24. (12 分)解决下列与平面直角坐标系有关的知识:
(1)已知点 $ P(2a - 2,a + 5) $,解答下列问题:
①若点 $ Q $ 的坐标为 $ (4,5) $,直线 $ PQ // y $ 轴,直接写出点 $ P $ 的坐标;
②若点 $ P $ 在第二象限,且它到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等,求 $ a^{2025} + \sqrt[3]{a} $ 的值;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,四边形 $ OABC $ 各顶点的坐标分别是 $ O(0,0),A(-4,10) $,$ B(-12,8),C(-14,0) $,求四边形 $ OABC $ 的面积;
(3)在(2)的条件下,若 $ M(0,m)(m ＜ 56) $ 是 $ y $ 轴上一点,且 $ △ BCM $ 的面积不小于四边形 $ OABC $ 面积的一半,求 $ m $ 的取值范围.

24.【点拨】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征,代数式求值,一元一次方程的应用,用割补法求面积及一元一次不等式的应用,正确添加辅助线是解题的关键.
【解析】(1)①
∵ 直线PQ // y轴,P(2a - 2,a + 5),Q(4,5),
∴ 2a - 2 = 4,解得a = 3,
∴ a + 5 = 8,
∴ P(4,8).故答案为(4,8).
②
∵ 点P在第二象限,且它到x轴、y轴的距离相等,
∴ -(2a - 2) = a + 5,解得a = -1,
∴ $a^{2025} + \sqrt[3]{a} = (-1)^{2025} + \sqrt[3]{-1} = -1 - 1 = -2$.
(2)如图1,过点A作AE ⊥ x轴于点E,过点B作BD ⊥ x轴于点D,

∵ A(-4,10),B(-12,8),C(-14,0),
∴ OE = 4,OD = 12,OC = 14,AE = 10,BD = 8,
∴ CD = OC - OD = 2,DE = OD - OE = 8,
则$S_{四边形OABC} = S_{△ BCD} + S_{梯形ABDE} + S_{△ OAE} = \frac{1}{2} × 2 × 8 + \frac{1}{2} × (8 + 10) × 8 + \frac{1}{2} × 4 × 10 = 8 + 72 + 20 = 100$.
(3)由(2)知,$S_{四边形OABC} = 100$,
连接OB,则$S_{△ BCO} = \frac{1}{2} × 14 × 8 = 56$,
①当m = 0时,点M与点O重合,$S_{△ BCM} = S_{△ BCO} ＞ \frac{1}{2}S_{四边形OABC}$,符合题意;
②如图2,当0 ＜ m ＜ 56时,OM = m,

则$S_{△ BCM} = S_{△ BCO} + S_{△ BOM} - S_{△ COM} = 56 + \frac{1}{2} × 12m - \frac{1}{2} × 14m = 56 - m$.
∵ $S_{△ BCM} ≥ \frac{1}{2}S_{四边形OABC}$,
∴ 56 - m ≥ $\frac{1}{2}$ × 100,解得m ≤ 6,
∴ 0 ＜ m ≤ 6;
③如图3,当m ＜ 0时,OM = -m,

则$S_{△ BCM} = S_{△ BCO} + S_{△ COM} - S_{△ BOM} = 56 + \frac{1}{2} × 14 × (-m) - \frac{1}{2} × 12 × (-m) = 56 - m$.
∵ $S_{△ BCM} ≥ \frac{1}{2}S_{四边形OABC}$,
∴ 56 - m ≥ $\frac{1}{2}$ × 100,解得m ≤ 6,
∴ m ＜ 0.
综上所述,m的取值范围为m ≤ 6.