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三、解答题(共52分)
17. (5分)把下列各数填入相应的括号内：
$100,-0.82,-30\dfrac{1}{2},3.14,-2,0,-2\ 011,$
$-3.1\dot{5},\dfrac{3}{7},-\dfrac{π}{4},2.010\ 010\ 001···($每相邻两个
1之间依次多1个0).
正分数:{ };
整数:{ };
无理数:{ }.
17. (5分)把下列各数填入相应的括号内：
$100,-0.82,-30\dfrac{1}{2},3.14,-2,0,-2\ 011,$
$-3.1\dot{5},\dfrac{3}{7},-\dfrac{π}{4},2.010\ 010\ 001···($每相邻两个
1之间依次多1个0).
正分数:{ };
整数:{ };
无理数:{ }.
答案
17. 正分数: $\{3.14,\dfrac{3}{7}\}$;
整数: $\{100,-2,0,-2\ 011\}$;
无理数: $\{-\dfrac{π}{4},2.010\ 010\ 001···(\mathrm{每相邻两个 1 之间依次多 1 个 0})\}$.
整数: $\{100,-2,0,-2\ 011\}$;
无理数: $\{-\dfrac{π}{4},2.010\ 010\ 001···(\mathrm{每相邻两个 1 之间依次多 1 个 0})\}$.
18. (6分)求下列各式中x的值.
(1)$16x^{2}=81$;
(2)$(x-2)^{2}-25=0$;
(3)$(1+2x)^{3}-\dfrac{61}{64}=1.$
(1)$16x^{2}=81$;
(2)$(x-2)^{2}-25=0$;
(3)$(1+2x)^{3}-\dfrac{61}{64}=1.$
答案
18. (1) $16x^2 = 81$,$x^2 = \dfrac{81}{16}$,解得 $x = \pm \dfrac{9}{4}$.
(2) $(x-2)^2-25 = 0$,$(x-2)^2 = 25$,$x-2 = \pm 5$,解得 $x=7$ 或 $x=-3$.
(3) $(1+2x)^3-\dfrac{61}{64} = 1$,$(1+2x)^3 = \dfrac{125}{64}$,$1+2x = \dfrac{5}{4}$,解得 $x = \dfrac{1}{8}$.
(2) $(x-2)^2-25 = 0$,$(x-2)^2 = 25$,$x-2 = \pm 5$,解得 $x=7$ 或 $x=-3$.
(3) $(1+2x)^3-\dfrac{61}{64} = 1$,$(1+2x)^3 = \dfrac{125}{64}$,$1+2x = \dfrac{5}{4}$,解得 $x = \dfrac{1}{8}$.
19. (6分)计算：
(1) $\sqrt{36}-\sqrt{3}-|\sqrt{3}-2|+\sqrt[3]{64}$；
(2) $\sqrt{(-4)^2}+\sqrt{2\dfrac{1}{4}}+\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}}-\sqrt{3^2+4^2}.$
(1) $\sqrt{36}-\sqrt{3}-|\sqrt{3}-2|+\sqrt[3]{64}$；
(2) $\sqrt{(-4)^2}+\sqrt{2\dfrac{1}{4}}+\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}}-\sqrt{3^2+4^2}.$
答案
19. (1) 原式 $= 6-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+4 = 8$.
(2) 原式 $= 4+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}-5 = 2$.
(2) 原式 $= 4+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}-5 = 2$.
20.(6分)(2026·深圳期中)已知一个正数的两个不同的平方根分别是$2a-3$与$5-a$,$2b+4$的立方根是$-2$.
(1)求$a,b$的值;
(2)求$2a-b$的平方根.
(1)求$a,b$的值;
(2)求$2a-b$的平方根.
答案
20. (1) 根据题意得,$2a-3+5-a = 0$,解得 $a=-2$. $\because 2b+4$ 的立方根是 $-2$,$\therefore 2b+4 = -8$,解得 $b=-6$.
(2) 由(1)知,$a=-2$,$b=-6$,$\therefore 2a-b = 2 × (-2)-(-6) = 2$. $\because 2$ 的平方根是 $\pm \sqrt{2}$,$\therefore 2a-b$ 的平方根是 $\pm \sqrt{2}$.
(2) 由(1)知,$a=-2$,$b=-6$,$\therefore 2a-b = 2 × (-2)-(-6) = 2$. $\because 2$ 的平方根是 $\pm \sqrt{2}$,$\therefore 2a-b$ 的平方根是 $\pm \sqrt{2}$.
21. (8分)(2025·安庆校级月考)【阅读理解】
在数学学习中,我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题,并把由格点(小正方形的顶点)组成的正方形称为格点正方形.图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格,容易发现格点正方形$ABCD$的面积为2,则这个格点正方形的边长为$\sqrt{2}$.
【问题解决】
(1)图②是由9个小正方形网格组成的图形,那么格点正方形$EFGH$的边$EH=$
(2)在由16个小正方形网格组成的图③中,画出边长为$\sqrt{8}$的格点正方形.
在数学学习中,我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题,并把由格点(小正方形的顶点)组成的正方形称为格点正方形.图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格,容易发现格点正方形$ABCD$的面积为2,则这个格点正方形的边长为$\sqrt{2}$.
【问题解决】
(1)图②是由9个小正方形网格组成的图形,那么格点正方形$EFGH$的边$EH=$
$\sqrt{5}$
.(2)在由16个小正方形网格组成的图③中,画出边长为$\sqrt{8}$的格点正方形.
答案
21. (1) $\sqrt{5}$ 解析: 正方形 EFGH 的面积为 $9-4 × \dfrac{1}{2} × 1 × 2 = 5$,$\therefore EH = \sqrt{5}$.
(2) 如图所示,格点正方形 MKJI 即为所求.
解析: $\because$ 画边长为 $\sqrt{8}$ 的格点正方形,$\therefore S_{\mathrm{正方形}MKJI} = 8$,$\therefore$ 剩下 4 个三角形的面积和为 $4S_{\mathrm{三角形}AMI} = 16-8 = 8$,$\therefore S_{\mathrm{三角形}AMI} = 2$,$\therefore$ 三角形的两直角边长为 2,故图形如图所示.
