1. 手拉手模型 (2025·无锡江阴实验中学月考)在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$是射线$CB$上的一动点(不与点$B$,$C$重合),以$AD$为一边在$AD$的右侧作$△ ADE$,使$AD=AE$,$∠ DAE=∠ BAC$,连接$CE$.
(1)如图(1),当点$D$在线段$CB$上,且$∠ BAC$$=90^{\circ }$时,那么$∠ DCE=$度;
(2)设$∠ BAC=α$,$∠ DCE=β$.
①如图(2),当点$D$在线段$CB$上,$∠ BAC ≠$$90^{\circ }$时,请你探究$α$与$β$之间的数量关系,并证明你的结论;
②如图(3),当点$D$在线段$CB$的延长线上,$∠ BAC ≠ 90^{\circ }$时,请将图(3)补充完整,写出此时$α$与$β$之间的数量关系并证明.

1.(1) 90
解析：$\because ∠BAD + ∠DAC = 90°,∠DAC + ∠CAE=90°,\therefore ∠BAD=∠CAE.$
在$△ BAD$ 和$△ CAE$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS}),\therefore ∠B=∠ACE.$
$\because ∠B+∠ACB=90°,$
$\therefore ∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°.$
(2)①$α+β=180°$.证明如下：
$\because ∠BAD+∠DAC=α,∠DAC+∠CAE=α,$
$\therefore ∠BAD=∠CAE.$
在$△ BAD$ 和$△ CAE$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠B=∠ACE.$
$\because ∠B+∠ACB=180°-α,$
$\therefore ∠DCE=∠ACE+∠ACB=180°-α=β,$
$\therefore α+β=180°.$
②$α=β$.证明如下：
作出图形如图所示，
$\because ∠BAD+∠BAE=α,$
$∠BAE+∠CAE=α,$
$\therefore ∠BAD=∠CAE.$
在$△ BAD$ 和$△ CAE$ 中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠AEC=∠ADB.$
$\because ∠ADE+∠AED+α=180°,∠CDE+∠CED+β=180°,∠CED=∠AEC+∠AED,$
$\therefore α=β.$

2. (2025·河北承德期末) 如图，$AE$ 与 $BD$ 相交于点 $C$，$AC=EC$，$BC=DC$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A\to B\to A$ 方向以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动，点 $Q$ 同时从点 $D$ 出发，沿 $D\to E$ 方向以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动，当点 $P$ 到达点 $A$ 时，$P$，$Q$ 两点同时停止运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t\ \mathrm{s}$。
(1) 当点 $P$ 在 $A\to B$ 运动时，$BP=$ ；(用含 $t$ 的代数式表示)
(2) 求证：$AB=ED$；
(3) 当 $P$，$Q$，$C$ 三点共线时，求 $t$ 的值。

2.(1) $(8-2t)\mathrm{cm}$
解析：点 $P$ 从点 $A$ 出发,沿 $A\to B\to A$ 方向以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动,点 $Q$ 同时从点 $D$ 出发,沿 $D\to E$ 方向以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动,设点 $P$ 的运动时间为 $t\ \mathrm{s}.$
根据题意得 $AP=2t\ \mathrm{cm},$ 则 $BP=(8-2t)\mathrm{cm}.$
(2)在$△ ABC$ 和$△ EDC$ 中,$\begin{cases} BC=DC, \\ ∠BCA=∠DCE, \\ AC=EC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{SAS}),\therefore AB=ED.$
(3)根据题意得 $DQ=t\ \mathrm{cm},$ 则 $EQ=(8-t)\mathrm{cm}.$
$\because △ ABC≌△ EDC,$
$\therefore ∠A=∠E,DE=AB=8\ \mathrm{cm}.$
$\because P,Q,C$ 三点共线,$\therefore ∠ACP=∠ECQ.$
在$△ ACP$ 和$△ ECQ$ 中,$\begin{cases} ∠A=∠E, \\ AC=EC, \\ ∠ACP=∠ECQ, \end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ ECQ(\mathrm{ASA}),\therefore AP=EQ,$
$\therefore$ 当 $0≤ t≤ 4$ 时,$2t=8-t,$ 解得 $t=\dfrac{8}{3}.$
当 $4＜ t≤ 8$ 时,$AP=(16-2t)\mathrm{cm},$
$\therefore 16-2t=8-t,$ 解得 $t=8.$
综上所述,当 $P,C,Q$ 三点共线时,$t$ 的值为 $\dfrac{8}{3}$ 或 $8.$

3. (2025·广东东莞光明中学期中) 如图(1)，$AB = 14\ \mathrm{cm}$，$AC = 10\ \mathrm{cm}$，$AC ⊥ AB$，$BD ⊥ AB$，垂足分别为$A$，$B$，点$P$在线段$AB$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$A$向点$B$运动，同时点$Q$在射线$BD$上运动，它们运动的时间为$t\ (\mathrm{s})$（当点$P$运动结束时，点$Q$运动随之结束）。
(1) 若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等，当$t = 2$时，$△ ACP$与$△ BPQ$是否全等？并判断此时线段$PC$和线段$PQ$的位置关系，请分别说明理由。
(2) 如图(2)，若“$AC ⊥ AB$，$BD ⊥ AB$”改为“$∠ CAB = ∠ DBA$”，点$Q$的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$，其他条件不变，当点$P$，$Q$运动到何处时有$△ ACP$与$△ BPQ$全等？求出相应的$x$和$t$的值。

3.(1)$△ ACP≌△ BPQ$,$PC⊥ PQ$. 理由如下：
$\because AC⊥ AB,BD⊥ AB,\therefore ∠A=∠B=90°.$
当 $t=2$ 时,$AP=BQ=2×2=4(\mathrm{cm}),$
$\therefore BP=AB-AP=10\ \mathrm{cm},\therefore BP=AC.$
在$△ ACP$ 和$△ BPQ$ 中,$\begin{cases} AP=BQ, \\ ∠A=∠B, \\ AC=BP, \end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ BPQ(\mathrm{SAS}),\therefore ∠C=∠BPQ.$
$\because ∠C+∠APC=90°,\therefore ∠APC+∠BPQ=90°,$
$\therefore ∠CPQ=90°,\therefore PC⊥ PQ.$
(2)①若$△ ACP≌△ BPQ,$
则 $AC=BP,AP=BQ,$ 可得 $10=14-2t,2t=xt,$
解得 $x=2,t=2;$
②若$△ ACP≌△ BQP,$
则 $AC=BQ,AP=BP,$ 可得 $10=xt,2t=14-2t,$
解得 $x=\dfrac{20}{7},t=\dfrac{7}{2}.$
综上所述,当$△ ACP$ 与$△ BPQ$ 全等时,$x=2,t=2$ 或 $x=\dfrac{20}{7},t=\dfrac{7}{2}.$