1. (2026·泰州期末)【数学建模】
(1) 如图①,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD ⊥ AC$,$CE ⊥ AB$,垂足分别为点$D$,$E$.求证:$AE=AD$.
【模型运用】
(2) 如图②,在(1)的条件下,$BD$,$CE$相交于点$O$,连接$AO$,$DE$.求证:$AO$垂直平分$DE$.
(3) 如图③,平面直角坐标系第一象限内有一定点$M$.
①用无刻度的直尺和圆规在坐标轴上找点$A$,$B$,$C$,使$A$,$B$,$C$满足下列条件(不写作法,保留作图痕迹):
($a$)点$A$,$B$分别在$y$轴正半轴、$x$轴正半轴上,且直线$AB$经过点$M$;
($b$)点$C$在$y$轴上,且$AB=AC$,$MC ⊥ AB$.
②在①的条件下,若点$M$的坐标为$(4,3)$,求点$B$的坐标.

(1)$\because BD⊥ AC$,$CE⊥ AB$,$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°$,在$△ ADB$和$△ AEC$中,$\begin{cases} ∠ A=∠ A,\\ ∠ ADB=∠ AEC,\therefore △ ADB≌△ AEC(\mathrm{AAS}),\\ AB=AC, \end{cases}$
$\therefore AE=AD$.
(2)由(1)可知:$AE=AD$,$∠ ADO=∠ AEO=90°$,$\because$在$\mathrm{Rt}△ AEO$和$\mathrm{Rt}△ ADO$中,$\begin{cases} AO=AO,\\ AE=AD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ AEO≌\mathrm{Rt}△ ADO$($\mathrm{HL}$),$\therefore ∠ EAO=∠ DAO$.$\because AE=AD$,$\therefore AO$垂直平分$DE$.
(3)①如图①,点$A$,$B$,$C$即为所求作的点.

②过点$M$作$MH⊥ AO$,垂足为点$H$,如图②,设点$A$的坐标为$(0,t)$,则$AO=AM=t$.$\because M(4,3)$,$\therefore HM=4$,$OH=3$,$\therefore AH=t-3$,在$\mathrm{Rt}△ AHM$中,$AH^2+MH^2=AM^2$,$\therefore (t-3)^2+4^2=t^2$,解得$t=\dfrac{25}{6}$,$\therefore A(0,\dfrac{25}{6})$,设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b$($k\ne0$),将$A(0,\dfrac{25}{6})$,$M(4,3)$分别代入$y=kx+b$得$\begin{cases} b=\dfrac{25}{6},\\ 4k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-\dfrac{7}{24},\\ b=\dfrac{25}{6}, \end{cases}$$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y=-\dfrac{7}{24}x+\dfrac{25}{6}$,令$y=0$,得$x=\dfrac{100}{7}$,$\therefore$点$B$的坐标为$(\dfrac{100}{7},0)$.

2. (2026·无锡期末) 如图①,直线 $y=-\dfrac{4}{3}x+4$ 与$x,y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点, 以 $AB$ 为直角边在第一象限内作等腰直角 $△ ABC,∠ BAC=90°$,$AC=AB$.
(1)$C$点坐标为;
(2)如图②,点 $E$ 为线段 $BO$ 上的一个动点($E$不与 $B,O$ 重合),连接 $AE$,将 $AE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$得 $AF$,连接 $CF$ 交 $x$ 轴于 $G$,求证:$G$是 $FC$ 的中点;
(3)如图③,将 $△ ABC$ 沿着 $x$ 轴向左平移得到$△ A'B'C'$,直线 $A'B'$ 与 $y$ 轴交于点 $M$,当以 $A$,$B,M$ 为顶点的三角形是等腰三角形时,请求出点 $A'$ 的坐标.

(1)$(7,3)$ 解析:过点$C$作$CD⊥ x$轴,交$x$轴于点$D$,如图①,$\because y=-\dfrac{4}{3}x+4$与$x$,$y$轴分别交于$A$,$B$两点,当$x=0$时,$y=4$,当$y=0$时,$-\dfrac{4}{3}x+4=0$,解得$x=3$,$\therefore OA=3$,$OB=4$.
$\because ∠ BAC=90°$,$CD⊥ x$轴,$\therefore ∠ AOB=∠ CDA=90°$,$∠ BAO+∠ CAD=90°$,$∠ ABO+∠ BAO=90°$,$\therefore ∠ CAD=∠ ABO$,又$\because AC=AB$,$\therefore △ AOB≌△ CDA(\mathrm{AAS})$,$\therefore CD=OA=3$,$AD=OB=4$,$\therefore OD=OA+AD=7$,$\therefore C$点坐标为$(7,3)$.

(2)在$x$轴上截取$AH=BE$,连接$CH$,如图②,在等腰直角$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,由(1)可得$∠ CAH=∠ ABE$,$\therefore △ CAH≌△ ABE(\mathrm{SAS})$,$\therefore CH=AE$,$∠ BEA=∠ CHA$,由旋转可得$AE=AF$,$∠ EAF=90°$,$\therefore ∠ EAO+∠ FAO=90°$.又$\because ∠ EAO+∠ AEO=90°$,$\therefore ∠ AEO=∠ FAO$,$\therefore ∠ AEB=∠ FAG$,$\therefore ∠ FAG=∠ CHG$.又$\because CH=AE=AF$,$∠ CGH=∠ FGA$,$\therefore △ FAG≌△ CHG(\mathrm{AAS})$,$\therefore CG=FG$,即$G$是$FC$的中点.
(3)由平移的性质,设直线$A'B'$的表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x+m$,当$x=0$时,$y=m$,当$y=0$时,$x=\dfrac{3}{4}m$,$\therefore M$点坐标为$(0,m)$,$A'$点坐标为$(\dfrac{3}{4}m,0)$,又$\because OA=3$,$OB=4$,$\therefore AB=5$,$BM=4-m$.①当$AM=BM$时,$3^2+m^2=(4-m)^2$,解得$m=\dfrac{7}{8}$,$\therefore$此时点$A'$坐标为$(\dfrac{21}{32},0)$;
②当$AM=AB$时,$3^2+m^2=5^2$,解得$m=4$(与$B$重合,舍去)或$m=-4$,此时点$A'$坐标为$(-3,0)$;
③当$AB=BM$时,$|4-m|=5$,解得$m=-1$或$m=9$,$\because m=9$时直线$A'B'$在$AB$右侧,不符合题意,故舍去,此时点$A'$坐标为$(-\dfrac{3}{4},0)$.综上,点$A'$坐标为$(\dfrac{21}{32},0)$或$(-3,0)$或$(-\dfrac{3}{4},0)$.