登录
5. (2026·南京期末)甲、乙两车从同一地点出发,沿相同道路行驶. 甲车先出发,速度为12 m/s,乙车出发后在离出发地1 200 m处遇到第一个信号灯,等待红灯20 s后继续行驶.假设两车行驶速度保持不变,两车离出发地的距离 y(m) 与甲车出发后的时间 x(s) 的关系如图所示.
(1)乙车的速度为
(2)求两车在未到达第一个信号灯前相遇时离出发地的距离;
(3)通过第一个信号灯后,车进入城市主干道,每隔 400 m 有一个信号灯. 已知红灯持续20 s,绿灯持续 40 s,且一处红灯转绿后 10 s,下一个信号灯恰好亮起红灯.则甲、乙两车通过第三个信号灯的时间相差
(1)乙车的速度为
20
m/s;(2)求两车在未到达第一个信号灯前相遇时离出发地的距离;
(3)通过第一个信号灯后,车进入城市主干道,每隔 400 m 有一个信号灯. 已知红灯持续20 s,绿灯持续 40 s,且一处红灯转绿后 10 s,下一个信号灯恰好亮起红灯.则甲、乙两车通过第三个信号灯的时间相差
50/3
s.答案
5. (1)20 解析:由图象可知,乙车在甲车出发10 s后出发,行驶1 200 m到达第一个信号灯所用时间为$(70-10)\ \mathrm{s}$,故乙车速度为$v=\dfrac{1\ 200}{70-10}=20(\mathrm{m/s})$.
(2)由已知得甲车离出发地的距离y(m)与甲车出发后的时间x(s)的表达式为$y=12x$.设两车在未到达第一个信号灯前,乙车离出发地的距离y(m)与甲车出发后的时间x(s)的表达式为$y=kx+b$,把$(10,0)$,$(70,1\ 200)$代入,得$\begin{cases} 10k+b=0,\\ 70k+b=1\ 200, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=20,\\ b=-200, \end{cases}$$\therefore$两车在未到达第一个信号灯前,乙车离出发地的距离y(m)与甲车出发后的时间x(s)的表达式为$y=20x-200$($10 ≤ x ＜ 70$),联立$\begin{cases} y=12x,\\ y=20x-200, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=25,\\ y=300, \end{cases}$$\therefore$两车在未到达第一个信号灯前相遇时离出发地的距离为300 m.
(3)$\dfrac{50}{3}$ 解析:由(1)知乙车的速度为20 m/s,甲车速度为12 m/s,甲车通过第一个信号灯的时间为$t_\mathrm{甲}=\dfrac{1\ 200}{12}=100(\mathrm{s})$,乙车到达第一个信号灯的时间为70 s,等待20 s后离开时间为90 s,第一个信号灯红灯结束绿灯开始时间为90 s,持续40 s,根据一处红灯转绿后10 s,下一个信号灯恰好亮起红灯,第二个信号灯红灯开始时间为100 s,红灯结束时间为120 s,甲车从第一个信号灯到第二个信号灯(距离400 m)所需时间为$\dfrac{400}{12}\ \mathrm{s}$,到达第二个信号灯的时间为$100+\dfrac{400}{12}=\dfrac{400}{3}(\mathrm{s})$,此时为绿灯,直接通过.乙车从第一个信号灯到第二个信号灯所需时间为$\dfrac{400}{20}=20(\mathrm{s})$,到达第二个信号灯的时间为$90+20=110(\mathrm{s})$,此时为红灯,需等待至120 s时通过.第三个信号灯红灯开始时间为130 s,红灯结束时间为150 s,绿灯开始时间为150 s,甲车从第二个信号灯到第三个信号灯所需时间为$\dfrac{400}{12}\ \mathrm{s}$,到达第三个信号灯的时间为$\dfrac{400}{3}+\dfrac{400}{12}=\dfrac{500}{3}(\mathrm{s})$,此时为绿灯,直接通过,乙车从第二个信号灯到第三个信号灯所需时间为$\dfrac{400}{20}=20(\mathrm{s})$,到达第三个信号灯的时间为$120+20=140(\mathrm{s})$,此时为红灯,等待至150 s通过,故两车通过第三个信号灯的时间相差$\dfrac{500}{3}-150=\dfrac{50}{3}(\mathrm{s})$.
(2)由已知得甲车离出发地的距离y(m)与甲车出发后的时间x(s)的表达式为$y=12x$.设两车在未到达第一个信号灯前,乙车离出发地的距离y(m)与甲车出发后的时间x(s)的表达式为$y=kx+b$,把$(10,0)$,$(70,1\ 200)$代入,得$\begin{cases} 10k+b=0,\\ 70k+b=1\ 200, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=20,\\ b=-200, \end{cases}$$\therefore$两车在未到达第一个信号灯前,乙车离出发地的距离y(m)与甲车出发后的时间x(s)的表达式为$y=20x-200$($10 ≤ x ＜ 70$),联立$\begin{cases} y=12x,\\ y=20x-200, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=25,\\ y=300, \end{cases}$$\therefore$两车在未到达第一个信号灯前相遇时离出发地的距离为300 m.
(3)$\dfrac{50}{3}$ 解析:由(1)知乙车的速度为20 m/s,甲车速度为12 m/s,甲车通过第一个信号灯的时间为$t_\mathrm{甲}=\dfrac{1\ 200}{12}=100(\mathrm{s})$,乙车到达第一个信号灯的时间为70 s,等待20 s后离开时间为90 s,第一个信号灯红灯结束绿灯开始时间为90 s,持续40 s,根据一处红灯转绿后10 s,下一个信号灯恰好亮起红灯,第二个信号灯红灯开始时间为100 s,红灯结束时间为120 s,甲车从第一个信号灯到第二个信号灯(距离400 m)所需时间为$\dfrac{400}{12}\ \mathrm{s}$,到达第二个信号灯的时间为$100+\dfrac{400}{12}=\dfrac{400}{3}(\mathrm{s})$,此时为绿灯,直接通过.乙车从第一个信号灯到第二个信号灯所需时间为$\dfrac{400}{20}=20(\mathrm{s})$,到达第二个信号灯的时间为$90+20=110(\mathrm{s})$,此时为红灯,需等待至120 s时通过.第三个信号灯红灯开始时间为130 s,红灯结束时间为150 s,绿灯开始时间为150 s,甲车从第二个信号灯到第三个信号灯所需时间为$\dfrac{400}{12}\ \mathrm{s}$,到达第三个信号灯的时间为$\dfrac{400}{3}+\dfrac{400}{12}=\dfrac{500}{3}(\mathrm{s})$,此时为绿灯,直接通过,乙车从第二个信号灯到第三个信号灯所需时间为$\dfrac{400}{20}=20(\mathrm{s})$,到达第三个信号灯的时间为$120+20=140(\mathrm{s})$,此时为红灯,等待至150 s通过,故两车通过第三个信号灯的时间相差$\dfrac{500}{3}-150=\dfrac{50}{3}(\mathrm{s})$.
6.(襄阳中考)为了振兴乡村经济,我市某镇鼓励广大农户种植山药,并精加工成甲、乙两种产品.某经销商购进甲、乙两种产品,甲种产品进价为8元/千克;乙种产品的进货总金额$y$(单位:元)与乙种产品进货量$x$(单位:千克)之间的关系如图所示.已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/千克和18元/千克.
(1)求出$0 ≤ x ≤ 2\ 000$和$x＞2\ 000$时,$y$与$x$之间的函数关系式;
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6 000千克,并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于1 600千克,且不高于4 000千克,设销售完甲、乙两种产品所获总利润为$w$元(利润$=$销售额$-$成本),请求出$w$(单位:元)与乙种产品进货量$x$(单位:千克)之间的函数关系式,并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案;
(3)为回馈广大客户,该经销商决定对两种产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的进货方案下,甲、乙两种产品售价分别降低$a$元/千克和$2a$元/千克,全部售出后所获总利润不低于15 000元,求$a$的最大值.
(1)求出$0 ≤ x ≤ 2\ 000$和$x＞2\ 000$时,$y$与$x$之间的函数关系式;
(2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6 000千克,并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于1 600千克,且不高于4 000千克,设销售完甲、乙两种产品所获总利润为$w$元(利润$=$销售额$-$成本),请求出$w$(单位:元)与乙种产品进货量$x$(单位:千克)之间的函数关系式,并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案;
(3)为回馈广大客户,该经销商决定对两种产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的进货方案下,甲、乙两种产品售价分别降低$a$元/千克和$2a$元/千克,全部售出后所获总利润不低于15 000元,求$a$的最大值.
答案
6. (1)当$0 ≤ x ≤ 2\ 000$时,设$y=k'x$,根据题意可得,$2\ 000k'=30\ 000$,解得$k'=15$,$\therefore y=15x$.当$x ＞ 2\ 000$时,设$y=kx+b$,根据题意可得$\begin{cases} 2\ 000k+b=30\ 000,\\ 4\ 000k+b=56\ 000, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=13,\\ b=4\ 000. \end{cases}$$\therefore y=13x+4\ 000$.
$\therefore y=\begin{cases} 15x(0 ≤ x ≤ 2\ 000),\\ 13x+4\ 000(x ＞ 2\ 000). \end{cases}$
(2)根据题意可知,购进甲种产品$(6\ 000-x)$千克,$\because 1\ 600 ≤ x ≤ 4\ 000$,当$1\ 600 ≤ x ≤ 2\ 000$时,$w=(12-8) × (6\ 000-x)+(18-15)· x=-x+24\ 000$,$\because -1 ＜ 0$,$\therefore$当$x=1\ 600$时,w的最大值为$-1 × 1\ 600+24\ 000=22\ 400$(元).当$2\ 000 ＜ x ≤ 4\ 000$时,$w=(12-8) × (6\ 000-x)+18x-(13x+4\ 000)=x+20\ 000$.$\because 1 ＞ 0$,$\therefore$当$x=4\ 000$时,w的最大值为$4\ 000+20\ 000=24\ 000$(元).综上,$w=\begin{cases} -x+24\ 000(1\ 600 ≤ x ≤ 2\ 000),\\ x+20\ 000(2\ 000 ＜ x ≤ 4\ 000). \end{cases}$当购进甲种产品2 000千克,乙种产品4 000千克时,利润最大为24 000元.
(3)根据题意可知,降价后$w=(12-8-a) × (6\ 000-x)+(18-2a)x-(13x+4\ 000)=(1-a)x+20\ 000-6\ 000a$,若$1-a ＞ 0$,即$a ＜ 1$,则当$x=4\ 000$时,w取得最大值,$\therefore (1-a) × 4\ 000+20\ 000-6\ 000a ≥ 15\ 000$,解得$a ≤ 0.9$.若$a=1$,则$w=14\ 000 ＜ 15\ 000$.若$1-a ＜ 0$,即$a ＞ 1$,则当$x=1\ 600$时,w取得最大值,$\therefore (1-a) × 1\ 600+20\ 000-6\ 000a ≥ 15\ 000$,解得$a ＜ \dfrac{33}{38}$,不成立.$\therefore a$的最大值为0.9.
$\therefore y=\begin{cases} 15x(0 ≤ x ≤ 2\ 000),\\ 13x+4\ 000(x ＞ 2\ 000). \end{cases}$
(2)根据题意可知,购进甲种产品$(6\ 000-x)$千克,$\because 1\ 600 ≤ x ≤ 4\ 000$,当$1\ 600 ≤ x ≤ 2\ 000$时,$w=(12-8) × (6\ 000-x)+(18-15)· x=-x+24\ 000$,$\because -1 ＜ 0$,$\therefore$当$x=1\ 600$时,w的最大值为$-1 × 1\ 600+24\ 000=22\ 400$(元).当$2\ 000 ＜ x ≤ 4\ 000$时,$w=(12-8) × (6\ 000-x)+18x-(13x+4\ 000)=x+20\ 000$.$\because 1 ＞ 0$,$\therefore$当$x=4\ 000$时,w的最大值为$4\ 000+20\ 000=24\ 000$(元).综上,$w=\begin{cases} -x+24\ 000(1\ 600 ≤ x ≤ 2\ 000),\\ x+20\ 000(2\ 000 ＜ x ≤ 4\ 000). \end{cases}$当购进甲种产品2 000千克,乙种产品4 000千克时,利润最大为24 000元.
(3)根据题意可知,降价后$w=(12-8-a) × (6\ 000-x)+(18-2a)x-(13x+4\ 000)=(1-a)x+20\ 000-6\ 000a$,若$1-a ＞ 0$,即$a ＜ 1$,则当$x=4\ 000$时,w取得最大值,$\therefore (1-a) × 4\ 000+20\ 000-6\ 000a ≥ 15\ 000$,解得$a ≤ 0.9$.若$a=1$,则$w=14\ 000 ＜ 15\ 000$.若$1-a ＜ 0$,即$a ＞ 1$,则当$x=1\ 600$时,w取得最大值,$\therefore (1-a) × 1\ 600+20\ 000-6\ 000a ≥ 15\ 000$,解得$a ＜ \dfrac{33}{38}$,不成立.$\therefore a$的最大值为0.9.
