3. 如图①,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_{1}$:$y = \dfrac{1}{7}x - \dfrac{4}{7}$与$x$轴相交于点$A$,直线$l_{2}$:$y = mx + 3$与$y$轴相交于点$C$,与$x$轴的负半轴相交于点$D$,其中$OC:OD = 4:3$,直线$l_{1}$与直线$l_{2}$相交于点$B$.
(1)填空:①$m = $;
②不等式$mx + 3 ＞ \dfrac{1}{7}x - \dfrac{4}{7}$的解集为.
(2)猜想$∠ ABC$的度数,并说明理由.
(3)如图②,连接$AC$,在直线$AC$上有一点$P$,连接$OP$,若$∠ OPC ≥ ∠ ABC$,则$CP$的最大值为.

(1)①$\dfrac{4}{3}$ 解析:将$x=0$代入直线$l_2$:$y=mx+3$中,得$y=3$,$\therefore C(0,3)$,即$OC=3$.$\because OC:OD=4:3$,$\therefore OD=\dfrac{9}{4}$,$\therefore D(-\dfrac{9}{4},0)$.将$D(-\dfrac{9}{4},0)$代入直线$l_2$:$y=mx+3$中,得$0=-\dfrac{9}{4}m+3$,解得$m=\dfrac{4}{3}$.
②$x＞-3$ 解析:联立方程组$\begin{cases} y=\dfrac{4}{3}x+3,\\ y=\dfrac{1}{7}x-\dfrac{4}{7}, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-3,\\ y=-1, \end{cases}$$\therefore$不等式$mx+3＞\dfrac{1}{7}x-\dfrac{4}{7}$的解集为$x＞-3$.
(2)$∠ ABC=45°$,理由:将$y=0$代入直线$l_1$:$y=\dfrac{1}{7}x-\dfrac{4}{7}$中,得$x=4$,$\therefore A(4,0)$.由(1)得$B(-3,-1)$,$C(0,3)$,$\therefore AB^2=(4+3)^2+(0+1)^2=50$,$AC^2=(4-0)^2+(0-3)^2=25$,$BC^2=(-3-0)^2+(-1-3)^2=25$,$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$,$AC=BC$,$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ ABC=45°$.
(3)$\dfrac{21}{5}$ 解析:设直线$AC$的函数表达式为$y=px+q$,将$A(4,0)$,$C(0,3)$的坐标代入,得$\begin{cases} 4p+q=0,\\ q=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} p=-\dfrac{3}{4},\\ q=3. \end{cases}$$\therefore$直线$AC$的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$.设$P(a,-\dfrac{3}{4}a+3)$,$\because ∠ OPC≥∠ ABC$,$\therefore ∠ OPC≥45°$,$\therefore$只有当$∠ OPC=∠ CAB$,即$OP// AB$时,$CP$有最大值,$\therefore$直线$OP$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{7}x$.联立方程组$\begin{cases} y=\dfrac{1}{7}x,\\ y=-\dfrac{3}{4}x+3, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{84}{25},\\ y=\dfrac{12}{25}, \end{cases}$$\therefore P(\dfrac{84}{25},\dfrac{12}{25})$,$\therefore PC=\sqrt{(\dfrac{84}{25})^2+(\dfrac{12}{25}-3)^2}=\dfrac{21}{5}$,即$CP$的最大值为$\dfrac{21}{5}$.

4. (2026·淮安期末) 如图,一次函数 $y=\dfrac{3}{4}x-3$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A,B$,且与经过$x$轴负半轴上的点$C$的一次函数$y=kx+b$的图象相交于点$D$,直线$CD$与$y$轴相交于点$E$,点$E$与点$B$关于$x$轴对称,$OA=3OC$.
(1) 直线$CD$的函数表达式为;点$D$的坐标为.
(2)点$P$为线段$DE$上的一个动点,连接$BP$.
①若直线$BP$将$△ ACD$的面积分为$3:4$两部分,则点$P$的坐标为.
②点$P$是否存在某个位置,将$△ BPD$沿着直线$BP$翻折,使得点$D$恰好落在直线$AB$上方的坐标轴上?若存在,求点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)$y=\dfrac{9}{4}x+3$ $(-4,-6)$ 解析:根据题意得点$A(4,0)$,$B(0,-3)$,$\therefore OA=4$.$\because$点$E$与点$B$关于$x$轴对称,$OA=3OC$,$\therefore E(0,3)$,$OC=\dfrac{4}{3}$,$\therefore C(-\dfrac{4}{3},0)$,把点$C$和点$E$的坐标代入一次函数$y=kx+b$,$\therefore \begin{cases} -\dfrac{4}{3}k+b=0,\\ b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{9}{4},\\ b=3, \end{cases}$$\therefore$直线$CD$的函数表达式为$y=\dfrac{9}{4}x+3$,令$\dfrac{9}{4}x+3=\dfrac{3}{4}x-3$,解得$x=-4$,$\therefore y=\dfrac{3}{4}×(-4)-3=-6$,$\therefore$点$D$的坐标为$(-4,-6)$.
(2)①$(-\dfrac{12}{7},-\dfrac{6}{7})$或$(-\dfrac{4}{5},\dfrac{6}{5})$ 解析:如图①,过点$D$作$DF⊥ x$轴于点$F$,连接$BC$.$\because DF=6$.$\because OA=4$,$OC=\dfrac{4}{3}$,$\therefore AC=\dfrac{16}{3}$,$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}· AC· DF=\dfrac{1}{2}×\dfrac{16}{3}×6=16$.
$\because A(4,0)$,$B(0,-3)$,$D(-4,-6)$,$\therefore$点$B$是线段$AD$的中点,$\therefore S_{△ DBC}=S_{△ ACB}$,当点$P$在线段$CD$上时,则有$S_{△ DBP}=\dfrac{3}{7}S_{△ ACD}$.$\because S_{△ DBP}=\dfrac{1}{2}(x_P-x_D)· BE$,$\therefore \dfrac{1}{2}(x_P+4)·6=\dfrac{3}{7}×16$,解得$x_P=-\dfrac{12}{7}$,$\therefore P(-\dfrac{12}{7},-\dfrac{6}{7})$;

当点$P$在线段$CE$上时,设直线$BP$与$x$轴交于点$Q$,如图②.此时有$S_{△ ABQ}=\dfrac{3}{7}S_{△ ACD}$.$\because S_{△ ABQ}=\dfrac{1}{2}· AQ· BO$,$\therefore \dfrac{1}{2}AQ·3=\dfrac{3}{7}×16$,解得$AQ=\dfrac{32}{7}$,$\therefore OQ=\dfrac{32}{7}-4=\dfrac{4}{7}$,$\therefore Q(-\dfrac{4}{7},0)$,$\therefore$直线$BQ$的表达式为$y=-\dfrac{21}{4}x-3$,令$\dfrac{9}{4}x+3=-\dfrac{21}{4}x-3$,解得$x=-\dfrac{4}{5}$,$\therefore P(-\dfrac{4}{5},\dfrac{6}{5})$.综上所述,若直线$BP$将$△ ACD$的面积分为$3:4$两部分,则点$P$的坐标为$(-\dfrac{12}{7},-\dfrac{6}{7})$或$(-\dfrac{4}{5},\dfrac{6}{5})$.
②存在.将$△ BPD$沿着直线$BP$翻折,使得点$D$恰好落在直线$AB$上方的坐标轴上,分三种情况:当点$D$落在$x$轴负半轴上$D_1$处时,如图③,由折叠性质可知,$∠ DBP=∠ D_1BP$,$BD=BD_1$,由题意可知,$OB=3$,$OA=4$,则$AB=5$,$\therefore BD=AB=5$,$\therefore BD_1=5$,$\therefore OD_1=4$,$\therefore △ ABO≌△ D_1BO(\mathrm{SSS})$,$\therefore ∠ OAB=∠ OD_1B$.$\because ∠ DBD_1=∠ OAB+∠ OD_1B$,$\therefore ∠ OD_1B=∠ D_1BP$,$\therefore BP// x$轴,$\therefore$点$P$的纵坐标为$-3$,$\therefore P(-\dfrac{8}{3},-3)$;

当点$D$落在$y$轴上$D_2$处时,如图④,过点$P$作$PG⊥ AD$于点$G$,作$PH⊥ y$轴于点$H$,过点$D$作$DM⊥ y$轴于点$M$,由折叠性质得$BP$平分$∠ DBD_2$,$\therefore PG=PH$.$\because S_{△ DBE}=S_{△ BEP}+S_{△ BDP}$,$\therefore \dfrac{1}{2}· BE· DM=\dfrac{1}{2}· BE· PH+\dfrac{1}{2}· BD· PG$,即$\dfrac{1}{2}×6×4=\dfrac{1}{2}×6· PH+\dfrac{1}{2}×5· PG$,解得$PG=PH=\dfrac{24}{11}$,$\therefore P(-\dfrac{24}{11},-\dfrac{21}{11})$;
当点$D$落在$x$轴正半轴上$D_3$处时,如图⑤,此时,点$A$和点$D_3$重合,不符合题意,舍去.综上所述,存在点$P$,将$△ BPD$沿着直线$BP$翻折,使得点$D$恰好落在直线$AB$上方的坐标轴上,此时点$P$的坐标为$(-\dfrac{8}{3},-3)$或$(-\dfrac{24}{11},-\dfrac{21}{11})$.

5. (2026·连云港期末)在平面直角坐标系与几何图形变换的综合问题中,我们常常通过旋转构造、函数性质、全等图形等探究点的坐标与图形性质并解决问题.运用几何与函数结合的模型能够轻松解决很多问题,让我们共同体会几何与函数模型的“数学之美”.
【图形旋转与全等】
(1) 如图 ①, 在 $△ AOB$ 中, $∠ AOB = 90°$, 将$△ AOB$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90°$ 得到 $△ COD, DC$延长线交 $AB$ 于点 $E$, 连接 $OE$, 过点 $O$ 作 $OF ⊥$$OE$ 交直线 $CD$ 于点 $F$. 求证: $∠ FEO = 45°$.
【一次函数与旋转】
(2) 如图②,将图①以 $O$ 为原点建立平面直角坐标系,若 $AB$ 边所在直线为 $y = -\dfrac{4}{3}x + 8$, 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于点 $A$、点 $B$.
①求 $CD$ 边所在直线的函数表达式；
②若点 $M$ 是直线 $CD$ 上的动点, 当 $MB$ 的值最小时,求此时点 $M$ 的坐标.
【面积与点的坐标】
(3) 在(2)的条件下,点 $P$ 是直线 $DC$ 上一动点,当$△ PAB$ 的面积为 30 时,请直接写出所有符合条件的点 $P$ 的坐标.

(1)$\because$将$△ AOB$绕点$O$逆时针旋转$90°$得到$△ COD$,$\therefore OA=OC$,$OB=OD$,$∠ AOB=∠ COD=90°$,$∠ B=∠ D$.$\because OF⊥ OE$,$\therefore ∠ EOF=90°$.$\because ∠ AOB=90°$,$\therefore ∠ AOE+∠ EOB=∠ FOC+∠ EOB$,$\therefore ∠ EOA=∠ FOC$.$\because ∠ DOF+∠ FOC=∠ BOE+∠ EOA$,$\therefore ∠ DOF=∠ BOE$,$\therefore$在$△ BOE$和$△ DOF$中,$\begin{cases} ∠ B=∠ D,\\ OB=OD,\\ ∠ BOE=∠ DOF, \end{cases}$$\therefore △ BOE≌△ DOF(\mathrm{ASA})$,$\therefore OF=OE$,则$△ EOF$为等腰直角三角形,$\therefore ∠ FEO=45°$.
(2)①$\because AB$边所在直线为$y=-\dfrac{4}{3}x+8$,$\therefore$令$x=0$,则$y=8$,令$y=0$,则$x=6$,$\therefore$点$A$的坐标为$(6,0)$,点$B$的坐标为$(0,8)$,根据旋转的性质,点$C$的坐标为$(0,6)$,点$D$的坐标为$(-8,0)$,设$CD$边所在直线为$y=kx+b$,将坐标代入得$\begin{cases} b=6,\\ -8k+6=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=6,\\ k=\dfrac{3}{4}, \end{cases}$$\therefore CD$边所在直线表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+6$.
②$\because ∠ OBE=∠ CDO$,$∠ DCO=∠ BCE$,$∠ CDO+∠ DCO=90°$,$\therefore ∠ OBE+∠ BCE=90°$,$\therefore BE⊥ CE$.$\because$直线外一点到直线的所有线段中,垂线段最短,$\therefore$当点$M$与点$E$重合时,$MB$的值最小,联立直线$AB$与直线$CD$,可得$\begin{cases} y=-\dfrac{4}{3}x+8,\\ y=\dfrac{3}{4}x+6, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{24}{25},\\ y=\dfrac{168}{25}, \end{cases}$故点$M$坐标为$(\dfrac{24}{25},\dfrac{168}{25})$.
(3)$(\dfrac{144}{25},\dfrac{258}{25})$或$(-\dfrac{96}{25},\dfrac{78}{25})$. 解析:如图,过点$P$作$PG⊥ x$轴,与$x$轴交于点$G$,与$AB$交于点$N$.

设点$P(x,\dfrac{3}{4}x+6)$,可得$N(x,-\dfrac{4}{3}x+8)$,$PN=\left|\dfrac{25}{12}x-2\right|$,$GN=\left|-\dfrac{4}{3}x+8\right|$.
设$P$到直线$AB$的距离为$h$,根据(2)可知直线$AB$与直线$CD$垂直,故$PE=h$.
$\because AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$,$△ PAB$的面积为$30$,$\therefore \dfrac{1}{2}× AB× h=\dfrac{1}{2}×10× h=30$,可得$h=PE=6$.$\because A(6,0)$,$\therefore AG=|x-6|$,
$\therefore AN=\sqrt{(x-6)^2+(-\dfrac{4}{3}x+8)^2}=\sqrt{(x-6)^2+\dfrac{16}{9}(x-6)^2}=\sqrt{\dfrac{25}{9}(x-6)^2}=\dfrac{5}{3}|x-6|$,
当以$AN$为底时,$△ APN$的面积可表示为$\dfrac{1}{2}× AN× PE$,当以$PN$为底时,$△ APN$的面积可表示为$\dfrac{1}{2}× PN× AG$,
$\therefore AN× PE=PN× AG$,$\therefore \dfrac{5}{3}|x-6|×6=PN×|x-6|$,$\therefore PN=10$,即$\left|\dfrac{25}{12}x-2\right|=10$,当$\dfrac{25}{12}x-2=10$时,解得$x=\dfrac{144}{25}$,将$x=\dfrac{144}{25}$代入$y=\dfrac{3}{4}x+6$,得$y=\dfrac{258}{25}$,点$P$坐标为$(\dfrac{144}{25},\dfrac{258}{25})$;
当$\dfrac{25}{12}x-2=-10$时,解得$x=-\dfrac{96}{25}$,将$x=-\dfrac{96}{25}$代入$y=\dfrac{3}{4}x+6$得$y=\dfrac{78}{25}$,点$P$坐标为$(-\dfrac{96}{25},\dfrac{78}{25})$.
综上,点$P$的坐标为$(\dfrac{144}{25},\dfrac{258}{25})$或$(-\dfrac{96}{25},\dfrac{78}{25})$.