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1. 下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是(
A.一个锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
C
).A.一个锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
答案
1. C [解析]A. 一个锐角和斜边对应相等,正确,符合判定定理AAS;B. 两条直角边对应相等,正确,符合判定定理SAS;C. 全等三角形的判定必须要有边的参与,不正确;D. 斜边和一条直角边对应相等,正确,符合判定定理HL.故选C.
易错警示 本题考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL.注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
易错警示 本题考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL.注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
2. (2025·盐城盐都区月考)如图，$EC ⊥ BD$，垂足为$C$，$A$ 是 $EC$ 上一点，且 $AC=CD,AB=DE$。若$AC=3.5,BD=9$，则 $AE$ 的长为(
A.2
B.2.5
C.3
D.5.5
A
).A.2
B.2.5
C.3
D.5.5
答案
2. A [解析]
∵EC⊥BD,
∴∠ACB=∠DCE=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEC中,{AB=DE,
AC=DC,
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),
∴CB=CE,AC=CD=3.5.
∵BD=CB+CD=9,
∴CB=5.5,
∴CE=5.5,
∴AE=CE-AC=5.5-3.5=2.故选A.
归纳总结 此题考查了全等三角形的判定与性质,用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEC是解题的关键.
∵EC⊥BD,
∴∠ACB=∠DCE=90°.
在Rt△ABC和Rt△DEC中,{AB=DE,
AC=DC,
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),
∴CB=CE,AC=CD=3.5.
∵BD=CB+CD=9,
∴CB=5.5,
∴CE=5.5,
∴AE=CE-AC=5.5-3.5=2.故选A.
归纳总结 此题考查了全等三角形的判定与性质,用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEC是解题的关键.
3. (2025·南京玄武区期中) 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，要使$△ ABD ≌ △ ACD$，若根据“$\mathrm{HL}$”判定，还需要加条件：
AB=AC
.答案
3. AB=AC [解析]还需添加条件AB=AC.
∵AD⊥BC于D,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中,{AB=AC,
AD=AD,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
∵AD⊥BC于D,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中,{AB=AC,
AD=AD,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
4. 教材 P30 习题 T2·变式 （2025·苏州姑苏区期中）如图，在$△ ABE$与$△ CBD$中，$AE ⊥ BD$于点$E$，$CD$$⊥ BD$于点$D$，$AB = BC$，$BE = CD$.证明：$△ ABE ≌ △ BCD$.
答案
4.
∵AE⊥BD,CD⊥BD,
∴∠AEB=∠BDC=90°.
在Rt△ABE和Rt△BCD中,{AB=BC,
BE=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△BCD(HL).
∵AE⊥BD,CD⊥BD,
∴∠AEB=∠BDC=90°.
在Rt△ABE和Rt△BCD中,{AB=BC,
BE=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△BCD(HL).
5. (2024·苏州吴中区期中)如图，$PD ⊥ AB$，$PE ⊥ AC$，垂足分别为 $D,E$，且 $PD = PE$，则 $△ APD$ 与$△ APE$ 全等的直接理由是(
A.SSS
B.AAS
C.HL
D.ASA
C
).A.SSS
B.AAS
C.HL
D.ASA
答案
5. C [解析]
∵PD⊥AB,PE⊥AC,
∴∠ADP=∠AEP=90°.
在Rt△APD和Rt△APE中,{PD=PE,
AP=AP,
∴Rt△APD≌Rt△APE(HL).故选C.
思路引导 本题考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL.结合已知条件在图形上的位置选择合适的判定方法.
∵PD⊥AB,PE⊥AC,
∴∠ADP=∠AEP=90°.
在Rt△APD和Rt△APE中,{PD=PE,
AP=AP,
∴Rt△APD≌Rt△APE(HL).故选C.
思路引导 本题考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL.结合已知条件在图形上的位置选择合适的判定方法.
6. 教材 P32 习题 T12·变式 （2025 · 镇江期中）如图，
$BE=CF,AE⊥ BC,DF⊥ BC$，要根据“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABE≌ \mathrm{Rt}△ DCF$，则还需要添加一个条件是(
A.$AE=DF$
B.$∠ A=∠ D$
C.$∠ B=∠ C$
D.$AB=DC$
$BE=CF,AE⊥ BC,DF⊥ BC$，要根据“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABE≌ \mathrm{Rt}△ DCF$，则还需要添加一个条件是(
D
).A.$AE=DF$
B.$∠ A=∠ D$
C.$∠ B=∠ C$
D.$AB=DC$
答案
6. D [解析]条件是AB=CD.理由如下:
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠CFD=∠AEB=90°.
在Rt△ABE和Rt△DCF中,{AB=DC,
BE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).故选D.
∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠CFD=∠AEB=90°.
在Rt△ABE和Rt△DCF中,{AB=DC,
BE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).故选D.
7. (2024·常州二十四中月考)如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=10$，$BC=5$，线段$PQ=AB$，$P,Q$两点分别在$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动，则当$AP=$
5或10
时，$△ ABC$和$△ PQA$全等.答案
7. 5或10 [解析]
∵∠C=90°,AO⊥AC,
∴∠C=∠QAP=90°.
①当AP=5=BC时,
在Rt△ACB和Rt△QAP中,{AB=QP,
CB=AP,
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL);
②当AP=10=AC时,
在Rt△ACB和Rt△PAQ中,{AB=PQ,
AC=PA,
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL).
∵∠C=90°,AO⊥AC,
∴∠C=∠QAP=90°.
①当AP=5=BC时,
在Rt△ACB和Rt△QAP中,{AB=QP,
CB=AP,
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL);
②当AP=10=AC时,
在Rt△ACB和Rt△PAQ中,{AB=PQ,
AC=PA,
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL).
8. 实验班原创 如图,点 B,F,C,E 在同一直线上,
$AC$ 与 $DF$ 相交于点 $G$,$AB ⊥ BE$,垂足为 $B$,
$DE ⊥ BE$,垂足为 $E$,且 $AC = DF$,$BF = CE$.
(1)求证:$△ ABC ≌ △ DEF$;
(2)若$∠ A=70°$,求$∠ AGF$的度数.
$AC$ 与 $DF$ 相交于点 $G$,$AB ⊥ BE$,垂足为 $B$,
$DE ⊥ BE$,垂足为 $E$,且 $AC = DF$,$BF = CE$.
(1)求证:$△ ABC ≌ △ DEF$;
(2)若$∠ A=70°$,求$∠ AGF$的度数.
答案
8. (1)
∵AB⊥BE,
∴∠B=90°.
∵DE⊥BE,
∴∠E=90°.
∵BF=CE,
∴BF+CF=CE+CF,即BC=EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,{AC=DF,
BC=EF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
(2)
∵∠A=70°,∠B=90°,
∴∠ACB=90°-70°=20°.
由(1)知,Rt△ABC≌Rt△DEF,
∴∠DFE=∠ACB=20°,
∴∠AGF=∠ACB+∠DFE=40°.
∵AB⊥BE,
∴∠B=90°.
∵DE⊥BE,
∴∠E=90°.
∵BF=CE,
∴BF+CF=CE+CF,即BC=EF.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,{AC=DF,
BC=EF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
(2)
∵∠A=70°,∠B=90°,
∴∠ACB=90°-70°=20°.
由(1)知,Rt△ABC≌Rt△DEF,
∴∠DFE=∠ACB=20°,
∴∠AGF=∠ACB+∠DFE=40°.
