1. 如图,在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形,得到图①与图②.若$AB=m$,则图①与图②中阴影部分周长的差是 ()

A.$m$
B.$\dfrac{5}{4}m$
C.$\dfrac{6}{5}m$
D.$\dfrac{7}{6}m$

1. C 【解析】设小长方形的宽为x,长为y,大长方形的宽为n,由题图①得 4x = n;由题图②得 2x + y = m, y = 3x,所以5x = m ,x = $\frac{m}{5}$,题图①中阴影部分的周长为 2n+2y+(m-y)+$(m-y-x)+x=2n+2m=8x+2m=\frac{18}{5}m$,题图②中阴影部分的周长为 $2(n-3x)+2m=2(4x-3x)+2m=2x+2m=\frac{12}{5}m$,所以题图①与题图②中阴影部分的周长之差为 $\frac{18}{5}m-\frac{12}{5}m=\frac{6}{5}m$.故选 C.

2. 如图,大长方形ABCD是由一张周长为$C_{1}$的正方形纸片①和四张周长分别为$C_{2},C_{3},C_{4},C_{5}$的长方形纸片②,③,④,⑤拼成的,若大长方形周长为定值,则下列各式中为定值的是 ()

A.$C_{1}$
B.$C_{3}+C_{5}$
C.$C_{1}+C_{3}+C_{5}$
D.$C_{1}+C_{2}+C_{4}$

2. B 【解析】如图,将各长方形的边长标记出来,由题意得,大长方形 ABCD 的周长 C = 2a + 2b + 2c + 2h 为定值,$C_2=2a+2b$,$C_3=2c+2d$,$C_4=2e+2f$,$C_5=2h+2g$,因为①是正方形,所以 c-f = e-h = g-b = a-d,所以 a+b = g+d.
$C_3+C_5=2c+2d+2h+2g=2a+2b+2c+2h=C$,为定值;
$C_1+C_3+C_5=4(a-d)+2c+2d+2h+2g=4a-2d+2c+2h+2g$,不为定值;
$C_1+C_2+C_4=4(a-d)+2a+2b+2e+2f=6a-4d+2b+2e+2f$,不为定值.
因此 $C_3+C_5$ 为定值.故选 B.

3. (2025·镇江期末)如图,有三张正方形纸片A,B,C,它们的边长分别为a,b,c,将三张纸片按图①、图②两种不同方式放置于同一个长方形中,则图①与图②中的阴影部分周长的差为.

3. 2b-2c 【解析】长方形的长为 a+b+c,宽为 a+b-c,题图①的阴影部分周长为 2[a+b+c+(a+b-c)] = 4a+4b-2c,题图②的阴影部分周长为 2[a+b+c-b+(a+b-c)] = 4a+2b,所以题图①与题图②中的阴影部分周长的差为 4a + 4b - 2c - (4a + 2b) = 2b - 2c.

4. (2025·泰州校级期中)把两张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为$ x $,宽为$ y $)的盒子底部(如图②),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.阴影部分刚好能分割成两张形状大小不同的小长方形卡片(如图③),则分割后的两个阴影长方形的周长之和是$\underline{2y}$.

4. 4x 【解析】设两张形状大、小完全相同的小长方形卡片的长和宽分别为 m,n.如图,长方形 ABCD 的长为 x-y+m,宽为 m,所以长方形 ABCD 的周长为 2(m-y+x+m) = 4m - 2y + 2x.
长方形 GHEF 的长为 x-m,宽为 y-m,所以长方形 GHEF 的周长为 2(x+y-2m) = 2x+2y-4m,所以分割后的两个阴影长方形的周长之和为 (4m-2y+2x)+(2x+2y-4m)=4x.

5. 如图,用三个图①的长方形和两个图②的长方形按两种方式去覆盖同一个大的长方形ABCD,两种方式未覆盖的部分(阴影部分)的周长一样,那么图①长方形的面积$S_{1}$与图②长方形的面积$S_{2}$的比是________.

$\gg$进一步挑战进阶专题:P69 专题10

5. $\frac{2}{3}$ 【解析】设图①中长方形的长为 a,宽为 b,图②中长方形的宽为 x,长为 y,可得长方形 ABCD 的 AD = 3b + 2y = a + x,所以图③阴影部分周长为 2(3b+2y+DC-x) = 6b+4y+2DC-2x = 2a+2x+2DC-2x = 2a+2DC,图④阴影部分周长为 2(a+x+DC-3b) = 2a+2x+2DC-6b = 2a+2x+2DC-2(a+x-2y) = 2DC+4y.因为两种方式未覆盖的部分(阴影部分)的周长一样,所以 2a+2DC = 2DC+4y, a = 2y.因为 3b+2y = a+x,所以 x = 3b,所以 $S_1:S_2=(ab):(xy)=(2yb):(3yb)=\frac{2}{3}$.