24. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,点$A(a,0),B(0,b),C(0,c)$,且$a,b,c$满足$(a+8)^2 + |b-10| + \sqrt{2c+4}=0$.
(1)直接写出点$A,B,C$的坐标;
(2)如图1,已知点$M(x,y)$是线段$AB$上一点;
①求$x,y$之间的关系;
②若点$N$的坐标是$(-x,y)$,连接$AN,CN$,且$S_{△ ACN}=28$,求点$M$的坐标;
(3)如图2,过点$C$作直线$l// AB$,已知$P(m,n)$是$l$上的一点,且$0 ＜ S_{△ BCP}≤ \frac{48}{5}$,直接写出$n$的取值范围.
备用图

24. 【点拨】本题考查坐标与图形,非负数的性质,掌握坐标与图形的相关性质是关键.
【解析】(1)$\because (a+8)^2+|b-10|+\sqrt{2c+4}=0$,$\therefore a+8=0$,$b-10=0$,$2c+4=0$,$\therefore a=-8$,$b=10$,$c=-2$,
$\therefore A(-8,0)$,$B(0,10)$,$C(0,-2)$.
(2) ①如图 1,连接$DM$,由$S_{△ AOB}=S_{△ AOM}+S_{△ BOM}$,得$\frac{1}{2}×8y+\frac{1}{2}×10×(-x)=\frac{1}{2}×10×8$,$\therefore 4y-5x=40$;

②如图 1,连接$ON$,由$S_{△ ACN}=S_{△ CON}+S_{△ AOC}+S_{△ AOM}$,得$\frac{1}{2}×2×(-x)+\frac{1}{2}×8×2+\frac{1}{2}×8× xy=28$,化简得$4y-x=20$,联立方程组得$\begin{cases} 4y-5x=40, \\ 4y-x=20, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-5, \\ y=\frac{15}{4}, \end{cases}$$\therefore M(-5,\frac{15}{4})$.
(3)$-4\le n\le0$且$n≠-2$.
理由如下:
$\because B(0,10)$,$C(0,-2)$.$\therefore BC=12$,$\therefore S_{△ BCP}=\frac{1}{2}× BC×|m|=\frac{1}{2}×12×|m|\le\frac{48}{5}$,解得$|m|\le\frac{8}{5}$,$\therefore -\frac{8}{5}\le m\le\frac{8}{5}$. 当$n\ge0$时,如图 2,连接$AP$,$BP$,$OP$,若$m=\frac{8}{5}$,由$S_{△ BCP}=S_{△ ACP}=S_{△ ACO}+S_{△ AOP}+S_{△ COP}$得,$\frac{1}{2}×8×2+\frac{1}{2}×8× n+\frac{1}{2}×2×\frac{8}{5}=\frac{48}{5}$,解得$n=0$,$\therefore$ 点$P$在$x$轴上,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(\frac{8}{5},0)$. 当$n＜0$时,如图 3,连接$AP$,$BP$,过点$P$作$PH⊥ x$轴于点$H$,若$m=-\frac{8}{5}$,由$S_{△ BCP}=S_{△ ACP}=S_{△ APH}+S_{\mathrm{四边形}OCPH}-S_{△ ACO}$,得$\frac{1}{2}×(-\frac{8}{5}+8)×(-n)+\frac{1}{2}×[2+(-n)]×\frac{8}{5}-\frac{1}{2}×2×8=\frac{48}{5}$,解得$n=-4$,$\because 0＜S_{△ BCP}\le\frac{48}{5}$,当$n=-2$时,点$P$,$C$重合,不符合题意,$\therefore n$的取值范围为$-4\le n\le0$且$n≠-2$.