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1. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2(k - 1)x + k^2 - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求实数 $ k $ 的取值范围.
(2)0 可能是方程的一个根吗？若可能，请求出此时它的另一个根；若不可能，请说明理由.
(1)求实数 $ k $ 的取值范围.
(2)0 可能是方程的一个根吗？若可能，请求出此时它的另一个根；若不可能，请说明理由.
答案
(1)根据题意,得 $4(k-1)^2-4(k^2-1)＞0$,
解得 $k＜1$.
(2)0 可能是方程的一个根. 理由如下：
设方程的另一个根为 $t$.
由题意,得 $0 · t=k^2-1$,
解得 $k=1$ 或 $k=-1$.
又 $k＜1,\therefore k=-1$.
$\because 0+t=-2(k-1)=-2×(-1-1)=4$,
$\therefore t=4$,即方程的另一个根为 4.
解得 $k＜1$.
(2)0 可能是方程的一个根. 理由如下：
设方程的另一个根为 $t$.
由题意,得 $0 · t=k^2-1$,
解得 $k=1$ 或 $k=-1$.
又 $k＜1,\therefore k=-1$.
$\because 0+t=-2(k-1)=-2×(-1-1)=4$,
$\therefore t=4$,即方程的另一个根为 4.
解析
【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式$\Delta＞0$，我们先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）要判断0是否为方程的根，可利用根与系数的关系：若$x_1$、$x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根，则$x_1x_2=\frac{c}{a}$。假设0是根，那么两根之积为0，据此求出$k$的值，再结合（1）中$k$的取值范围判断$k$是否符合要求，若符合，再利用两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$求出另一个根即可。
【解析】
（1）已知一元二次方程$x^2 + 2(k - 1)x + k^2 - 1 = 0$有两个不相等的实数根，其中$a=1$，$b=2(k-1)$，$c=k^2-1$。
根据根的判别式与根的个数的关系，得：
$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
代入$a、b、c$的值得：
$4(k-1)^2-4(k^2-1)＞0$
展开整理得：
$4(k^2-2k+1)-4k^2+4＞0$
$-8k+8＞0$
解得$k＜1$。
（2）0可能是方程的一个根，求解过程如下：
设方程的另一个根为$t$。
根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}=k^2-1$，代入其中一个根为0得：
$0 · t=k^2-1$，即$k^2-1=0$
解得 $k=1$ 或 $k=-1$。
结合（1）中$k＜1$的取值范围，$k=1$不符合要求，舍去，因此$k=-1$。
再根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}=-2(k-1)$，代入$k=-1$得：
$0+t=-2×(-1-1)=4$
解得$t=4$，即此时方程的另一个根为4。
【答案】
(1)$k＜1$；(2)0可能是方程的一个根，此时另一个根为4。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，主要考查判别式与根的个数的对应关系、根与系数的关系的应用，解题时要注意第二问求出的$k$值需要结合第一问的取值范围进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式$\Delta＞0$，我们先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，代入判别式公式列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）要判断0是否为方程的根，可利用根与系数的关系：若$x_1$、$x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根，则$x_1x_2=\frac{c}{a}$。假设0是根，那么两根之积为0，据此求出$k$的值，再结合（1）中$k$的取值范围判断$k$是否符合要求，若符合，再利用两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$求出另一个根即可。
【解析】
（1）已知一元二次方程$x^2 + 2(k - 1)x + k^2 - 1 = 0$有两个不相等的实数根，其中$a=1$，$b=2(k-1)$，$c=k^2-1$。
根据根的判别式与根的个数的关系，得：
$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
代入$a、b、c$的值得：
$4(k-1)^2-4(k^2-1)＞0$
展开整理得：
$4(k^2-2k+1)-4k^2+4＞0$
$-8k+8＞0$
解得$k＜1$。
（2）0可能是方程的一个根，求解过程如下：
设方程的另一个根为$t$。
根据根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}=k^2-1$，代入其中一个根为0得：
$0 · t=k^2-1$，即$k^2-1=0$
解得 $k=1$ 或 $k=-1$。
结合（1）中$k＜1$的取值范围，$k=1$不符合要求，舍去，因此$k=-1$。
再根据根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}=-2(k-1)$，代入$k=-1$得：
$0+t=-2×(-1-1)=4$
解得$t=4$，即此时方程的另一个根为4。
【答案】
(1)$k＜1$；(2)0可能是方程的一个根，此时另一个根为4。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元一次不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，主要考查判别式与根的个数的对应关系、根与系数的关系的应用，解题时要注意第二问求出的$k$值需要结合第一问的取值范围进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
2. 设$a,b$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个不相等的实数根. 求:
(1)$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值；
(2)$(a + 1)^2 + b$的值.
(1)$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值；
(2)$(a + 1)^2 + b$的值.
答案
(1)由题意,得 $a+b=-1,ab=-2\ 026$,
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2\ 026}$.
(2)由题意,得 $a^2+a-2\ 026=0,\therefore a^2+a=2\ 026$.
$\therefore$ 原式 $=a^2+2a+1+b=a^2+a+(a+b)+1=2\ 026-1+1=2\ 026$.
$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2\ 026}$.
(2)由题意,得 $a^2+a-2\ 026=0,\therefore a^2+a=2\ 026$.
$\therefore$ 原式 $=a^2+2a+1+b=a^2+a+(a+b)+1=2\ 026-1+1=2\ 026$.
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系及方程根的定义，结合整体代入思想求解，无需算出a、b的具体值。①对于第(1)问，先将待求分式通分，转化为用两根之和、两根之积表示的形式，再代入根与系数的关系结论计算即可；②对于第(2)问，先将完全平方式展开，再根据方程根的定义得到$a^2+a$的数值，最后将代数式拆分为含有$a^2+a$和$a+b$的形式，整体代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵$a,b$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=-1$，$ab=-2026$
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{-1}{-2026}=\frac{1}{2026}$
(2)
∵$a$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，代入方程得：
$a^2+a-2026=0$，即$a^2+a=2026$
将待求式展开变形：
$(a+1)^2 + b = a^2 + 2a + 1 + b = (a^2+a) + (a+b) + 1$
把$a^2+a=2026$，$a+b=-1$代入上式：
原式$=2026 + (-1) + 1 = 2026$
【答案】
(1) $\frac{1}{2026}$；(2) $2026$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的定义
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，避免直接求解方程根的复杂计算，解题时要注意符号运算的准确性，熟练掌握对代数式的拆分变形技巧。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系及方程根的定义，结合整体代入思想求解，无需算出a、b的具体值。①对于第(1)问，先将待求分式通分，转化为用两根之和、两根之积表示的形式，再代入根与系数的关系结论计算即可；②对于第(2)问，先将完全平方式展开，再根据方程根的定义得到$a^2+a$的数值，最后将代数式拆分为含有$a^2+a$和$a+b$的形式，整体代入数值计算即可。
【解析】
(1)
∵$a,b$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=-1$，$ab=-2026$
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{-1}{-2026}=\frac{1}{2026}$
(2)
∵$a$是方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，代入方程得：
$a^2+a-2026=0$，即$a^2+a=2026$
将待求式展开变形：
$(a+1)^2 + b = a^2 + 2a + 1 + b = (a^2+a) + (a+b) + 1$
把$a^2+a=2026$，$a+b=-1$代入上式：
原式$=2026 + (-1) + 1 = 2026$
【答案】
(1) $\frac{1}{2026}$；(2) $2026$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的定义
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，避免直接求解方程根的复杂计算，解题时要注意符号运算的准确性，熟练掌握对代数式的拆分变形技巧。
【难度系数】
0.7
3. 已知关于$ x $的方程$(x - 2)(x - 3) - k^2 = 0$。
(1)证明:无论$ k $取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根分别为$ x_1, x_2 $,且$ x_1 ＞ x_2 $,证明:$ x_1 + 2x_2 ≤ 7 $。
(1)证明:无论$ k $取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根分别为$ x_1, x_2 $,且$ x_1 ＞ x_2 $,证明:$ x_1 + 2x_2 ≤ 7 $。
答案
(1)$(x-3)(x-2)-k^2=0$,
即 $x^2-5x+6-k^2=0$,
$\therefore \Delta=(-5)^2-4×1×(6-k^2)=1+4k^2$.
$\because$ 无论 $k$ 取何值,总有 $4k^2≥0$,
$\therefore 1+4k^2＞0$,
$\therefore$ 无论 $k$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because x_1+x_2=5$,
$\therefore x_1+2x_2=x_1+x_2+x_2=5+x_2$.
$\because x=\frac{5\pm\sqrt{4k^2+1}}{2},x_1＞x_2$,
$\therefore x_2=\frac{5-\sqrt{4k^2+1}}{2}$.
$\because 4k^2+1≥1,\therefore \sqrt{4k^2+1}≥1$,
$\therefore \frac{5-\sqrt{4k^2+1}}{2}≤2$,即 $x_2≤2$,
$\therefore 5+x_2≤7$,即 $x_1+2x_2≤7$.
一题多解
(2)$\because x_1+x_2=5$,
$\therefore x_1+2x_2=2x_1+2x_2-x_1=10-x_1$.
$\because x=\frac{5\pm\sqrt{4k^2+1}}{2},x_1＞x_2$,
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{4k^2+1}}{2}$.
$\because 4k^2+1≥1,\therefore \sqrt{4k^2+1}≥1$,
$\therefore \frac{5+\sqrt{4k^2+1}}{2}≥3$,即 $x_1≥3$,
$\therefore 10-x_1≤7$,即 $x_1+2x_2≤7$.
即 $x^2-5x+6-k^2=0$,
$\therefore \Delta=(-5)^2-4×1×(6-k^2)=1+4k^2$.
$\because$ 无论 $k$ 取何值,总有 $4k^2≥0$,
$\therefore 1+4k^2＞0$,
$\therefore$ 无论 $k$ 取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)$\because x_1+x_2=5$,
$\therefore x_1+2x_2=x_1+x_2+x_2=5+x_2$.
$\because x=\frac{5\pm\sqrt{4k^2+1}}{2},x_1＞x_2$,
$\therefore x_2=\frac{5-\sqrt{4k^2+1}}{2}$.
$\because 4k^2+1≥1,\therefore \sqrt{4k^2+1}≥1$,
$\therefore \frac{5-\sqrt{4k^2+1}}{2}≤2$,即 $x_2≤2$,
$\therefore 5+x_2≤7$,即 $x_1+2x_2≤7$.
一题多解
(2)$\because x_1+x_2=5$,
$\therefore x_1+2x_2=2x_1+2x_2-x_1=10-x_1$.
$\because x=\frac{5\pm\sqrt{4k^2+1}}{2},x_1＞x_2$,
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{4k^2+1}}{2}$.
$\because 4k^2+1≥1,\therefore \sqrt{4k^2+1}≥1$,
$\therefore \frac{5+\sqrt{4k^2+1}}{2}≥3$,即 $x_1≥3$,
$\therefore 10-x_1≤7$,即 $x_1+2x_2≤7$.
解析
【分析】
(1) 要证明无论k取何值方程总有两个不相等的实数根，需先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式Δ，只要证明Δ恒大于0即可得证。
(2) 要证明$x_1+2x_2≤7$，首先根据根与系数的关系得到两根之和为5，可将所求代数式变形为$5+x_2$（或$10-x_1$），再结合求根公式表示出较小根$x_2$（或较大根$x_1$），利用$k^2≥0$的性质推导$x_2$的最大值（或$x_1$的最小值），代入变形后的代数式即可证明不等式。
【解析】
(1) 先将原方程展开整理为一般式：
$(x-3)(x-2)-k^2=0$
即 $x^2-5x+6-k^2=0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=6-k^2$，
∴ 根的判别式 $\Delta=(-5)^2-4×1×(6-k^2)=25-24+4k^2=1+4k^2$
∵ 无论k取何值，总有$4k^2≥0$，
∴ $1+4k^2＞0$，即$\Delta＞0$
∴ 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 方法一：
根据根与系数的关系，得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$，
∴ $x_1+2x_2=(x_1+x_2)+x_2=5+x_2$
由求根公式得方程的根为$x=\frac{5\pm\sqrt{4k^2+1}}{2}$，
∵ $x_1＞x_2$，
∴ $x_2=\frac{5-\sqrt{4k^2+1}}{2}$
∵ $4k^2≥0$，
∴ $4k^2+1≥1$，
∴ $\sqrt{4k^2+1}≥1$，
∴ $\frac{5-\sqrt{4k^2+1}}{2}≤\frac{5-1}{2}=2$，即$x_2≤2$，
∴ $5+x_2≤5+2=7$，即$x_1+2x_2≤7$。
方法二：
根据根与系数的关系，得$x_1+x_2=5$，
∴ $x_1+2x_2=2(x_1+x_2)-x_1=10-x_1$
由求根公式得方程的根为$x=\frac{5\pm\sqrt{4k^2+1}}{2}$，
∵ $x_1＞x_2$，
∴ $x_1=\frac{5+\sqrt{4k^2+1}}{2}$
∵ $4k^2+1≥1$，
∴ $\sqrt{4k^2+1}≥1$，
∴ $\frac{5+\sqrt{4k^2+1}}{2}≥\frac{5+1}{2}=3$，即$x_1≥3$，
∴ $10-x_1≤10-3=7$，即$x_1+2x_2≤7$。
【答案】
(1) 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $x_1+2x_2≤7$，证明成立。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 不等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程的综合题型，第一问属于根的判别式的基础应用，第二问需要灵活变形所求代数式，结合平方、二次根式的非负性推导根的取值范围，对代数式变形能力有一定要求，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明无论k取何值方程总有两个不相等的实数根，需先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式Δ，只要证明Δ恒大于0即可得证。
(2) 要证明$x_1+2x_2≤7$，首先根据根与系数的关系得到两根之和为5，可将所求代数式变形为$5+x_2$（或$10-x_1$），再结合求根公式表示出较小根$x_2$（或较大根$x_1$），利用$k^2≥0$的性质推导$x_2$的最大值（或$x_1$的最小值），代入变形后的代数式即可证明不等式。
【解析】
(1) 先将原方程展开整理为一般式：
$(x-3)(x-2)-k^2=0$
即 $x^2-5x+6-k^2=0$
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=6-k^2$，
∴ 根的判别式 $\Delta=(-5)^2-4×1×(6-k^2)=25-24+4k^2=1+4k^2$
∵ 无论k取何值，总有$4k^2≥0$，
∴ $1+4k^2＞0$，即$\Delta＞0$
∴ 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 方法一：
根据根与系数的关系，得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5$，
∴ $x_1+2x_2=(x_1+x_2)+x_2=5+x_2$
由求根公式得方程的根为$x=\frac{5\pm\sqrt{4k^2+1}}{2}$，
∵ $x_1＞x_2$，
∴ $x_2=\frac{5-\sqrt{4k^2+1}}{2}$
∵ $4k^2≥0$，
∴ $4k^2+1≥1$，
∴ $\sqrt{4k^2+1}≥1$，
∴ $\frac{5-\sqrt{4k^2+1}}{2}≤\frac{5-1}{2}=2$，即$x_2≤2$，
∴ $5+x_2≤5+2=7$，即$x_1+2x_2≤7$。
方法二：
根据根与系数的关系，得$x_1+x_2=5$，
∴ $x_1+2x_2=2(x_1+x_2)-x_1=10-x_1$
由求根公式得方程的根为$x=\frac{5\pm\sqrt{4k^2+1}}{2}$，
∵ $x_1＞x_2$，
∴ $x_1=\frac{5+\sqrt{4k^2+1}}{2}$
∵ $4k^2+1≥1$，
∴ $\sqrt{4k^2+1}≥1$，
∴ $\frac{5+\sqrt{4k^2+1}}{2}≥\frac{5+1}{2}=3$，即$x_1≥3$，
∴ $10-x_1≤10-3=7$，即$x_1+2x_2≤7$。
【答案】
(1) 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $x_1+2x_2≤7$，证明成立。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 不等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程的综合题型，第一问属于根的判别式的基础应用，第二问需要灵活变形所求代数式，结合平方、二次根式的非负性推导根的取值范围，对代数式变形能力有一定要求，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 已知$a,b$满足$a^2 - a - 2 = 0,b^2 - b - 2 = 0$，试求$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}$的值.
答案
$\because a,b$ 满足 $a^2-a-2=0,b^2-b-2=0$,
$\therefore$ ①当 $a=b$ 时,原式 $=1+1=2$;
②当 $a≠ b$ 时,$a,b$ 可看作方程 $x^2-x-2=0$ 的两个不相等的实数根,
$\therefore a+b=1,ab=-2,\therefore$ 原式 $=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{1-2×(-2)}{-2}=-\frac{5}{2}$.
综上所述,$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 的值为 2 或 $-\frac{5}{2}$.
$\therefore$ ①当 $a=b$ 时,原式 $=1+1=2$;
②当 $a≠ b$ 时,$a,b$ 可看作方程 $x^2-x-2=0$ 的两个不相等的实数根,
$\therefore a+b=1,ab=-2,\therefore$ 原式 $=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{1-2×(-2)}{-2}=-\frac{5}{2}$.
综上所述,$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 的值为 2 或 $-\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
首先观察已知条件，a、b都满足同一个一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：①当a=b时，直接代入所求式子即可算出结果；②当a≠b时，a、b就是方程$x^2-x-2=0$的两个不相等的实数根，此时可以利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的值，再将所求的分式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分，利用完全平方公式变形为用$a+b$和$ab$表示的形式，整体代入计算即可。要注意不要遗漏a=b的情况，避免漏解。
【解析】
$\because a,b$满足$a^2 - a - 2 = 0$，$b^2 - b - 2 = 0$，
$\therefore$分两种情况讨论：
①当$a=b$时，原式$=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1+1=2$；
②当$a≠b$时，$a、b$可看作一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$a+b=1$，$ab=-2$，
将所求式子变形：$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$，
代入$a+b=1$，$ab=-2$得：
原式$=\frac{1^2 - 2×(-2)}{-2}=\frac{1 + 4}{-2}=-\frac{5}{2}$。
综上所述，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为2或$-\frac{5}{2}$。
【答案】
$2$或$-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.完全平方公式变形 3.分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略$a=b$的情况，默认a、b为方程的两个不等根导致漏解。解题时要先分析未知数的关系，合理分类讨论，同时要熟练掌握代数式的恒等变形，运用整体代入的思想简化计算。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，a、b都满足同一个一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：①当a=b时，直接代入所求式子即可算出结果；②当a≠b时，a、b就是方程$x^2-x-2=0$的两个不相等的实数根，此时可以利用一元二次方程根与系数的关系求出$a+b$和$ab$的值，再将所求的分式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分，利用完全平方公式变形为用$a+b$和$ab$表示的形式，整体代入计算即可。要注意不要遗漏a=b的情况，避免漏解。
【解析】
$\because a,b$满足$a^2 - a - 2 = 0$，$b^2 - b - 2 = 0$，
$\therefore$分两种情况讨论：
①当$a=b$时，原式$=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=1+1=2$；
②当$a≠b$时，$a、b$可看作一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$a+b=1$，$ab=-2$，
将所求式子变形：$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$，
代入$a+b=1$，$ab=-2$得：
原式$=\frac{1^2 - 2×(-2)}{-2}=\frac{1 + 4}{-2}=-\frac{5}{2}$。
综上所述，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为2或$-\frac{5}{2}$。
【答案】
$2$或$-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.完全平方公式变形 3.分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略$a=b$的情况，默认a、b为方程的两个不等根导致漏解。解题时要先分析未知数的关系，合理分类讨论，同时要熟练掌握代数式的恒等变形，运用整体代入的思想简化计算。
【难度系数】
0.6
