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22. (10 分)【初步感知】
(1)直接写出计算结果.
①$\sqrt{1^{3}}=$
②$\sqrt{1^{3}+2^{3}}=$
③$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}=$
④$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}=$
【深入探究】观察下列等式.
①$1+2=\dfrac{(1+2)×2}{2}$；
②$1+2+3=\dfrac{(1+3)×3}{2}$；
③$1+2+3+4=\dfrac{(1+4)×4}{2}$；
④$1+2+3+4+5=\dfrac{(1+5)×5}{2}$；$···$.
根据以上等式的规律,在横线上填写适当内容.
(2)
(3)$1+2+3+···+n+(n+1)=$
【拓展应用】计算:
(4)$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+···+99^{3}+100^{3}}$.
(5)$11^{3}+12^{3}+13^{3}+···+19^{3}+20^{3}$.
(1)直接写出计算结果.
①$\sqrt{1^{3}}=$
1
；②$\sqrt{1^{3}+2^{3}}=$
3
；③$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}=$
6
；④$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}=$
10
；$···$.【深入探究】观察下列等式.
①$1+2=\dfrac{(1+2)×2}{2}$；
②$1+2+3=\dfrac{(1+3)×3}{2}$；
③$1+2+3+4=\dfrac{(1+4)×4}{2}$；
④$1+2+3+4+5=\dfrac{(1+5)×5}{2}$；$···$.
根据以上等式的规律,在横线上填写适当内容.
(2)
$1+2+3+···+2\ 025$
$=\dfrac{(1+2\ 025)×2\ 025}{2}$.(3)$1+2+3+···+n+(n+1)=$
$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
.【拓展应用】计算:
(4)$\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+···+99^{3}+100^{3}}$.
(5)$11^{3}+12^{3}+13^{3}+···+19^{3}+20^{3}$.
答案
22. (1) ① 1 ② 3 ③ 6 ④ 10 解析: ① $\sqrt{1^3} = 1$,② $\sqrt{1^3+2^3} = 1+2 = 3$,③ $\sqrt{1^3+2^3+3^3} = 1+2+3 = 6$,④ $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3} = 1+2+3+4 = 10$.
(2) $1+2+3+···+2\ 025$ 解析: 根据题中等式的规律可得 $1+2+3+···+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$,$\therefore 1+2+3+···+2\ 025 = \dfrac{(1+2\ 025) × 2\ 025}{2}$.
(3) $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ 解析: 同(2)中解析,按照规律可得结果.
(4) 原式 $= 1+2+3+···+100 = \dfrac{(100+1) × 100}{2} = 5\ 050$.
(5) 原式 $= (1^3+2^3+3^3+···+19^3+20^3)-(1^3+2^3+3^3+···+9^3+10^3) = (\sqrt{1^3+2^3+···+20^3})^2-(\sqrt{1^3+2^3+···+10^3})^2 = (1+2+···+20)^2-(1+2+···+10)^2 = (\dfrac{21 × 20}{2})^2-(\dfrac{11 × 10}{2})^2 = 210^2-55^2 = 41\ 075$.
(2) $1+2+3+···+2\ 025$ 解析: 根据题中等式的规律可得 $1+2+3+···+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$,$\therefore 1+2+3+···+2\ 025 = \dfrac{(1+2\ 025) × 2\ 025}{2}$.
(3) $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ 解析: 同(2)中解析,按照规律可得结果.
(4) 原式 $= 1+2+3+···+100 = \dfrac{(100+1) × 100}{2} = 5\ 050$.
(5) 原式 $= (1^3+2^3+3^3+···+19^3+20^3)-(1^3+2^3+3^3+···+9^3+10^3) = (\sqrt{1^3+2^3+···+20^3})^2-(\sqrt{1^3+2^3+···+10^3})^2 = (1+2+···+20)^2-(1+2+···+10)^2 = (\dfrac{21 × 20}{2})^2-(\dfrac{11 × 10}{2})^2 = 210^2-55^2 = 41\ 075$.
23. (11 分) 新题型 新定义 新定义: 若无理数$\sqrt{T}$的被开方数($T$为正整数)满足$n^{2}＜T＜(n+1)^{2}$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$; 同理规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$.例如:因为$1^{2}＜2＜$$2^{2}$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2)$,$-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$,请回答下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为
(2)若无理数$\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a+1}$的值.
(3) 实数 $x,y$ 满足关系式:$\sqrt{x-3}+∣2\ 026+$$(y-4)^{2}∣=2\ 026$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
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(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为
$(4,5)$
;$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$
.(2)若无理数$\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\sqrt{a+3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a+1}$的值.
(3) 实数 $x,y$ 满足关系式:$\sqrt{x-3}+∣2\ 026+$$(y-4)^{2}∣=2\ 026$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
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答案
23. (1) $(4,5)$ $(-5,-4)$ 解析: $\because 4^2 ＜ 17 ＜ 5^2$,$\therefore \sqrt{17}$ 的"青一区间"为 $(4,5)$. $\because 4^2 ＜ 23 ＜ 5^2$,$\therefore -\sqrt{23}$ 的"青一区间"为 $(-5,-4)$.
(2) $\because$ 无理数 $\sqrt{a}$ 的"青一区间"为 $(2,3)$,$\therefore 2 ＜ \sqrt{a} ＜ 3$,$\therefore 2^2 ＜ a ＜ 3^2$,即 $4 ＜ a ＜ 9$. $\because$ 无理数 $\sqrt{a+3}$ 的"青一区间"为 $(3,4)$,$\therefore 3 ＜ \sqrt{a+3} ＜ 4$,$\therefore 3^2 ＜ a+3 ＜ 4^2$,即 $9 ＜ a+3 ＜ 16$,$\therefore 6 ＜ a ＜ 13$,$\therefore 6 ＜ a ＜ 9$. $\because a$ 为正整数,$\therefore a=7$ 或 $a=8$. 当 $a=7$ 时,$\sqrt[3]{a+1} = \sqrt[3]{7+1} = \sqrt[3]{8} = 2$;当 $a=8$ 时,$\sqrt[3]{a+1} = \sqrt[3]{8+1} = \sqrt[3]{9}$,$\therefore \sqrt[3]{a+1}$ 的值为 2 或 $\sqrt[3]{9}$.
(3) $\because \sqrt{x-3}+|2\ 026+(y-4)^2| = 2\ 026$,$\therefore \sqrt{x-3}+2\ 026+(y-4)^2 = 2\ 026$,即 $\sqrt{x-3}+(y-4)^2 = 0$,$\therefore x=3$,$y=4$,$\therefore \sqrt{xy} = \sqrt{12}$. $\because 3^2 ＜ 12 ＜ 4^2$,$\therefore \sqrt{xy}$ 的"青一区间"为 $(3,4)$.
(2) $\because$ 无理数 $\sqrt{a}$ 的"青一区间"为 $(2,3)$,$\therefore 2 ＜ \sqrt{a} ＜ 3$,$\therefore 2^2 ＜ a ＜ 3^2$,即 $4 ＜ a ＜ 9$. $\because$ 无理数 $\sqrt{a+3}$ 的"青一区间"为 $(3,4)$,$\therefore 3 ＜ \sqrt{a+3} ＜ 4$,$\therefore 3^2 ＜ a+3 ＜ 4^2$,即 $9 ＜ a+3 ＜ 16$,$\therefore 6 ＜ a ＜ 13$,$\therefore 6 ＜ a ＜ 9$. $\because a$ 为正整数,$\therefore a=7$ 或 $a=8$. 当 $a=7$ 时,$\sqrt[3]{a+1} = \sqrt[3]{7+1} = \sqrt[3]{8} = 2$;当 $a=8$ 时,$\sqrt[3]{a+1} = \sqrt[3]{8+1} = \sqrt[3]{9}$,$\therefore \sqrt[3]{a+1}$ 的值为 2 或 $\sqrt[3]{9}$.
(3) $\because \sqrt{x-3}+|2\ 026+(y-4)^2| = 2\ 026$,$\therefore \sqrt{x-3}+2\ 026+(y-4)^2 = 2\ 026$,即 $\sqrt{x-3}+(y-4)^2 = 0$,$\therefore x=3$,$y=4$,$\therefore \sqrt{xy} = \sqrt{12}$. $\because 3^2 ＜ 12 ＜ 4^2$,$\therefore \sqrt{xy}$ 的"青一区间"为 $(3,4)$.
