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3. (牡丹江中考)某书店现有资金7 700元,计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套,其中甲种图书每套500元,乙种图书每套400元,丙种图书每套250元.书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元、430元、310元.设书店购进甲种图书$x$套,乙种图书$y$套,请解答下列问题：
(1)请求出$y$与$x$的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围).
(2)若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套,则该书店有几种进货方案?
(3)在(1)和(2)的条件下,根据市场调查,书店决定将三种图书的售价作如下调整:甲种图书的售价不变,乙种图书的售价上调$a$($a$为正整数)元,丙种图书的售价下调$a$元,这样三种图书全部售出后,所获得的利润比(2)中某方案的利润多出20元,请直接写出书店是按哪种方案进的货及$a$的值.
(1)请求出$y$与$x$的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围).
(2)若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套,则该书店有几种进货方案?
(3)在(1)和(2)的条件下,根据市场调查,书店决定将三种图书的售价作如下调整:甲种图书的售价不变,乙种图书的售价上调$a$($a$为正整数)元,丙种图书的售价下调$a$元,这样三种图书全部售出后,所获得的利润比(2)中某方案的利润多出20元,请直接写出书店是按哪种方案进的货及$a$的值.
答案
3. (1)根据题意得,购进丙种图书$(20-x-y)$套,则有$500x+400y+250 × (20-x-y)=7\ 700$,$\therefore$函数表达式为$y=-\dfrac{5}{3}x+18$.
(2)根据题意,得$-\dfrac{5}{3}x+18 ≥ 1$,解得$x ≤ 10\ \dfrac{1}{5}$,又$\because x ≥ 1$,$\therefore 1 ≤ x ≤ 10\ \dfrac{1}{5}$.$\because x$,$y$,$(20-x-y)$为正整数,$\therefore x=3$,$6$,$9$,即有三种进货方案:①甲、乙、丙三种图书分别为3套,13套,4套;②甲、乙、丙三种图书分别为6套,8套,6套;③甲、乙、丙三种图书分别为9套,3套,8套.
(3)进货方案是甲种图书6套,乙种图书8套,丙种图书6套,$a=10$.
解析:若按方案一,则有$13a-4a=20$,解得$a=\dfrac{20}{9}$(不是正整数,不符合题意,舍去);若按方案二,则有$8a-6a=20$,解得$a=10$(符合题意);若按方案三,则有$3a-8a=20$,解得$a=-4$(不是正整数,不符合题意,舍去).$\therefore$进货方案是甲种图书6套,乙种图书8套,丙种图书6套,$a=10$.
(2)根据题意,得$-\dfrac{5}{3}x+18 ≥ 1$,解得$x ≤ 10\ \dfrac{1}{5}$,又$\because x ≥ 1$,$\therefore 1 ≤ x ≤ 10\ \dfrac{1}{5}$.$\because x$,$y$,$(20-x-y)$为正整数,$\therefore x=3$,$6$,$9$,即有三种进货方案:①甲、乙、丙三种图书分别为3套,13套,4套;②甲、乙、丙三种图书分别为6套,8套,6套;③甲、乙、丙三种图书分别为9套,3套,8套.
(3)进货方案是甲种图书6套,乙种图书8套,丙种图书6套,$a=10$.
解析:若按方案一,则有$13a-4a=20$,解得$a=\dfrac{20}{9}$(不是正整数,不符合题意,舍去);若按方案二,则有$8a-6a=20$,解得$a=10$(符合题意);若按方案三,则有$3a-8a=20$,解得$a=-4$(不是正整数,不符合题意,舍去).$\therefore$进货方案是甲种图书6套,乙种图书8套,丙种图书6套,$a=10$.
4.(徐州中考)为增强公民的节约意识,合理利用天然气资源,某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整,实行阶梯式气价,调整后的收费价格如表所示:
(1)若甲用户3月份的用气量为60立方米,则应缴费
(2)若调价后每月支出的燃气费为$ y $(元),每月的用气量为$ x $(立方米),$ y $与$ x $之间的关系如图所示,求$ a $的值及$ y $与$ x $之间的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,若乙用户2、3月份共用气175立方米(3月份用气量低于2月份用气量),共缴费455元,乙用户2、3月份的用气量各是多少?
(1)若甲用户3月份的用气量为60立方米,则应缴费
150
元;(2)若调价后每月支出的燃气费为$ y $(元),每月的用气量为$ x $(立方米),$ y $与$ x $之间的关系如图所示,求$ a $的值及$ y $与$ x $之间的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,若乙用户2、3月份共用气175立方米(3月份用气量低于2月份用气量),共缴费455元,乙用户2、3月份的用气量各是多少?
答案
4. (1)150 解析:若甲用户3月份的用气量为60立方米,则应缴费$60 × 2.5=150$(元).
(2)由题意,得$a=(325-75 × 2.5) ÷ (125-75)=2.75$,$\therefore a+0.25=3$,易知线段OA的表达式为$y_1=2.5x$($0 ≤ x ≤ 75$).设线段AB的表达式为$y_2=k_2x+b$,由题图,得$\begin{cases} 75 × 2.5=75k_2+b,\\ 325=125k_2+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_2=2.75,\\ b=-18.75. \end{cases}$$\therefore$线段AB的表达式为$y_2=2.75x-18.75$($75 ＜ x ≤ 125$).$\because (385-325) ÷ 3=20$,$\therefore C(145,385)$.设射线BC的表达式为$y_3=k_3x+b_1$,由题图,得$\begin{cases} 325=125k_3+b_1,\\ 385=145k_3+b_1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_3=3,\\ b_1=-50. \end{cases}$$\therefore$射线BC的表达式为$y_3=3x-50$($x ＞ 125$).综上,y与x之间的函数表达式为$y=\begin{cases} 2.5x(0 ≤ x ≤ 75),\\ 2.75x-18.75(75 ＜ x ≤ 125),\\ 3x-50(x ＞ 125). \end{cases}$
(3)设乙用户2月份用气x立方米,则3月份用气$(175-x)$立方米,当$x ＞ 125$,$175-x ≤ 75$时,$3x-50+2.5(175-x)=455$,解得$x=135$,$175-135=40$,符合题意;当$75 ＜ x ≤ 125$,$175-x ≤ 75$时,$2.75x-18.75+2.5(175-x)=455$,解得$x=145$,不符合题意,舍去;当$75 ＜ x ≤ 125$,$75 ＜ 175-x ≤ 125$时,$2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455$,此方程无解.$\therefore$乙用户2、3月份的用气量分别为135立方米、40立方米.
(2)由题意,得$a=(325-75 × 2.5) ÷ (125-75)=2.75$,$\therefore a+0.25=3$,易知线段OA的表达式为$y_1=2.5x$($0 ≤ x ≤ 75$).设线段AB的表达式为$y_2=k_2x+b$,由题图,得$\begin{cases} 75 × 2.5=75k_2+b,\\ 325=125k_2+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_2=2.75,\\ b=-18.75. \end{cases}$$\therefore$线段AB的表达式为$y_2=2.75x-18.75$($75 ＜ x ≤ 125$).$\because (385-325) ÷ 3=20$,$\therefore C(145,385)$.设射线BC的表达式为$y_3=k_3x+b_1$,由题图,得$\begin{cases} 325=125k_3+b_1,\\ 385=145k_3+b_1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k_3=3,\\ b_1=-50. \end{cases}$$\therefore$射线BC的表达式为$y_3=3x-50$($x ＞ 125$).综上,y与x之间的函数表达式为$y=\begin{cases} 2.5x(0 ≤ x ≤ 75),\\ 2.75x-18.75(75 ＜ x ≤ 125),\\ 3x-50(x ＞ 125). \end{cases}$
(3)设乙用户2月份用气x立方米,则3月份用气$(175-x)$立方米,当$x ＞ 125$,$175-x ≤ 75$时,$3x-50+2.5(175-x)=455$,解得$x=135$,$175-135=40$,符合题意;当$75 ＜ x ≤ 125$,$175-x ≤ 75$时,$2.75x-18.75+2.5(175-x)=455$,解得$x=145$,不符合题意,舍去;当$75 ＜ x ≤ 125$,$75 ＜ 175-x ≤ 125$时,$2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455$,此方程无解.$\therefore$乙用户2、3月份的用气量分别为135立方米、40立方米.
