1. (2025·黄石校级月考) 在 $△ ABC$ 中, $∠ A$,
$∠ B, ∠ C$ 的对应边分别是 $a, b, c$, 若 $∠ A+$
$∠ C=90°$, 则下列等式中成立的是 （）

A.$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.$b^{2}+c^{2}=a^{2}$
C.$a^{2}+c^{2}=b^{2}$
D.$b-a=c$

1. C 解析:
∵ 在 $△ ABC$ 中, $∠ A+∠ C=90°,\therefore ∠ B=90°,$ $\therefore △ ABC$ 为直角三角形, 则根据勾股定理得 $a^{2}+c^{2}=b^{2}$. 故选 C.

2. 如图,长为 8 cm 的橡皮筋放置在水平直线上,固定两端 A 和 B,然后把中点 C 向上拉升3 cm 至点 D,则橡皮筋被拉长了 （）

A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm

2. A 解析:由题意可知 $AD=BD$, 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $AC=\dfrac{1}{2}AB=$ 4 cm, $CD=3$ cm, 根据勾股定理得 $AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=$ 5 cm, $\therefore AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(\mathrm{cm})$. 故橡皮筋被拉长了 2 cm. 故选 A.

3.(2026·达州校级月考)已知一个直角三角形两边的长分别为3和4,则此三角形的第三条边的长为.

3. 5 或$\sqrt{7}$ 解析:当 3 和 4 是直角边长时,在直角三角形中,第三条边长为 $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$; 当 3 是直角边长,4 是斜边长时,在直角三角形中,第三条边长为 $\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$.

4. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对应边分别为 $a,b,c,∠ C=90°$.
(1) 已知 $a:b=3:4,c=10$, 则 $a=$ , $b=$ ;
(2) 已知 $a=6,b=8$, 则斜边 $c$ 上的高 $h=$ ;
(3) 若 $a^2+b^2+c^2=800$, 则斜边 $c=$ .

4. (1)6 8 解析:设 $a=3m$, 则 $b=4m$, 由勾股定理得 $(3m)^{2}+(4m)^{2}=10^{2}$, 解得 $m=2$ 或 $m=-2$ (不符合题意,舍去), $\therefore a=3m=6,b=4m=8.$
(2)4.8 解析:由勾股定理得 $c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$, 由面积公式可得 $\dfrac{1}{2}×6×8=\dfrac{1}{2}×10× h$, 解得 $h=4.8.$
(3)20 解析:$\because ∠ C=90°,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.\because a^{2}+b^{2}+c^{2}=800,\therefore c^{2}+c^{2}=800$, 解得 $c=20$ 或 $c=-20$ (不符合题意,舍去).

5. (2026·烟台期末)如图,以直角三角形的一条直角边和斜边为一边向外部作正方形①和②,它们的面积分别为$9\ \mathrm{cm}^{2}$和$25\ \mathrm{cm}^{2}$,则直角三角形的面积为.

5. $6\ \mathrm{cm}^{2}$ 解析:由题意得直角三角形的斜边长 $\sqrt{25}=5(\mathrm{cm}),$一条直角边长$\sqrt{9}=3(\mathrm{cm}),\therefore$ 另一条直角边长 $\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4(\mathrm{cm}),\therefore$ 直角三角形的面积为 $\dfrac{1}{2}×3×4=6(\mathrm{cm}^{2}).$

6. 正方形网格中每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫作格点,以格点为顶点.
(1)在图①中,画一个面积为10的正方形;
(2)在图②③中,分别画两个不全等的直角三角形,使它们的三边长都是无理数.

6. (1)如图①即为所作.(合理即可)
(2)如图②③即为所作.(合理即可)

7. (2025·泰州期末)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点A,B,C都是格点,在图中找一点O,使得$OA=OB=OC$,则OA的长为（）


A.1
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$

7. D 解析:如图, $\because OA=OB=OC,\therefore$ 点 $O$ 在线段 $AB,BC$ 的垂直平分线上, $\therefore OA=OB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}.$

8. (2026·无锡期末)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$CH$是斜边$AB$上的高,$CE$是$△ ABC$的中线,$CD$是$△ CHB$的角平分线.下列结论: ①$CH^{2}=AH· AB$;②$AD^{2}+BC^{2}=AB^{2}$; ③$AC^{2}-AH^{2}=BC^{2}-BH^{2}$;④$AC^{2}+BC^{2}=2CE^{2}$.其中正确的是（）

A.①④
B.②③
C.①③④
D.②③④

8. B 解析:如图,①根据勾股定理可得 $CH^{2}+AH^{2}=AC^{2},CH^{2}+BH^{2}=BC^{2},\therefore CH^{2}+AH^{2}+CH^{2}+BH^{2}=AC^{2}+BC^{2}.\because AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},\therefore 2CH^{2}+AH^{2}+BH^{2}=AB^{2},2CH^{2}=AB^{2}-AH^{2}-BH^{2},2CH^{2}=(AH+BH)^{2}-AH^{2}-BH^{2},2CH^{2}=2AH· BH,\therefore CH^{2}=AH· BH$, 故 ① 错误; ② $\because ∠ ACB=90°,CH⊥ AB,\therefore ∠ ACH+∠ BCH=90°,∠ B+∠ BCH=90°,\therefore ∠ ACH=∠ B.\because CD$ 平分 $∠ HCB,\therefore ∠ HCD=∠ BCD.\because ∠ ACD=∠ ACH+∠ HCD,∠ ADC=∠ B+∠ BCD,\therefore ∠ ACD=∠ ADC,\therefore AC=AD.\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},\therefore AD^{2}+BC^{2}=AB^{2}$, 故②正确; ③ $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACH$ 中, $AC^{2}-AH^{2}=CH^{2}$, 在 $\mathrm{Rt}△ BCH$ 中, $BC^{2}-BH^{2}=CH^{2},\therefore AC^{2}-AH^{2}=BC^{2}-BH^{2}$, 故 ③ 正确;④ $\because CE$ 是$\mathrm{Rt}△ ABC$ 斜边 $AB$ 的中线, $\therefore CE=\dfrac{1}{2}AB$, 即 $AB=2CE.\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2},\therefore AC^{2}+BC^{2}=(2CE)^{2}=4CE^{2}≠2CE^{2}$, 故 ④ 错误. 综上, 正确的是 ②③, 故选 B.

9. (2025·济宁期中) 设 $a,b$ 是直角三角形的两条直角边,若该直角三角形的周长为 9,斜边长为 4,则 $ab$ 的值是.

9. 4.5 解析:根据题意得$ a+b+4=9,\therefore a+b=5,\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=25.\because a^{2}+b^{2}=4^{2}=16,\therefore 2ab=25-16=9,\therefore ab=4.5.$

10. 在等腰 $△ ABC$ 中, $AB=AC=10$, $BD$ 是 $AC$ 边上的高线, 若 $BD=6$, 则 $△ BCD$ 的面积为.

10. 6 或 54 解析:分两种情况, 当等腰 $△ ABC$ 是锐角三角形时, 如图①, 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8,\therefore CD=AC-AD=10-8=2,\therefore △ BCD$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}× CD× BD=\dfrac{1}{2}×2×6=6$; 当等腰 $△ ABC$ 是钝角三角形时, 如图②,在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8,\therefore CD=AC+AD=10+8=18,\therefore △ BCD$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}× CD× BD=\dfrac{1}{2}×18×6=54.$