9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,在边$BC$上取点$D$,使得$CD=CA$,过点$D$作$DE⊥ BC$交$AB$于点$E$.若$AB=10$,$DE=4$,求$BE$的长.

9. 连接CE.
在Rt△AEC和Rt△DEC中,{CA=CD,
CE=CE,
∴Rt△AEC≌Rt△DEC(HL),
∴AE=DE.
∵DE=4,
∴AE=4.
∵AB=10,
∴BE=AB-AE=10-4=6.

10. (2024·南京二十九中月考) 如图, 已知$∠ A = ∠ D = 90°$,$E$,$F$在线段$BC$上,$DE$与$AF$交于点$O$,且$AB = CD$, $BE = CF$. 求证: $\mathrm{Rt}△ ABF ≌ \mathrm{Rt}△ DCE$.

10.
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
∵∠A=∠D=90°,
∴△ABF与△DCE都为直角三角形.
在Rt△ABF和Rt△DCE中,{BF=CE,
AB=DC,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
知识拓展 本题考查了全等三角形的判定,全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组边对应相等;若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边;若直角三角形中已知斜边和一组直角边分别对应相等,则用HL判定全等.

11. 角平分线模型 （2025·无锡江阴期中）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，点$D$是$CB$延长线上一点，点$E$是线段$AB$上一点，连接$DE$。$AC=DE$，$BC=BE$。
(1)求证：$AB=BD$；
(2)$BF$平分$∠ ABC$交$AC$于点$F$，点$G$是线段$FB$延长线上一点，连接$DG$，点$H$是线段$DG$上一点，连接$AH$交$BD$于点$K$，连接$KG$。当$KB$平分$∠ AKG$时，求证：$AK=DG+KG$。

精题详解

11. (1)在Rt△ACB和Rt△DEB中,{AC=DE,
BC=BE,
∴Rt△ACB≌Rt△DEB(HL),
∴AB=BD.
(2)如图,作BM平分∠ABD交AK于点M.
∵BM平分∠ABD,KB平分∠AKG,BF平分∠ABC,
∴∠ABM=∠MBD=45°,
∠AKB=∠BKG,
∠ABF=∠FBC=45°.
∵∠FBC=∠DBG=45°,
∴∠MBD=∠GBD.
在△BMK和△BGK中,
{∠MBK=∠GBK,
BK=BK,
∠MKB=∠GKB,
∴△BMK≌△BGK(ASA),
∴BM=BG,MK=KG.
在△ABM和△DBG中,{AB=DB.
∠ABM=∠DBG,
BM=BG,
∴△ABM≌△DBG(SAS),
∴AM=DG.
∵AK=AM+MK,
∴AK=DG+KG.

12. 中考新考法 过程纠错改错 (2023·南通中考)如图，点 D, E 分别在 AB, AC 上，$∠ ADC = ∠ AEB$$= 90°$，BE, CD 相交于点 O，$OB = OC$. 求证：$∠ 1 = ∠ 2$.
小虎同学的证明过程如下：

(1)小虎同学的证明过程中，第步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程.

12. (1)二
(2)
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=180°-90°=90°.
在△DOB和△EOC中,{∠BDO=∠CEO,
∠DOB=∠EOC,
OB=OC,
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,{OD=OE,
OA=OA,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.