8. 教材P17例2·变式 (2025·淮安期中)如图,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$∠ C = ∠ E$,$∠ 1 = ∠ 2$,$AC = AE$,$AD$,$BC$相交于点$F$.
(1)求证:$△ ABC ≌ △ ADE$;
(2)若$AB // DE$,$∠ D = 35°$,求$∠ AFB$的度数.

8. (1)$\because ∠ 1=∠ 2$,
$\therefore ∠ 1+∠ CAD=∠ 2+∠ CAD$,
$\therefore ∠ CAB=∠ EAD$.
在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\begin{cases} ∠ C=∠ E, \\ AC=AE, \\ ∠ CAB=∠ EAD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{ASA})$.
(2)$\because AB// DE,∠ D=35°$,
$\therefore ∠ 1=∠ D=35°$,
由(1)可知,$∠ B=∠ D=35°$,
$\therefore ∠ AFB=180°-∠ 1-∠ B=180°-35°-35°=110°$.

9. 中考新考法 添加条件开放 （2024·浙江杭州西湖区期末）
如图, 在 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 中, 点 $B, E, C, F$ 在同一条直线上, 已知 $∠ B = ∠ DEF, BE = CF$. 下面给出四个条件: ①$AC = DF$; ②$AB = DE$; ③$AC // DF$; ④$∠ A = ∠ D$. 请你从中任选一个条件, 使得 $△ ABC ≌ △ DEF$, 并写出证明过程.

精题详解

9. 选②$AB=DE$(答案不唯一).证明如下:
$\because BE=CF,\therefore BE+EC=CF+EC$,即$BC=EF$.
在$△ ABC$和$△ DEF$中,$\begin{cases} BC=EF, \\ ∠ B=∠ DEF, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{SAS})$.

10. (2025·南京鼓楼区求真中学期中)已知:如图(1),在$△ ABC$中,$∠ ABC=45^{\circ }$,$H$ 是高 $AD$,$BE$所在直线的交点.

(1)求证:$BH=AC$;
(2)如图(2),若$∠ A$ 改成钝角后,结论 $BH=$$AC$ 还成立吗? 若成立,请补全图形并证明,若不成立,请说明理由.
精题详解

10. (1)由题意可知,$∠ ADC=∠ BEC=∠ BDH=90°$,
$\therefore ∠ DAC+∠ C=90°,∠ EBC+∠ C=90°$,
$\therefore ∠ DAC=∠ EBC$.
$\because ∠ ABC=45°$,
$\therefore ∠ BAD=90°-∠ ABC=90°-45°=45°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ BAD$,
$\therefore △ ABD$是等腰直角三角形,$\therefore AD=BD$.
在$△ BDH$和$△ ADC$中,$\begin{cases} ∠ DBH=∠ DAC, \\ BD=AD, \\ ∠ BDH=∠ ADC, \end{cases}$
$\therefore △ BDH≌△ ADC(\mathrm{ASA}),\therefore BH=AC$.
(2)$HB=AC$仍然成立.理由如下:
补全图形如图,

由题意可知,$∠ HDB=∠ CDA=∠ CEB=90°$,$\therefore ∠ H+∠ HAE=90°$,$∠ C+∠ CAD=90°$.
又$∠ HAE=∠ DAC$,$\therefore ∠ H=∠ C$.
$\because ∠ ABC=45°,∠ ADB=90°$,
$\therefore$ 三角形$ABD$是等腰直角三角形,$\therefore AD=BD$.
在$△ BDH$和$△ ADC$中,$\begin{cases} ∠ H=∠ C, \\ ∠ HDB=∠ CDA, \\ BD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ BDH≌△ ADC(\mathrm{AAS}),\therefore BH=AC$.