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21. (8分)学习《实数》之后,在数学活动课上,王老师出示了一组有规律的算式. 仔细观察下列算式,并探求规律:
$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2},\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3},\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4},\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5},···$
(1)按照此规律,①计算:$\sqrt{1-\frac{17}{81}}=$
②第$n$个式子是
(2)计算:$\sqrt{1-\frac{3}{4}}×\sqrt{1-\frac{5}{9}}×\sqrt{1-\frac{7}{16}}×\sqrt{1-\frac{9}{25}}×···×\sqrt{1-\frac{31}{256}}$;
(3)若$\sqrt{1-\frac{4049}{n^2}}=x$符合上述规律,请求$x$的值.
$\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2},\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3},\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac{3}{4},\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5},···$
(1)按照此规律,①计算:$\sqrt{1-\frac{17}{81}}=$
$\frac{8}{9}$
;②第$n$个式子是
$\sqrt{1 - \frac{2n + 1}{(n + 1)^2}} = \frac{n}{n + 1}$
(用含$n$的式子表示,$n≥ 1$且为整数);(2)计算:$\sqrt{1-\frac{3}{4}}×\sqrt{1-\frac{5}{9}}×\sqrt{1-\frac{7}{16}}×\sqrt{1-\frac{9}{25}}×···×\sqrt{1-\frac{31}{256}}$;
(3)若$\sqrt{1-\frac{4049}{n^2}}=x$符合上述规律,请求$x$的值.
答案
21.【点拨】本题考查算术平方根及数字的变化规律,理解题意,找出数字的变化规律是解题的关键.
【解析】(1)①$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 1 + 1}{(1 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{1^2}{(1 + 1)^2}} = \frac{1}{1 + 1}$,
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 2 + 1}{(2 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{2^2}{(2 + 1)^2}} = \frac{2}{2 + 1}$,
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 3 + 1}{(3 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{3^2}{(3 + 1)^2}} = \frac{3}{3 + 1}$,
$\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 4 + 1}{(4 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{4^2}{(4 + 1)^2}} = \frac{4}{4 + 1}$,
…,依此规律,$\sqrt{1 - \frac{17}{81}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 8 + 1}{(8 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{8^2}{(8 + 1)^2}} = \frac{8}{8 + 1} = \frac{8}{9}$.
故答案为$\frac{8}{9}$.
②第n个式子是$\sqrt{1 - \frac{2n + 1}{(n + 1)^2}} = \sqrt{\frac{n^2}{(n + 1)^2}} = \frac{n}{n + 1}$.
故答案为$\sqrt{1 - \frac{2n + 1}{(n + 1)^2}} = \frac{n}{n + 1}$.
(2)$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} × \sqrt{1 - \frac{5}{9}} × \sqrt{1 - \frac{7}{16}} × \sqrt{1 - \frac{9}{25}} × … × \sqrt{1 - \frac{31}{256}} = \frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \frac{4}{5} × … × \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
(3)$\sqrt{1 - \frac{4049}{n^2}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 2024 + 1}{n^2}} = \frac{2024}{2025}$.
∵ $\sqrt{1 - \frac{4049}{n^2}} = x$,
∴ $x = \frac{2024}{2025}$.
【解析】(1)①$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 1 + 1}{(1 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{1^2}{(1 + 1)^2}} = \frac{1}{1 + 1}$,
$\sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 2 + 1}{(2 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{2^2}{(2 + 1)^2}} = \frac{2}{2 + 1}$,
$\sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 3 + 1}{(3 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{3^2}{(3 + 1)^2}} = \frac{3}{3 + 1}$,
$\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 4 + 1}{(4 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{4^2}{(4 + 1)^2}} = \frac{4}{4 + 1}$,
…,依此规律,$\sqrt{1 - \frac{17}{81}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 8 + 1}{(8 + 1)^2}} = \sqrt{\frac{8^2}{(8 + 1)^2}} = \frac{8}{8 + 1} = \frac{8}{9}$.
故答案为$\frac{8}{9}$.
②第n个式子是$\sqrt{1 - \frac{2n + 1}{(n + 1)^2}} = \sqrt{\frac{n^2}{(n + 1)^2}} = \frac{n}{n + 1}$.
故答案为$\sqrt{1 - \frac{2n + 1}{(n + 1)^2}} = \frac{n}{n + 1}$.
(2)$\sqrt{1 - \frac{3}{4}} × \sqrt{1 - \frac{5}{9}} × \sqrt{1 - \frac{7}{16}} × \sqrt{1 - \frac{9}{25}} × … × \sqrt{1 - \frac{31}{256}} = \frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \frac{4}{5} × … × \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$.
(3)$\sqrt{1 - \frac{4049}{n^2}} = \sqrt{1 - \frac{2 × 2024 + 1}{n^2}} = \frac{2024}{2025}$.
∵ $\sqrt{1 - \frac{4049}{n^2}} = x$,
∴ $x = \frac{2024}{2025}$.
22. (10 分)某班去革命老区研学旅行,研学基地有甲、乙两种快餐可供选择,买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元,买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.
(1)买1份甲种快餐和1份乙种快餐各需多少元?
(2)已知该班共买55份甲、乙两种快餐,所花快餐费不超过1 280元,则至少买乙种快餐多少份?
(1)买1份甲种快餐和1份乙种快餐各需多少元?
(2)已知该班共买55份甲、乙两种快餐,所花快餐费不超过1 280元,则至少买乙种快餐多少份?
答案
22.【点拨】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用,根据各数量之间的关系,正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键.
【解析】(1)设购买1份甲种快餐需要x元,购买1份乙种快餐需要y元,
由题意得$\begin{cases} x + 2y = 70, \\ 2x + 3y = 120, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 30, \\ y = 20. \end{cases}$
答:购买1份甲种快餐需要30元,购买1份乙种快餐需要20元.
(2)设购买乙种快餐m份,则购买甲种快餐(55 - m)份,
由题意得30(55 - m) + 20m ≤ 1 280,解得m ≥ 37,
∴ m的最小值为37.
答:至少买乙种快餐37份.
【解析】(1)设购买1份甲种快餐需要x元,购买1份乙种快餐需要y元,
由题意得$\begin{cases} x + 2y = 70, \\ 2x + 3y = 120, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 30, \\ y = 20. \end{cases}$
答:购买1份甲种快餐需要30元,购买1份乙种快餐需要20元.
(2)设购买乙种快餐m份,则购买甲种快餐(55 - m)份,
由题意得30(55 - m) + 20m ≤ 1 280,解得m ≥ 37,
∴ m的最小值为37.
答:至少买乙种快餐37份.
23. (11分)物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线,入射光线与法线的夹角i叫做入射角,反射光线与法线的夹角r叫做反射角(如图1).在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线的两侧;入射角等于反射角,这就是光的反射定律.
(1)如图2,潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的,已知入射光线与平面镜MN的夹角∠1 = 50°,那么入射光线经过两次反射后,两条反射光线形成的夹角∠2 =
(2)如图3,当两个平面镜OM,ON的夹角∠MON是多少度时,可以使任何射到平面镜ON上的入射光线AB,经过平面镜ON,OM两次反射后,得到AB//CD.请说明理由;
(3)人们发现了一种曲面的反射光罩,使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出,在如图4所示的截面内,已知入射光线OA的反射光线为AB,∠OAB = 78°.若一入射光线OD(点D是入射光线与反射光罩的交点)经反射光罩后沿DE射出,且∠ODE = 36°,请求出∠AOD的度数.
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(1)如图2,潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的,已知入射光线与平面镜MN的夹角∠1 = 50°,那么入射光线经过两次反射后,两条反射光线形成的夹角∠2 =
80°
;(2)如图3,当两个平面镜OM,ON的夹角∠MON是多少度时,可以使任何射到平面镜ON上的入射光线AB,经过平面镜ON,OM两次反射后,得到AB//CD.请说明理由;
(3)人们发现了一种曲面的反射光罩,使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出,在如图4所示的截面内,已知入射光线OA的反射光线为AB,∠OAB = 78°.若一入射光线OD(点D是入射光线与反射光罩的交点)经反射光罩后沿DE射出,且∠ODE = 36°,请求出∠AOD的度数.
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答案
23.【点拨】本题考查平行线的性质和判定,掌握平行线的判定与性质及分类讨论是解题的关键.
【解析】(1)由光的反射定律知∠1 = ∠CBN,∠PCB = ∠DCE.
∵ MN // PE,
∴ ∠CBN = ∠PCB,
∴ ∠PCB = ∠DCE = ∠1 = 50°,
∴ ∠2 = 180° - ∠PCB - ∠DCE = 80°.
故答案为80°.
(2)当∠MON = 90°时,可以使任何射到平面镜ON上的入射光线AB,经过平面镜ON,OM两次反射后,得到AB // CD,理由如下:
设∠1 = ∠2 = α,∠MON = β,
∴ ∠4 = ∠3 = 180° - ∠2 - ∠MON = 180° - α - β,
∠ABC = 180° - ∠1 - ∠2 = 180° - 2α,
∠BCD = 180° - ∠3 - ∠4 = 180° - 2(180° - α - β) = 2α + 2β - 180°.
∵ AB // CD,
∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°,
即180° - 2α + 2α + 2β - 180° = 180°,
解得β = 90°,
∴ ∠MON = 90°.
(3)如图1所示,当点D在点C下方时,
∵ DE // CF // AB,
∴ ∠OGE = ∠OAB = 78°.
∵ ∠ODE = 36°,
∴ ∠AOD = 180° - ∠ODE - ∠OGD = ∠OGE - ∠ODE = 42°;
如图2所示,当点D在点C上方时,
∵ DE // CF // AB,
∴ ∠DOC = ∠ODE = 36°,∠COA = ∠OAB = 78°,
∴ ∠AOD = ∠DOC + ∠COA = 114°.
综上所述,∠AOD的度数为42°或114°.
