7. 一个纯循环小数$0.\dot{7}1428\dot{5}$，请问这个数小数点后第100位上的数字是.

因为纯循环小数0.714 285 714 285…的循环节是714285,共6个数,所以$100÷6=16……4$,即这个数小数点后第100位上的数字是2.

8. 已知$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},···,a_{502}$是一列数，$a_{2}=-4$，$a_{6}=m+1$，任意三个相邻的数之和为$m$，则$a_{502}=$.

因为任意三个相邻的数之和为m,所以$a_1+a_2+a_3=a_2+a_3+a_4=m$,$a_2+a_3+a_4=a_3+a_4+a_5=m$,$a_3+a_4+a_5=a_4+a_5+a_6=m$,所以$a_1=a_4$,$a_2=a_5=-4$,$a_3=a_6=m+1$,所以$a_1+a_2+a_3=a_1-4+m+1=m$,解得$a_1=3$,所以这列数是以3,-4,m+1为循环的数列.因为$502÷3=167……1$,所以$a_{502}=a_1=3$.

9. 观察下列各式：
$1^3+2^3=9=\frac{1}{4}×4×9=\frac{1}{4}×2^2×3^2$；
$1^3+2^3+3^3=36=\frac{1}{4}×9×16=\frac{1}{4}×3^2×4^2$；
$1^3+2^3+3^3+4^3=100=\frac{1}{4}×16×25=\frac{1}{4}×4^2×5^2$；
……
(1)计算：$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=$；
(2)计算：$1^3+2^3+3^3+4^3+…+10^3=$；
(3)猜想：$1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3=$.(只需写出结果,不必写中间的过程)

(1)225 【解析$】1^3+2^3=\frac{1}{4}×2^2×3^2;1^3+2^3+3^3=\frac{1}{4}×3^2×4^2;1^3+2^3+3^3+4^3=\frac{1}{4}×4^2×5^2;…;$以此类推,可知$1^3+2^3+3^3+…+n^3=\frac{1}{4}×n^2×(n+1)^2,$所以$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=\frac{1}{4}×5^2×6^2=225.$
(2)3 025 【解析】由(1)可知$1^3+2^3+3^3+4^3+…+10^3=\frac{1}{4}×10^2×11^2=3\ 025.$
$(3)\frac{1}{4}×n^2×(n+1)^2 【$解析】由(1)可知$1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3=\frac{1}{4}×n^2×(n+1)^2.$

10. 阅读下面计算$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{9×11}$的过程，然后回答问题.
解:因为$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}),\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}),…,\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$，
所以$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{9×11}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{9}-\frac{1}{11})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{1}-\frac{1}{11})=\frac{5}{11}.$
以上方法为裂项求和法，请类比完成:
(1)$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{18×20}=$;
(2)在和式$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+(\quad)=\frac{6}{13}$中最末一项为;
(3)已知$-3x^2y^{a+1}+x^3y-3x^4-2$是五次四项式，单项式$-3x^{3b}y^{3-a}$与多项式的次数相同，求$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+\frac{1}{6×7}+\frac{1}{7×8}+\frac{1}{8×9}-\frac{2}{b}$的值.
$\boldsymbol{＞＞}$进一步挑战进阶专题·P72 专题12~P74 专题14

(1)$\frac{9}{40}$ 【解析】原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{18}-\frac{1}{20})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{20})=\frac{9}{40}$.
(2)$\frac{1}{11×13}$ 【解析】设最后一项为$\frac{1}{x(x+2)}$,则原式$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})=\frac{6}{13}$,所以$x=11$.故最末一项为$\frac{1}{11×13}$.
(3)因为$-3x^2y^{a+1}+x^3y-3x^4-2$是五次四项式,所以$2+a+1=5$,则$a=2$.又因为单项式$-3x^{3b}y^{3-a}$与多项式的次数相同,所以$3b+3-a=5$,则$b=\frac{4}{3}$.原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}-2×\frac{3}{4}=1-\frac{1}{9}-\frac{3}{2}=-\frac{11}{18}$.