24.(12分)某校有一个两面有围墙的空地,如图1,AM墙长为45 m,AN墙长为15 m。现计划用长52 m的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践。
(1)当围成的矩形基地ABCD如图1所示,在边BC开一道1 m宽的门。若此时的矩形面积为430 $\mathrm{m}^2$,求围成的矩形基地边CD的长；
(2)当围成的矩形基地ABCD如图2所示,中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物,在两块基地边上各开一道1 m宽的门。若此时的矩形总面积为364 $\mathrm{m}^2$,求围成的矩形基地边CD的长。

24.(1)设围成的矩形基地边$CD$的长为$x\ \mathrm{m}$,则$BC$的长为$(52-x+1)\mathrm{m}$。由题意,得$x(52-x+1)=430$,整理,得$x^2-53x+430=0$,解得$x_1=10$,$x_2=43$(不符合题意,舍去)。答:围成的矩形基地边$CD$的长为$10\ \mathrm{m}$；(2)设围成的矩形基地边$CD$的长为$y\ \mathrm{m}$,则$BC$的长为$(52-2y+1+1)\mathrm{m}$。由题意,得$y(52-2y+1+1)=364$,整理,得$y^2-27y+182=0$,解得$y_1=13$,$y_2=14$。答:围成的矩形基地边$CD$的长为$13\ \mathrm{m}$或$14\ \mathrm{m}$。

【分析】
解决本题需结合图形、栅栏总长及门的宽度，先确定矩形两边的长度关系，再利用矩形面积公式列一元二次方程，最后根据围墙长度限制舍去不符合题意的解。第(1)问设CD长为x m，结合BC处1m宽的门推导BC的表达式，列面积方程；第(2)问设CD长为y m，结合中间栅栏和两处门的宽度推导BC的表达式，列面积方程，再验证解的合理性。
【解析】
(1) 设围成的矩形基地边CD的长为$x\ \mathrm{m}$，
因为BC边开了1m宽的门，栅栏总长为52m，所以BC的长为$(52 - x + 1)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得：
$x(52 - x + 1) = 430$，
整理得：$x^2 - 53x + 430 = 0$，
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = 43$。
结合围墙限制：AN墙长15m，CD为竖直边，长度不能超过15m，故$x=43$不符合题意，舍去。
(2) 设围成的矩形基地边CD的长为$y\ \mathrm{m}$，
因为中间用栅栏分成两块，且两块基地各开1m宽的门，所以BC的长为$(52 - 2y + 1 + 1)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得：
$y(52 - 2y + 1 + 1) = 364$，
整理得：$y^2 - 27y + 182 = 0$，
解得：$y_1 = 13$，$y_2 = 14$。
结合围墙限制：AN墙长15m，AM墙长45m，$y=13$和$y=14$均小于15，对应的BC长度分别为28m、26m，均小于45m，故两个解均符合题意。
【答案】
(1) $10\ \mathrm{m}$；(2) $13\ \mathrm{m}$或$14\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际劳动基地的场景，考查一元二次方程在几何问题中的应用，核心是理清栅栏长度与矩形各边的关系，需注意结合围墙长度舍去不合理解，培养学生的数学建模能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.4