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11. (1)(安顺中考改编)如图①,在长方形纸片$ABCD$中,$AD=4\ \mathrm{cm}$,把纸片沿直线$AC$折叠,点$B$落在点$E$处,$AE$交$DC$于点$O$,若$AO=$$5\ \mathrm{cm}$,则$AB$的长为
(2)(2026·上海校级月考)如图②,在三角形纸片$ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=2,BC=$$\sqrt{13}$,沿过点$A$的直线将纸片折叠,使点$B$落在边$BC$上的点$D$处;再折叠纸片,使点$C$与点$D$重合,若第二次的折痕与$AC$的交点为$E$,则$AE$的长是
8 cm
.(2)(2026·上海校级月考)如图②,在三角形纸片$ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=2,BC=$$\sqrt{13}$,沿过点$A$的直线将纸片折叠,使点$B$落在边$BC$上的点$D$处;再折叠纸片,使点$C$与点$D$重合,若第二次的折痕与$AC$的交点为$E$,则$AE$的长是
$\dfrac{13}{6}$
.答案
11. (1)8 cm 解析:根据折叠前后对应角相等可知 $∠ BAC=∠ EAC.\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形, $\therefore AB// CD,\therefore ∠ BAC=∠ ACD,\therefore ∠ EAC=∠ ACD,\therefore AO=CO=5\ \mathrm{cm}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADO$ 中, $DO^{2}=AO^{2}-AD^{2},\therefore DO=3\ \mathrm{cm},\therefore AB=CD=DO+CO=3+5=8(\mathrm{cm}).$
(2)$\dfrac{13}{6}$ 解析:由折叠的性质得 $AB=AD=2,ED=EC,∠ ADB=∠ B,∠ EDC=∠ C,\because ∠ BAC=90°,∠ B+∠ C=90°,\therefore ∠ ADB+∠ EDC=90°,\therefore ∠ ADE=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, 由勾股定理得 $AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{(\sqrt{13})^{2}-2^{2}}=3.$ 设 $AE=x$, 则 $CE=ED=3-x$, 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, 由勾股定理得 $AD^{2}+ED^{2}=AE^{2}$, 即 $2^{2}+(3-x)^{2}=x^{2}$, 解得 $x=\dfrac{13}{6}.$
(2)$\dfrac{13}{6}$ 解析:由折叠的性质得 $AB=AD=2,ED=EC,∠ ADB=∠ B,∠ EDC=∠ C,\because ∠ BAC=90°,∠ B+∠ C=90°,\therefore ∠ ADB+∠ EDC=90°,\therefore ∠ ADE=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, 由勾股定理得 $AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{(\sqrt{13})^{2}-2^{2}}=3.$ 设 $AE=x$, 则 $CE=ED=3-x$, 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, 由勾股定理得 $AD^{2}+ED^{2}=AE^{2}$, 即 $2^{2}+(3-x)^{2}=x^{2}$, 解得 $x=\dfrac{13}{6}.$
12. 如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$AD$是$BC$边上的高,将$△ ADC$沿$AD$所在的直线翻折,使点$C$落在$BC$边上的点$E$处.
(1)若$AB=20$,$AC=13$,$CD=5$,求$△ ABC$的面积；
(2)求证:$AB^{2}-AC^{2}=BE· BC$.
(1)若$AB=20$,$AC=13$,$CD=5$,求$△ ABC$的面积；
(2)求证:$AB^{2}-AC^{2}=BE· BC$.
答案
12. (1) $\because AD$ 是 $BC$ 边上的高, $\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\because AC=13,CD=5,\therefore AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=12^{2},\therefore AD=12.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中, $\because AB=20,AD=12,\therefore BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=16^{2},\therefore BD=16,\therefore BC=BD+CD=16+5=21,\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}×21×12=126.$
(2) $\because △ ADC$ 沿 $AD$ 所在的直线翻折得到 $△ ADE,\therefore AC=AE,DC=DE.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, 由勾股定理, 得 $AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$, 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中, 由勾股定理, 得 $BD^{2}=AB^{2}-AD^{2},\therefore AB^{2}-AC^{2}=AB^{2}-(AD^{2}+DC^{2})=AB^{2}-AD^{2}-DC^{2}=BD^{2}-DE^{2}=(BD-DE)(BD+DE).\because BE=BD-DE,BC=BD+DC=BD+DE,\therefore AB^{2}-AC^{2}=BE· BC.$
(2) $\because △ ADC$ 沿 $AD$ 所在的直线翻折得到 $△ ADE,\therefore AC=AE,DC=DE.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, 由勾股定理, 得 $AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}$, 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中, 由勾股定理, 得 $BD^{2}=AB^{2}-AD^{2},\therefore AB^{2}-AC^{2}=AB^{2}-(AD^{2}+DC^{2})=AB^{2}-AD^{2}-DC^{2}=BD^{2}-DE^{2}=(BD-DE)(BD+DE).\because BE=BD-DE,BC=BD+DC=BD+DE,\therefore AB^{2}-AC^{2}=BE· BC.$
13. 新趋势 项目式学习 【项目主题】探究斜三角形的三边数量关系.
【项目任务】任务一:(1)如图①,在钝角三角形 $ABC$ 中,$∠ ACB$ 是钝角,$∠ CAB$,$∠ CBA$,$∠ ACB$ 的对边分别为 $a,b,c$,过点 $C$ 作 $CB$ 的垂线并截取 $CD=CA$,连接 $BD,AD$,通过构造 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 得到 $a^{2}+b^{2}=BD^{2}$,从而将问题转化为比较图中线段 $AB$ 和 $BD$ 的大小,体现转化的数学思想,再从角的大小关系不难得出 $∠ ADB＞∠ DAB$,最后可得到结论 $a^{2}+$ $b^{2}\_\_\_\_\_\_c^{2}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
任务二:(2)如图②,$△ ABC$ 是锐角三角形,且$∠ A$ 是最大角,$∠ A,∠ B,∠ C$ 的对边分别是 $a,b,c$,猜想 $b^{2}+c^{2}\_\_\_\_\_\_a^{2}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”),并说明理由.
任务三:(3)①三边长分别为 $4,5,7$ 的三角形是
②已知锐角三角形的两边长分别为 $3$ 和 $5$,则第三条边长 $m$ 的取值范围是
【项目任务】任务一:(1)如图①,在钝角三角形 $ABC$ 中,$∠ ACB$ 是钝角,$∠ CAB$,$∠ CBA$,$∠ ACB$ 的对边分别为 $a,b,c$,过点 $C$ 作 $CB$ 的垂线并截取 $CD=CA$,连接 $BD,AD$,通过构造 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 得到 $a^{2}+b^{2}=BD^{2}$,从而将问题转化为比较图中线段 $AB$ 和 $BD$ 的大小,体现转化的数学思想,再从角的大小关系不难得出 $∠ ADB＞∠ DAB$,最后可得到结论 $a^{2}+$ $b^{2}\_\_\_\_\_\_c^{2}$.(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
任务二:(2)如图②,$△ ABC$ 是锐角三角形,且$∠ A$ 是最大角,$∠ A,∠ B,∠ C$ 的对边分别是 $a,b,c$,猜想 $b^{2}+c^{2}\_\_\_\_\_\_a^{2}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”),并说明理由.
任务三:(3)①三边长分别为 $4,5,7$ 的三角形是
钝角三角形
.(填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”)②已知锐角三角形的两边长分别为 $3$ 和 $5$,则第三条边长 $m$ 的取值范围是
$4＜m＜\sqrt{34}$
.(请直接写出结果)答案
13. (1) ＜ 解析: $\because AC=CD,\therefore ∠ ADC=∠ CAD,\therefore ∠ ADC＞∠ DAB.\because ∠ ADB＞∠ ADC,\therefore ∠ ADB＞∠ DAB,\therefore AB＞BD,\therefore c^{2}＞BD^{2}.\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $a^{2}+b^{2}=BD^{2},\therefore a^{2}+b^{2}＜c^{2}.$
(2)＞ 理由:过点 $A$ 作 $AC$ 的垂线并截取 $AM=AB=c$, 连接 $BM,CM$, 如图, 在$\mathrm{Rt}△ MAC$中, $∠ MAC=90°,$ 则 $AM^{2}+AC^{2}=MC^{2},\because AM=AB,$
$\therefore ∠ AMB=∠ ABM＞∠ BMC.\because ∠ MBC＞∠ ABM,\therefore ∠ MBC＞∠ BMC,\therefore$ 在 $△ MBC$ 中, $MC＞BC$, 即 $MC^{2}＞BC^{2}$, 即 $b^{2}+c^{2}＞a^{2}.$
(3)①钝角三角形 解析: $\because \sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}＜\sqrt{7^{2}}=\sqrt{49},\therefore$ 为钝角三角形.
②$4＜m＜\sqrt{34}$ 解析:当锐角三角形的两短边长分别为 3和 5 时,第三条边长 $m$ 小于 $\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$; 当锐角三角形的短边长为 3, 长边长为 5 时, 第三条边长大于 $\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$, 则第三条边长 $m$ 的取值范围是 $4＜m＜\sqrt{34}.$
