1. 已知四边形$OABC$是边长为4的正方形，分别以$OA,OC$所在的直线为$x$轴、$y$轴，建立如图①所示的平面直角坐标系，直线$l$经过$A,C$两点.
(1)求直线$l$的函数表达式；
(2)如图②，若点$D$是$OC$的中点，$E$是直线$l$上的一个动点，求使$OE+DE$取得最小值时点$E$的坐标.

(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b,将A(4,0)和C(0,4)代入得$\begin{cases} 0=4k+b,\\4=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=4,\end{cases}$
∴直线l的函数表达式为y=-x+4.
(2)由题意知O与B关于直线l对称,如图,连接DB,交AC于点E,则点E为所求,此时OE+DE取得最小值,设DB所在直线为$y=k_1x+b_1$,将点D(0,2),B(4,4)代入得$\begin{cases}2=b_1,\\4=4k_1+b_1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=\dfrac{1}{2},\\b_1=2,\end{cases}$
∴直线DB的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+2$,联立方程组$\begin{cases} y=-x+4,\\y=\dfrac{1}{2}x+2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\dfrac{4}{3},\\y=\dfrac{8}{3},\end{cases}$
∴点E的坐标为$(\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3})$.

2. (2026·无锡校级月考) 如图,直线 $y=kx+b$ 与$x$轴、$y$轴分别交于$A(-4,0)$,$B(0,3)$两点,点$C(x,y)$是直线$y=kx+b$上与$A,B$不重合的动点.
(1)求直线$AB$的表达式.
(2)作直线$OC$,若$△ AOB$的面积被直线$OC$分成$1:2$的两部分,求此时点$C$的坐标.
(3)过点$C$的另一直线$CD$与$y$轴相交于$D$点,是否存在点$C$使$△ BCD$与$△ AOB$全等?若存在,求出点$C$的坐标;若不存在,说明理由.

(1)将点A(-4,0),B(0,3)代入y=kx+b,得$b=3,k=\dfrac{3}{4}$.故直线AB的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x+3$.
(2)$△ AOB$的面积为$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}× OA× OB=\dfrac{1}{2}×4×3=6$.直线OC将其分为1:2两部分,即两部分面积分别为2和4.设$C(x,\dfrac{3}{4}x+3)$,分两种情况:
情况1:如图①,$S_{△ OAC}:S_{△ OBC}=1:2$,$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}× OA×|y_C|=$$\dfrac{1}{2}×4×\left|\dfrac{3}{4}x+3\right|=2$,解得$x=-\dfrac{8}{3}$,对应$y=\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{8}{3})+3=1$,即$C(-\dfrac{8}{3},1)$.

情况2:如图②,$S_{△ OAC}:S_{△ OBC}=2:1$,$S_{△ OAC}=4$,同理解得$x=-\dfrac{4}{3}$,对应$y=\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{4}{3})+3=2$,即$C(-\dfrac{4}{3},2)$.
故点C坐标为$(-\dfrac{8}{3},1)$或$(-\dfrac{4}{3},2)$.
(3)存在点C使$△ BCD$与$△ AOB$全等.
$\because△ AOB$是直角三角形(直角顶点为O),边长为OA=4,OB=3,AB=5,$△ BCD$中,D在y轴上,故BD是y轴上的线段,需使$△ BCD$为直角三角形(与$△ AOB$全等),分两种直角位置讨论:
情况1:直角顶点为D点($CD⊥ y$轴),如图③.
此时$△ AOB≌△ CDB$,则$CD=OA=x_C=4$,$BD=OB=3$,$\therefore y_C=$$\dfrac{3}{4}×4+3=6$,$y_D=3+3=6$.$\because y_C=y_D$,符合题意,故C(4,6).

情况2:直角顶点为C点($BC⊥ CD$),如图④,此时,$△ AOB≌$$△ DCB$,则$BC=BO=3$,$CD=OA=4$,$BD=BA=5$,则D(0,8)或D(0,-2).
设$C(x,\dfrac{3}{4}x+3)$,则$BC=\sqrt{x^2+(\dfrac{3}{4}x+3-3)^2}=3$,解得$x=$$\pm\dfrac{12}{5}$.当$x=\dfrac{12}{5}$时,$y=\dfrac{3}{4}×\dfrac{12}{5}+3=\dfrac{24}{5}$,即$C(\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5})$,此时D的坐标应该为(0,8),则$CD=\sqrt{(\dfrac{12}{5})^2+(\dfrac{24}{5}-8)^2}=4$,符合题意;
同理,当$x=-\dfrac{12}{5}$时,$C(-\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$,$D(0,-2)$,则$CD=$$\sqrt{(-\dfrac{12}{5})^2+(\dfrac{6}{5}+2)^2}=4$,符合题意;
$\therefore C$的坐标为$(\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5})$或$(-\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$.
综上所述,存在满足条件的点C,坐标分别为$(4,6)$,$(\dfrac{12}{5},\dfrac{24}{5})$,$(-\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5})$.