变式 4.1 实验班原创 如图,在$△ ADC$中,$F$为$AD$的中点,$∠ DFE=∠ DAC$,且$EF=AC$,若$△ DEF$的面积为 2,求$△ ADC$的面积.

解：如图,过点 C 作 CM⊥AD 于点 M,过点 E 作 EN⊥AD 的延长线于点 N,
则∠END=∠CMD=∠CMA=90°.
∵∠DAC=∠DFE,即∠CAM=∠NFE,
又 AC=EF,
∴△ACM≌△FEN,
∴CM=EN.
在△EDN 和△CDM 中,
$\{\begin{array}{l} ∠N=∠CMD=90^{\circ },\\ ∠EDN=∠CDM,\\ EN=CM,\end{array} $
∴△EDN≌△CDM(AAS),
∴ED=CD.
连接 CF,则$S_{△CDF}=S_{△EDF}=2$.
又 F 为 AD 的中点,
∴$S_{△ADC}=2S_{△CDF}=4$.

变式 4.2 (2024·山东临沂河东区期中)如图,在四边形
A B C D 中, $A B / / D C, E$ 为 B C 的中点, 连接 D E,
$A E, A E ⊥ D E$. 若 $A B=6, C D=4$, 求 $A D$ 的长.

解：延长 DE 交 AB 的延长线于点 F,如图.
∵E 为 BC 的中点,
∴BE=CE.
∵AB//CD,
∴∠F=∠CDE.
在△BEF 和△CED 中,
$\{\begin{array}{l} ∠F=∠CDE,\\ ∠BEF=∠CED,\\ BE=CE,\end{array} $
∴△BEF≌△CED(AAS),
∴EF=DE,BF=CD=4,
∴AF=AB+BF=10.
∵AE⊥DE,
∴∠AED=∠AEF=90°.
又 AE=AE,
∴△AEF≌△AED(SAS),
∴AF=AD=10.

变式 4.3 （2024·上海杨浦区双语学校期中改编）如图，已知 A D 是$△ ACB$的中线，点 E 是 AC 上的一点，BE 交 AD 于点 F，$AC=BF$，$∠ DAC=24^{\circ }$，$∠ EBC=30^{\circ }$，求$∠ ACB$的度数.

解：如图,延长 AD 到点 M,使得 DM=AD,连接 BM.
在△BDM 和△CDA 中,
$\{\begin{array}{l} DM=DA,\\ ∠BDM=∠CDA,\\ BD=CD,\end{array} $
∴△BDM≌△CDA(SAS),
∴BM=AC=BF,∠M=∠DAC=24°,∠ACB=∠DBM,
∴∠M=∠BFM=24°,
∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°.
∵∠EBC=30°,
∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=102°,
∴∠ACB=∠DBM=102°.

变式4.4 (2025·山东德州乐陵期中)(1)[旧题重现]《学习与评价》P19 有这样一道习题：
如图(1),$AD,A'D'$分别是$△ ABC$ 和$△ A'B'C'$的$BC,B'C'$边上的中线,$AD=A'D',AB=A'B'$,$BC=B'C'$. 求证:$△ ABC≌△ A'B'C'$.
证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.

(2)[深入研究]
如图(2),$AD,A'D'$分别是$△ ABC$ 和$△ A'B'C'$的$BC,B'C'$边上的中线,$AD=A'D',AB=A'B'$,$AC=A'C'$. 判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否仍然全等,并说明理由.

(1)证明：
∵AD 是△ABC 的中线,
∴$BD=\frac{1}{2}BC$.
∵A'D'是△A'B'C'的中线,
∴$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$.
∵BC=B'C',
∴BD=B'D'.
在△ABD 和△A'B'D'中,$\{\begin{array}{l} BD=B'D',\\ AD=A'D',\\ AB=A'B',\end{array} $
∴△ABD≌△A'B'D'(SSS),
∴∠B=∠B'.
在△ABC 和△A'B'C'中,$\{\begin{array}{l} AB=A'B',\\ ∠B=∠B',\\ BC=B'C',\end{array} $
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
(2)△ABC 和△A'B'C'仍然全等.理由如下:
如图,延长 AD 至 E,使 DE=AD,连接 BE,延长 A'D'至 E',使 D'E'=A'D',连接 B'E'.

∵AD 和 A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的 BC 和 B'C'边上的中线,
∴BD=CD,B'D'=C'D'.
在△ADC 和△EDB 中,$\{\begin{array}{l} AD=DE,\\ ∠ADC=∠BDE,\\ CD=BD,\end{array} $
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB,∠DAC=∠E.
同理 A'C'=E'B',∠D'A'C'=∠E',
∵AC=A'C',
∴EB=E'B'.
∵AD=A'D',AD=DE,A'D'=D'E',
∴AE=A'E'.
∵AB=A'B',
∴△ABE≌△A'B'E'(SSS),
∴∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E',
∴∠DAC=∠D'A'C',
∴∠BAC=∠B'A'C'.
又 AB=A'B',AC=A'C',
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).