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21. (8分)如图,三角形ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-4,-1),C(2,0),将三角形ABC平移,得到三角形A₁B₁C₁,三角形ABC中任意一点P(x₀,y₀)平移后的对应点为P₁(x₀+5,y₀+3).
(1)画出平移后的三角形A₁B₁C₁;
(2)三角形ABC平移到三角形A₁B₁C₁的过程中,线段AC扫过的面积是
(3)仅用无刻度直尺在线段A₁C₁上画点M,使得∠C₁MC = ∠A(保留画图痕迹);
(4)若AC = 5,N为直线A₁C₁上一动点,写出CN的最小值是
(1)画出平移后的三角形A₁B₁C₁;
(2)三角形ABC平移到三角形A₁B₁C₁的过程中,线段AC扫过的面积是
27
;(3)仅用无刻度直尺在线段A₁C₁上画点M,使得∠C₁MC = ∠A(保留画图痕迹);
(4)若AC = 5,N为直线A₁C₁上一动点,写出CN的最小值是
$\frac{27}{5}$
.答案
21. 【点拨】本题考查作图——平移变换,垂线段最短,掌握作图方法是解题的关键.
【解析】(1)如图,三角形$A_1B_1C_1$即为所求.
(2)线段$AC$扫过的面积为$S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C}=\frac{1}{2}×9×3+\frac{1}{2}×9×3=27$. 故答案为 27.
(3)如图,过点$C$作$A_1B_1$的平行线交$A_1C_1$于点$M$,$\therefore ∠CMC_1=∠B_1A_1C_1$,由平移得,$∠B_1A_1C_1=∠BAC$,$\therefore ∠C_1MC=∠BAC$,$\therefore$ 点$M$即为所求.
(4)连接$A_1C$,由平移可知,$A_1C_1=AC=5$. 由题意得,当$CN⊥ A_1C_1$时,$CN$取得最小值,$\therefore S_{\mathrm{三角形}A_1C_1C}=\frac{1}{2}A_1C_1· CN=\frac{1}{2}×5× CN=\frac{1}{2}×(4+5)×6-\frac{1}{2}×5×3-\frac{1}{2}×4×3$,$\therefore CN=\frac{27}{5}$,即$CN$的最小值为$\frac{27}{5}$. 故答案为$\frac{27}{5}$.
22. (10 分)新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具.现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售.据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计40万元;若单次购买A型汽车超过15辆,每辆车进价打九五折;若单次购买B型汽车超过15辆,每辆汽车进价优惠0.5万元.当购买A型和B型汽车各20辆时,共需775万元.
(1)求该汽车销售公司单独购进A,B型号汽车各一辆时,进价分别为多少万元?
(2)因资金紧张,该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆,每辆A型汽车在进价的基础上提高5 000元销售,每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售.假如这些新能源汽车全部售出,至少要获利11万元,该公司有几种购进方案?
(3)为打开B型汽车的销路,该公司决定每辆B型汽车降价a万元,A型汽车的售价不变,要使(2)中所有方案获利相同,则a的值为
(1)求该汽车销售公司单独购进A,B型号汽车各一辆时,进价分别为多少万元?
(2)因资金紧张,该公司计划以不超过285万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆,每辆A型汽车在进价的基础上提高5 000元销售,每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售.假如这些新能源汽车全部售出,至少要获利11万元,该公司有几种购进方案?
(3)为打开B型汽车的销路,该公司决定每辆B型汽车降价a万元,A型汽车的售价不变,要使(2)中所有方案获利相同,则a的值为
1
.答案
22. 【点拨】本题考查一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是找准等量关系,正确列出一元一次不等式组.
【解析】(1)设该汽车销售公司单独购进 1 辆 A 型汽车的进价是$x$万元,则单独购进 1 辆 B 型汽车的进价是$(40-x)$万元. 根据题意得,$20×0.95x+20(40-x-0.5)=775$,解得$x=15$,$\therefore 40-x=40-15=25$(万元).
答:该汽车销售公司单独购进 1 辆 A 型汽车的进价是 15 万元,1 辆 B 型汽车的进价是 25 万元.
(2)设购进$m$辆 A 型汽车,则购进$(15-m)$辆 B 型汽车,根据题意得$\begin{cases} 15m+25(15-m)\le285, \\ 0.5m+25×6\%×(15-m)\ge11, \end{cases}$解得$9\le m\le11.5$.$\because m$为正整数,$\therefore m$可以为 9,10,11.
$\therefore$ 该公司共有 3 种购进方案,方案一:购进 9 辆 A 型汽车,6 辆 B 型汽车;方案二:购进 10 辆 A 型汽车,5 辆 B 型汽车;方案三:购进 11 辆 A 型汽车,4 辆 B 型汽车.
(3)根据题意得$\begin{cases} 0.5×9+(25×6\%-a)×6=0.5×10+(25×6\%-a)×5, \\ 0.5×9+(25×6\%-a)×6=0.5×11+(25×6\%-a)×4, \end{cases}$解得$a=1$. 故答案为 1.
【解析】(1)设该汽车销售公司单独购进 1 辆 A 型汽车的进价是$x$万元,则单独购进 1 辆 B 型汽车的进价是$(40-x)$万元. 根据题意得,$20×0.95x+20(40-x-0.5)=775$,解得$x=15$,$\therefore 40-x=40-15=25$(万元).
答:该汽车销售公司单独购进 1 辆 A 型汽车的进价是 15 万元,1 辆 B 型汽车的进价是 25 万元.
(2)设购进$m$辆 A 型汽车,则购进$(15-m)$辆 B 型汽车,根据题意得$\begin{cases} 15m+25(15-m)\le285, \\ 0.5m+25×6\%×(15-m)\ge11, \end{cases}$解得$9\le m\le11.5$.$\because m$为正整数,$\therefore m$可以为 9,10,11.
$\therefore$ 该公司共有 3 种购进方案,方案一:购进 9 辆 A 型汽车,6 辆 B 型汽车;方案二:购进 10 辆 A 型汽车,5 辆 B 型汽车;方案三:购进 11 辆 A 型汽车,4 辆 B 型汽车.
(3)根据题意得$\begin{cases} 0.5×9+(25×6\%-a)×6=0.5×10+(25×6\%-a)×5, \\ 0.5×9+(25×6\%-a)×6=0.5×11+(25×6\%-a)×4, \end{cases}$解得$a=1$. 故答案为 1.
23. (10分)已知,直线$AB// CD$,$G$为平面内一点,点$E,F$分别在直线$AB,CD$上,连接$EG,FG$.
(1)如图1,若点$G$在直线$AB,CD$之间,当$∠ BEG=110°$,$∠ DFG=150°$时,求$∠ EGF$的度数;
(2)如图2,若点$G$在直线$AB,CD$之间,$EP,FP$分别是$∠ AEG,∠ CFG$的平分线,$EQ,FQ$分别是$∠ BEG,∠ DFG$的平分线,猜想$∠ P$与$∠ G$的数量关系以及$∠ P$与$∠ Q$的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,若点$G$在直线$CD$的下方,$EP,FP$分别是$∠ AEG,∠ CFG$的平分线,$EQ$平分$∠ BEG$,$FH$平分$∠ DFG$,$FH$的反向延长线与直线$EQ$相交于点$Q$,当$2∠ P + 5∠ Q = 780°$时,直接写出$∠ P,∠ Q$的度数.
89·
(1)如图1,若点$G$在直线$AB,CD$之间,当$∠ BEG=110°$,$∠ DFG=150°$时,求$∠ EGF$的度数;
(2)如图2,若点$G$在直线$AB,CD$之间,$EP,FP$分别是$∠ AEG,∠ CFG$的平分线,$EQ,FQ$分别是$∠ BEG,∠ DFG$的平分线,猜想$∠ P$与$∠ G$的数量关系以及$∠ P$与$∠ Q$的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,若点$G$在直线$CD$的下方,$EP,FP$分别是$∠ AEG,∠ CFG$的平分线,$EQ$平分$∠ BEG$,$FH$平分$∠ DFG$,$FH$的反向延长线与直线$EQ$相交于点$Q$,当$2∠ P + 5∠ Q = 780°$时,直接写出$∠ P,∠ Q$的度数.
89·
答案
23. 【点拨】本题考查平行线的判定和性质,角平分线的意义,利用“拐点”作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)如题图 1,过点$G$作$GH// AB$,$\therefore ∠BEG+∠EGH=180^{\circ }$,$\therefore ∠EGH=180^{\circ }-∠BEG=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$.
$\because AB// CD$,$GH// AB$,$\therefore GH// CD$.$\therefore ∠DFG+∠FGH=180^{\circ }$,$\therefore ∠FGH=180^{\circ }-∠DFG=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }$,$\therefore ∠EGF=∠EGH+∠FGH=70^{\circ }+30^{\circ }=100^{\circ }$.
(2)$∠G=2∠P$,$∠P+∠Q=180^{\circ }$. 理由如下:
设$∠AEP=x$,$∠CFP=y$,$\because EP$,$FP$分别是$∠AEG$,$∠CFG$的平分线,$\therefore ∠GEP=∠AEP=x$,$∠GFP=∠CFP=y$,$\therefore ∠AEG=2x$,$∠CFG=2y$.
如题图 2,过点$G$作$GH// AB$.$\therefore ∠EGH=∠AEG=2x$.
$\because AB// CD$,$GH// AB$,$\therefore GH// CD$,$\therefore ∠FGH=∠CFG=2y$,$\therefore ∠EGF=∠EGH+∠FGH=∠AEG+∠CFG=2x+2y$. $\because EQ$,$FQ$分别是$∠BEG$,$∠DFG$的平分线,$\therefore ∠BEQ=\frac{1}{2}∠BEG=90^{\circ }-x$,$∠DFQ=\frac{1}{2}∠DFG=90^{\circ }-y$,如题图 2,过点$P$作$PM// AB$,过点$Q$向左作$QN// AB$,同理可得:$∠EPF=∠AEP+∠CFP=x+y$,$∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=90^{\circ }-x+90^{\circ }-y=180^{\circ }-(x+y)$,$\therefore ∠EGF=2∠EPF$,$∠EPF+∠EQF=180^{\circ }$,即题图 2 中$∠G=2∠P$,$∠P+∠Q=180^{\circ }$.
(3)$∠P=40^{\circ }$,$∠Q=140^{\circ }$.
理由如下:
设$∠1=x$,$∠3=y$,$\because EP$,$FP$分别是$∠AEG$,$∠CFG$的平分线,$\therefore ∠1=∠2=x$,$∠3=∠4=y$,$\therefore ∠BEG=180^{\circ }-2x$,$∠DFG=180^{\circ }-2y$.
$\because EQ$,$FH$分别是$∠BEG$,$∠DFG$的平分线,$\therefore ∠6=\frac{180^{\circ }-2x}{2}=90^{\circ }-x$,$∠7=\frac{180^{\circ }-2y}{2}=90^{\circ }-y$,$\therefore ∠QFC=∠7=90^{\circ }-y$,$∠QFD=180^{\circ }-∠7=180^{\circ }-(90^{\circ }-y)=90^{\circ }+y$,
如图,过点$P$作$PM// AB$.
$\because AB// CD$,$\therefore PM// CD$.$\therefore ∠EPM=∠1=x$,$∠5=∠3=y$,$\therefore ∠EPF=∠EPM-∠5=x-y$,同理有$∠EQF=∠6+∠QFD=90^{\circ }-x+90^{\circ }+y=180^{\circ }-x+y$.$\because 2∠EPF+5∠EQF=780^{\circ }$,$\therefore 2(x-y)+5(180^{\circ }-x+y)=780^{\circ }$,$\therefore x-y=40^{\circ }$,$\therefore ∠EPF=x-y=40^{\circ }$,$∠EQF=180^{\circ }-x+y=180^{\circ }-(x-y)=140^{\circ }$,即题图 3 中$∠P=40^{\circ }$,$∠Q=140^{\circ }$.
