1. 计算$3×(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)$的结果为（）

A.$4^8 -1$
B.$2^{64} -1$
C.$2^{16} -1$
D.$2^3 -1$

1.C

【分析】
观察算式结构，所有因式均为2的偶次幂加1的形式，符合平方差公式的其中一部分结构，可将最前面的3转化为$2^2-1$，依次与后一个因式组成平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，逐步递推计算即可得到最终结果。
【解析】
解：先将原式变形，把3改写为$2^2-1$，可得：
$\begin{aligned}原式&=(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)\\&=(2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) \quad \mathrm{（第一次运用平方差公式）}\\&=(2^8 - 1)(2^8 + 1) \quad \mathrm{（第二次运用平方差公式）}\\&=2^{16} - 1 \quad \mathrm{（第三次运用平方差公式）}\end{aligned}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、乘方运算、整式乘法
【点评】
本题是整式巧算的典型题型，解题关键是通过对数字的合理变形，构造出平方差公式的适用条件，避免硬算带来的计算量，能很好考查对公式的灵活运用能力和算式结构的观察能力。
【难度系数】
0.7

2.代数式$3x^2 -4x +6$的值是9，则$x^2 - \frac{4}{3}x +6$的值为（）

A.7
B.18
C.12
D.9

2.A

【分析】
解题时首先观察已知代数式和待求代数式的关系，发现待求式中$x^2 - \frac{4}{3}x$是已知式中$3x^2-4x$的$\frac{1}{3}$，因此不需要求出x的具体值，先从已知条件算出$3x^2-4x$的值，再整体变形代入待求式计算即可。
【解析】
由题意可知：$3x^2 -4x +6=9$
移项可得：$3x^2 -4x = 9-6=3$
等式两边同时除以3，得：$x^2 - \frac{4}{3}x = 3÷3=1$
将$x^2 - \frac{4}{3}x=1$代入待求式：
$x^2 - \frac{4}{3}x +6 =1+6=7$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值、等式的性质、整体代入法
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心技巧是利用整体代入思想简化计算，避免求解未知数的具体值，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8

3. 下列运算中正确的是()

A.$x^5 + x^5 = 2x^{10}$
B.$-(-x)^3 · (-x)^5 = -x^8$
C.$(-2x^2 y)^3 · 4x^{-3} = -24x^3 y^3$
D.$(\frac{1}{2}x - 3y) · (-\frac{1}{2}x + 3y) = \frac{1}{4}x^2 - 9y^2$

3.B

【分析】
这道题考查整式运算的相关知识，解题时需要逐个分析每个选项，结合对应的运算法则计算出正确结果，再和选项给出的式子对比，最终选出运算正确的选项。解题步骤为：先回忆同类项合并、幂的运算、整式乘法的相关规则，再逐一验证四个选项，排除错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$x^5+x^5$属于同类项合并，合并时仅系数相加，字母和字母的指数不变，计算得$x^5+x^5=2x^5$，和选项中的$2x^{10}$不符，A错误。
选项B：先根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$(-x)^3·(-x)^5=(-x)^{3+5}=(-x)^8$；偶次幂的结果为正，故$(-x)^8=x^8$，再结合前面的负号，可得$-(-x)^3·(-x)^5=-x^8$，和选项结果一致，B正确。
选项C：先计算积的乘方$(-2x^2y)^3=(-2)^3·(x^2)^3·y^3=-8x^6y^3$，再和$4x^{-3}$相乘：系数相乘得$-8×4=-32$，同底数幂相乘得$x^6·x^{-3}=x^{6-3}=x^3$，最终结果为$-32x^3y^3$，和选项中的$-24x^3y^3$不符，C错误。
选项D：$(\frac{1}{2}x - 3y)·(-\frac{1}{2}x + 3y)$可变形为$-(\frac{1}{2}x - 3y)^2$，不符合平方差公式的$(a+b)(a-b)$结构，展开后为$-\frac{1}{4}x^2 + 3xy - 9y^2$，和选项中的$\frac{1}{4}x^2 - 9y^2$不符，D错误。
【答案】
B
【知识点】
幂的运算，整式加减，整式乘法
【点评】
本题综合考查整式运算的基础规则，易错点在于混淆同类项合并与幂的乘方的指数处理、积的乘方的系数计算、平方差公式的适用条件，做题时逐一验算可有效降低错误率。
【难度系数】
0.6

4.从数字2,3,4中任取两个不同的数字,其积不小于8,发生的概率是()

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{2}$

4.B

【分析】
这是一道基础的概率计算题，解题思路分三步：第一步，先列举出从2、3、4中任取两个不同数字的所有等可能结果，统计总情况数；第二步，分别计算每一组的乘积，筛选出积不小于8的情况，统计符合条件的情况数；第三步，根据“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”的公式计算最终结果即可。
【解析】
首先列出从2、3、4中任取两个不同数字的所有等可能组合：
1. 取2和3：乘积为$2×3=6$，$6＜8$，不符合要求；
2. 取2和4：乘积为$2×4=8$，$8≥8$，符合要求；
3. 取3和4：乘积为$3×4=12$，$12≥8$，符合要求。
总共有3种等可能的结果，其中积不小于8的有2种，因此所求概率为$\frac{2}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型计算，列举法求概率，有理数乘法运算
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是用列举法不重不漏列出所有等可能事件，再筛选符合条件的事件代入概率公式计算，难度较低。
【难度系数】
0.8

5.若$4x^n - (m+2)x^2 - 3$是关于x的四次二项式，则m，n满足的条件是。

5.m=-2,n=4

【分析】
要解决这道题，需结合多项式的次数和项数的定义分步推导：首先，“四次”说明多项式里最高次项的次数为4，可先确定n的取值；其次，“二项式”说明多项式中只有2个非零的单项式，原式现有3个项，需要让其中一个非最高次、非常数项的系数为0，进而求出m的取值。
【解析】
根据多项式的相关定义解答：
1. 确定n的取值：
因为$4x^n - (m+2)x^2 - 3$是关于x的四次多项式，所以最高次项的次数为4。
观察多项式，最高次项为$4x^n$，因此$n=4$。
2. 确定m的取值：
因为该多项式是二项式，即仅含2个非零单项式。
现有$4x^n$（系数4≠0，不可消去）、常数项$-3$（不可消去），因此只能让二次项$-(m+2)x^2$的系数为0，即：
$-(m+2)=0$
解得$m=-2$。
【答案】
$m=-2,n=4$
【知识点】
多项式的次数；多项式的项与项数
【点评】
本题核心考查多项式的基本概念，解题时需同时满足“四次”和“二项式”两个条件，尤其要注意当某一项的系数为0时，该项不会计入多项式的项数，避免漏考虑系数为0的情况。
【难度系数】
0.8

6.一个正方体的棱长为$2×10^3$毫米，则它的表面积是平方毫米，体积是立方毫米。

6.$2.4×10^7$ $8×10^9$

【分析】
解题时首先回忆正方体表面积和体积的计算公式：正方体有6个完全相同的正方形面，因此表面积=6×棱长²；正方体体积=棱长³。接下来将题目给出的棱长代入公式，再运用积的乘方（$(ab)^n=a^n b^n$）、幂的乘方（$(a^m)^n=a^{mn}$）法则计算，最后把结果调整为规范的科学记数法形式（$a×10^n$，其中$1≤a＜10$）即可。
【解析】
已知正方体棱长$a=2×10^3$毫米：
1. 计算表面积：
根据正方体表面积公式$S=6a^2$，代入得：
$S=6×(2×10^3)^2$
先计算乘方部分：$(2×10^3)^2=2^2×(10^3)^2=4×10^6$
再计算乘法：$6×4×10^6=24×10^6$
调整为规范科学记数法：$24×10^6=2.4×10^7$（平方毫米）
2. 计算体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$，代入得：
$V=(2×10^3)^3$
运用积的乘方、幂的乘方法则计算：
$V=2^3×(10^3)^3=8×10^9$（立方毫米）
【答案】
$2.4×10^7$；$8×10^9$
【知识点】
正方体表面积与体积计算；幂的乘方与积的乘方；科学记数法
【点评】
本题属于基础运算题，既考察了几何公式的应用，也结合了整式幂运算的规则，计算时需注意科学记数法的书写规范，避免出现系数不符合$1≤a＜10$的要求、幂的指数计算错误等问题。
【难度系数】
0.8

7.化简$(-1)^n a + (-1)^{n+1}a$（$n$为整数）的结果为。

7.0

【分析】
解题时可从两个角度思考：一是利用整数的奇偶性，n和n+1是相邻整数，必然一奇一偶，结合(-1)的奇次幂为-1、偶次幂为1的规律，分两种情况代入计算；二是先对(-1)^{n+1}变形，提取公因式后再计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法1：分情况讨论
因为n为整数，所以n和n+1一个是奇数，一个是偶数。
①当n为偶数时，$(-1)^n=1$，$(-1)^{n+1}=-1$
原式$=1× a + (-1)× a = a - a = 0$
②当n为奇数时，$(-1)^n=-1$，$(-1)^{n+1}=1$
原式$=(-1)× a + 1× a = -a + a = 0$
综上，无论n为奇数还是偶数，计算结果都是0。
方法2：提取公因式法
根据乘方运算规则，$(-1)^{n+1}=(-1)^n × (-1)$，代入原式得：
原式$=(-1)^n a + (-1)^n × (-1)a$
提取公因式$(-1)^n a$，得：
原式$=(-1)^n a × (1 - 1) = (-1)^n a × 0 = 0$
【答案】
0
【知识点】
乘方的符号规律、合并同类项
【点评】
本题考查整式的化简，核心是掌握(-1)的幂次的符号规律，既可以通过分奇偶性讨论求解，也可以通过乘方变形提取公因式简化计算，解题思路灵活，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

8.计算:(1)$(4m^3n^2 - 2m^4n^2 - \frac{1}{2}mn) ÷ (-\frac{1}{2}mn) = \_\_\_\_\_\_$；
(2)若$a^x · a^2 ÷ a^3 = a^7$，则$x = \_\_\_\_\_\_$。

8.(1)$-8m^2n+4m^3n+1$ (2)8

【分析】
第(1)题是多项式除以单项式的运算，解题思路为：将多项式的每一项分别除以除式$-\frac{1}{2}mn$，再把所有商相加，计算时需注意每一项的符号，除以负式时符号要变号。第(2)题是同底数幂的乘除混合运算，先根据同底数幂“相乘指数相加、相除指数相减”的法则化简等式左边，再利用同底数幂相等时指数相等的性质，列方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 按多项式除以单项式法则拆分计算：
$\begin{aligned}&(4m^3n^2 - 2m^4n^2 - \frac{1}{2}mn) ÷ (-\frac{1}{2}mn)\\=&4m^3n^2 ÷ (-\frac{1}{2}mn) + (-2m^4n^2) ÷ (-\frac{1}{2}mn) + (-\frac{1}{2}mn) ÷ (-\frac{1}{2}mn)\\=&4×(-2)m^{3-1}n^{2-1} + (-2)×(-2)m^{4-1}n^{2-1} + 1\\=&-8m^2n + 4m^3n + 1\end{aligned}$
(2) 先化简等式左边：
根据同底数幂乘除法则，$a^x · a^2 ÷ a^3 = a^{x+2-3} = a^{x-1}$
已知等式右边为$a^7$，同底数幂相等则指数相等，可得：
$x-1=7$
解得$x=8$
【答案】
(1)$-8m^2n+4m^3n+1$；(2)$8$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂乘除法则；同底数幂性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察整式乘除的基本运算法则，计算时注意符号变化和指数的加减规则即可顺利解题，是巩固整式运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.8

9.多项式$4x^2 - \frac{1}{2}xy^2 -1$中，三次项的系数是。

9.$-\frac{1}{2}$

【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下步骤思考：首先回忆多项式的相关概念，第一步先拆分出多项式的每一个项（注意项要包含前面的正负号）；第二步分别计算每个项的次数，单项式的次数是所有字母的指数之和；第三步找到次数为3的三次项，最后确定三次项的系数（系数是项中除字母外的数字因数，同样要包含符号）。
【解析】
首先拆分多项式$4x^2 - \frac{1}{2}xy^2 -1$的各项：
1. 第一项为$4x^2$：仅含字母$x$，指数是2，次数为2，是二次项；
2. 第二项为$-\frac{1}{2}xy^2$：含字母$x$和$y$，$x$的指数是1，$y$的指数是2，次数为$1+2=3$，是三次项；
3. 第三项为$-1$：不含字母，是常数项，次数为0。
三次项为$-\frac{1}{2}xy^2$，它的数字因数为$-\frac{1}{2}$，即三次项的系数是$-\frac{1}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
多项式的项、多项式的次数、单项式的系数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握多项式相关的定义，特别要注意计算项的次数时是所有字母指数的和，书写系数时不要遗漏项前面的正负号。
【难度系数】
0.7