C.113 545
D.123 545
B
）A.143 549
B.103 545
C.113 545
D.123 545
答案
根据题图中规律可得$a\bigoplus b\bigoplus c=10\ 000ab+100ac+a(b+c)$,所以密码$=5×2×10\ 000+7×5×100+5×(2+7)=100\ 000+3\ 500+45=103\ 545$.故选B.
6. 小明在一本数学书中看到了一个探究活动,对依次排列的两个整式$m,n$按如下规律进行操作:
第1次操作后得到整式串:$m,n,n-m$;
第2次操作后得到整式串:$m,n,n-m,-m$;
第3次操作后……
其操作规则为:每次操作增加的项,都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差,小明将这个活动命名为“回头差”游戏,则该“回头差”游戏,第2025次操作后得到的整式串各项之和是
$(\quad)$
A.$2n - m$
B.$m$
C.$n - m$
D.$m + n$
第1次操作后得到整式串:$m,n,n-m$;
第2次操作后得到整式串:$m,n,n-m,-m$;
第3次操作后……
其操作规则为:每次操作增加的项,都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差,小明将这个活动命名为“回头差”游戏,则该“回头差”游戏,第2025次操作后得到的整式串各项之和是
$(\quad)$
A.$2n - m$
B.$m$
C.$n - m$
D.$m + n$
答案
第1次操作后得到的整式串:$m,n,n-m$;第2次操作后得到的整式串:$m,n,n-m,-m$;第3次操作后得到的整式串:$m,n,n-m,-m,-n$;第4次操作后得到的整式串:$m,n,n-m,-m,-n,-n+m$;第5次操作后得到的整式串:$m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m$;第6次操作后得到的整式串:$m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n$;第7次操作后得到的整式串:$m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m;…;$
归纳可得,以上整式串每六次一循环,每6个整式的整式之和为$m+n+(n-m)+(-m)+(-n)+(-n+m)=0$.
因为$2\ 025÷6=337……3$,所以第2 025次操作后得到的整式串为$m,n,n-m,-m,-n,-n+m,…,m,n,n-m,-m,-n$,共2 027个整式,其中每6个一循环,每个循环和为$m+n+(n-m)+(-m)+(-n)+(-n+m)=0$,$2\ 027÷6=337……5$,所以第2 025次操作后得到的整式中,求最后5项之和即可.
所以这个和为$m+n+(n-m)+(-m)+(-n)=n-m$.故选C.
归纳可得,以上整式串每六次一循环,每6个整式的整式之和为$m+n+(n-m)+(-m)+(-n)+(-n+m)=0$.
因为$2\ 025÷6=337……3$,所以第2 025次操作后得到的整式串为$m,n,n-m,-m,-n,-n+m,…,m,n,n-m,-m,-n$,共2 027个整式,其中每6个一循环,每个循环和为$m+n+(n-m)+(-m)+(-n)+(-n+m)=0$,$2\ 027÷6=337……5$,所以第2 025次操作后得到的整式中,求最后5项之和即可.
所以这个和为$m+n+(n-m)+(-m)+(-n)=n-m$.故选C.
