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1. 已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（
A.$(2,3)$
B.$(-2,3)$
C.$(3,0)$
D.$(-3,0)$
B
）A.$(2,3)$
B.$(-2,3)$
C.$(3,0)$
D.$(-3,0)$
答案
1.B
解析
【分析】
解题思路分三步走：第一步，先根据反比例函数的增减性判断参数k的符号：已知该反比例函数在每一个象限内y随x的增大而增大，根据反比例函数的性质可直接得出k＜0；第二步，根据反比例函数的定义，自变量x不能取0，因此函数图像永远不会和坐标轴相交，直接排除纵坐标为0的C、D选项；第三步，对剩余的A、B选项，利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积等于k的特点，分别计算两个点对应的k值，筛选出k＜0的选项即可得到答案。
【解析】
解：
1. 判断k的取值范围：
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，若在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大，可得$k＜0$。
2. 排除不符合定义的选项：
反比例函数中自变量$x≠0$，因此函数图像上所有点的纵坐标$y=\dfrac{k}{x}≠0$，即图像与坐标轴无交点，因此点$(3,0)$和$(-3,0)$不可能在函数图像上，排除C、D选项。
3. 验证剩余选项：
若点在函数图像上，则点的横纵坐标乘积等于k：
对A选项$(2,3)$，计算得$k=2×3=6＞0$，不符合$k＜0$的要求，排除；
对B选项$(-2,3)$，计算得$k=-2×3=-6＜0$，符合条件。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数性质，函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考察对反比例函数增减性、图像特征的掌握，易错点是容易忽略反比例函数图像与坐标轴无交点的性质，或是混淆k的正负与函数增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步走：第一步，先根据反比例函数的增减性判断参数k的符号：已知该反比例函数在每一个象限内y随x的增大而增大，根据反比例函数的性质可直接得出k＜0；第二步，根据反比例函数的定义，自变量x不能取0，因此函数图像永远不会和坐标轴相交，直接排除纵坐标为0的C、D选项；第三步，对剩余的A、B选项，利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积等于k的特点，分别计算两个点对应的k值，筛选出k＜0的选项即可得到答案。
【解析】
解：
1. 判断k的取值范围：
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，若在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大，可得$k＜0$。
2. 排除不符合定义的选项：
反比例函数中自变量$x≠0$，因此函数图像上所有点的纵坐标$y=\dfrac{k}{x}≠0$，即图像与坐标轴无交点，因此点$(3,0)$和$(-3,0)$不可能在函数图像上，排除C、D选项。
3. 验证剩余选项：
若点在函数图像上，则点的横纵坐标乘积等于k：
对A选项$(2,3)$，计算得$k=2×3=6＞0$，不符合$k＜0$的要求，排除；
对B选项$(-2,3)$，计算得$k=-2×3=-6＜0$，符合条件。
因此符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数性质，函数图像上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考察对反比例函数增减性、图像特征的掌握，易错点是容易忽略反比例函数图像与坐标轴无交点的性质，或是混淆k的正负与函数增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
2. (2025·姑苏区期中)若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(6,y_3)$都在反比例函数$y=\dfrac{-3}{x}$的图象上,其中$x_1＜x_2＜0$,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1=y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1=y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
2.D
解析
【分析】
我们可以分三步来思考这道题：第一步先确定给定反比例函数的k值，根据k的正负判断函数图像的分布和增减性；第二步根据三个点的横坐标的正负，判断每个点分别位于哪个象限，先区分出y值的正负，把负数和正数先分开；第三步在同一个象限内利用函数的增减性比较同号的y值的大小，最后整合得到三个y的排序，匹配对应选项。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{-3}{x}$，其中比例系数$k=-3＜0$，
因此该函数的图像位于第二、第四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
1. 判断点A、B的位置和y值关系：
已知$x_1＜x_2＜0$，说明点A、B的横坐标都小于0，因此两点都在第二象限的函数分支上，可得$y_1＞0$，$y_2＞0$，结合增减性可知$y_1＜y_2$。
2. 判断点C的位置和y值符号：
点C的横坐标为6，即$6＞0$，因此点C位于第四象限的函数分支上，可得$y_3＜0$。
3. 比较三个y值的大小：
负数小于所有正数，因此$y_3＜0＜y_1＜y_2$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质
反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础常考题，核心易错点是不能忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接跨象限套用增减性比较所有点的函数值，解题时先按横坐标正负区分点所在象限、先判断y值的正负再同象限内比较大小，就能快速准确得到结果。
【难度系数】
0.7
我们可以分三步来思考这道题：第一步先确定给定反比例函数的k值，根据k的正负判断函数图像的分布和增减性；第二步根据三个点的横坐标的正负，判断每个点分别位于哪个象限，先区分出y值的正负，把负数和正数先分开；第三步在同一个象限内利用函数的增减性比较同号的y值的大小，最后整合得到三个y的排序，匹配对应选项。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{-3}{x}$，其中比例系数$k=-3＜0$，
因此该函数的图像位于第二、第四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
1. 判断点A、B的位置和y值关系：
已知$x_1＜x_2＜0$，说明点A、B的横坐标都小于0，因此两点都在第二象限的函数分支上，可得$y_1＞0$，$y_2＞0$，结合增减性可知$y_1＜y_2$。
2. 判断点C的位置和y值符号：
点C的横坐标为6，即$6＞0$，因此点C位于第四象限的函数分支上，可得$y_3＜0$。
3. 比较三个y值的大小：
负数小于所有正数，因此$y_3＜0＜y_1＜y_2$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质
反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础常考题，核心易错点是不能忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接跨象限套用增减性比较所有点的函数值，解题时先按横坐标正负区分点所在象限、先判断y值的正负再同象限内比较大小，就能快速准确得到结果。
【难度系数】
0.7
3. (2025·湖南)对于反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$，下列结论正确的是（
A.点$(2,2)$在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、第四象限
C.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
D
）A.点$(2,2)$在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、第四象限
C.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
3.D
解析
【分析】
我们可以结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的核心性质，逐个验证每个选项：首先确定本题反比例函数的比例系数$k$值为2，先通过代入计算验证点是否在函数图像上，再根据$k$的正负判断图像所在象限，最后结合反比例函数的增减性规律判断C、D选项的描述是否正确，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$，可知比例系数$k=2＞0$，逐个分析选项：
选项A：将$x=2$代入函数解析式，计算得$y=\dfrac{2}{2}=1≠2$，因此点$(2,2)$不在该函数的图象上，A错误；
选项B：当$k＞0$时，反比例函数的图象位于第一、第三象限，并非第二、第四象限，B错误；
选项C：当$k＞0$且$x＜0$时，函数图象对应第三象限的分支，$y$随$x$的增大而减小，并非增大，C错误；
选项D：当$k＞0$且$x＞0$时，函数图象对应第一象限的分支，$y$随$x$的增大而减小，描述正确，D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；反比例函数图象分布；反比例函数增减性
【点评】
本题属于反比例函数的基础性质考题，核心易错点是要牢记反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能跨区间笼统描述增减性，通过逐一排查选项即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
我们可以结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的核心性质，逐个验证每个选项：首先确定本题反比例函数的比例系数$k$值为2，先通过代入计算验证点是否在函数图像上，再根据$k$的正负判断图像所在象限，最后结合反比例函数的增减性规律判断C、D选项的描述是否正确，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$，可知比例系数$k=2＞0$，逐个分析选项：
选项A：将$x=2$代入函数解析式，计算得$y=\dfrac{2}{2}=1≠2$，因此点$(2,2)$不在该函数的图象上，A错误；
选项B：当$k＞0$时，反比例函数的图象位于第一、第三象限，并非第二、第四象限，B错误；
选项C：当$k＞0$且$x＜0$时，函数图象对应第三象限的分支，$y$随$x$的增大而减小，并非增大，C错误；
选项D：当$k＞0$且$x＞0$时，函数图象对应第一象限的分支，$y$随$x$的增大而减小，描述正确，D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；反比例函数图象分布；反比例函数增减性
【点评】
本题属于反比例函数的基础性质考题，核心易错点是要牢记反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能跨区间笼统描述增减性，通过逐一排查选项即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
4.(2025·南京)已知反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$,则当$1 ≤ x ≤ 3$时,$\dfrac{y}{x}$的最小值是
$\dfrac{2}{3}$
.答案
4.$\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
拿到这道题，我们的核心思路是把待求的$\frac{y}{x}$转化为仅含x的表达式，避免分开求y的范围再运算容易出错的问题：首先已知y和x满足反比例函数关系，直接把$y=\frac{6}{x}$代入$\frac{y}{x}$中，化简得到只含x的函数，再分析这个函数在$1≤ x≤3$区间上的单调性，就能直接找到最小值对应的x取值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 代入化简目标式
将反比例函数$y=\frac{6}{x}$代入$\frac{y}{x}$中，可得：
$\frac{y}{x}=\frac{\frac{6}{x}}{x}=\frac{6}{x^2}$
2. 分析函数单调性
对于函数$f(x)=\frac{6}{x^2}$，当$x＞0$时，$x^2$随x的增大而增大，因此$\frac{6}{x^2}$随x的增大而减小，即$f(x)=\frac{6}{x^2}$在$(0,+∞)$上单调递减。
3. 求区间内最小值
已知x的取值范围是$1≤ x≤3$，由于$f(x)$在该区间单调递减，因此当x取区间最大值3时，$f(x)$取得最小值：
$f(3)=\frac{6}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数，代数式代换，单调性求最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考察反比例函数性质的灵活应用，解题的关键是不要直接拆分求y的范围，通过代入消元把目标式转化为单变量函数后，利用单调性就能快速得到最值，注意不要搞反函数的增减性，避免误把x=1对应的结果当成最小值。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，我们的核心思路是把待求的$\frac{y}{x}$转化为仅含x的表达式，避免分开求y的范围再运算容易出错的问题：首先已知y和x满足反比例函数关系，直接把$y=\frac{6}{x}$代入$\frac{y}{x}$中，化简得到只含x的函数，再分析这个函数在$1≤ x≤3$区间上的单调性，就能直接找到最小值对应的x取值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 代入化简目标式
将反比例函数$y=\frac{6}{x}$代入$\frac{y}{x}$中，可得：
$\frac{y}{x}=\frac{\frac{6}{x}}{x}=\frac{6}{x^2}$
2. 分析函数单调性
对于函数$f(x)=\frac{6}{x^2}$，当$x＞0$时，$x^2$随x的增大而增大，因此$\frac{6}{x^2}$随x的增大而减小，即$f(x)=\frac{6}{x^2}$在$(0,+∞)$上单调递减。
3. 求区间内最小值
已知x的取值范围是$1≤ x≤3$，由于$f(x)$在该区间单调递减，因此当x取区间最大值3时，$f(x)$取得最小值：
$f(3)=\frac{6}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数，代数式代换，单调性求最值
【点评】
本题属于基础题型，重点考察反比例函数性质的灵活应用，解题的关键是不要直接拆分求y的范围，通过代入消元把目标式转化为单变量函数后，利用单调性就能快速得到最值，注意不要搞反函数的增减性，避免误把x=1对应的结果当成最小值。
【难度系数】
0.8
5. (2025·沛县月考)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y_{1}=\frac{k}{x}$与正比例函数$y_{2}=\frac{3}{4}x$的图象交于$A(4,m),B$两点,当$y_{1}＜y_{2}$时,$x$的取值范围是 （
A.$x＞4$
B.$-4＜x＜0$或$x＞4$
C.$x＜-4$或$0＜x＜4$
D.$-4＜x＜4$
B
）A.$x＞4$
B.$-4＜x＜0$或$x＞4$
C.$x＜-4$或$0＜x＜4$
D.$-4＜x＜4$
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，先将已知点A的横坐标代入正比例函数解析式，求出A点的完整坐标；第二步，利用正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称的性质，直接得到两个交点A、B关于原点对称，算出B点坐标；第三步，结合函数图象，找出反比例函数图象位于正比例函数图象下方的所有x的区间，就是$y_1＜y_2$对应的x取值范围。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知$A(4,m)$在正比例函数$y_{2}=\frac{3}{4}x$上，将$x=4$代入解析式得：
$m=\frac{3}{4} × 4 = 3$，因此A点坐标为$(4,3)$。
2. 求点B的坐标：
由于反比例函数和正比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点A、B关于原点对称，可得B点坐标为$(-4,-3)$。
3. 结合图象判断$y_1＜y_2$的范围：
将x轴分为四个区间逐一判断：
当$x＜-4$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即$y_1＞y_2$，不符合要求；
当$-4＜x＜0$时，反比例函数图象在正比例函数图象下方，即$y_1＜y_2$，符合要求；
当$0＜x＜4$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即$y_1＞y_2$，不符合要求；
当$x＞4$时，反比例函数图象在正比例函数图象下方，即$y_1＜y_2$，符合要求。
因此$y_1＜y_2$时x的取值范围是$-4＜x＜0$或$x＞4$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图像性质，函数图像解不等式
【点评】
本题是反比例函数章节的典型基础题型，核心考察数形结合的解题思想，利用正反比例交点的对称性可以快速得到两个交点坐标，无需额外计算反比例函数的k值，直接通过图像高低判断函数值大小，避免了复杂的代数求解不等式过程，是中考的常见基础考法。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步：第一步，先将已知点A的横坐标代入正比例函数解析式，求出A点的完整坐标；第二步，利用正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称的性质，直接得到两个交点A、B关于原点对称，算出B点坐标；第三步，结合函数图象，找出反比例函数图象位于正比例函数图象下方的所有x的区间，就是$y_1＜y_2$对应的x取值范围。
【解析】
1. 求点A的坐标：
已知$A(4,m)$在正比例函数$y_{2}=\frac{3}{4}x$上，将$x=4$代入解析式得：
$m=\frac{3}{4} × 4 = 3$，因此A点坐标为$(4,3)$。
2. 求点B的坐标：
由于反比例函数和正比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点A、B关于原点对称，可得B点坐标为$(-4,-3)$。
3. 结合图象判断$y_1＜y_2$的范围：
将x轴分为四个区间逐一判断：
当$x＜-4$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即$y_1＞y_2$，不符合要求；
当$-4＜x＜0$时，反比例函数图象在正比例函数图象下方，即$y_1＜y_2$，符合要求；
当$0＜x＜4$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即$y_1＞y_2$，不符合要求；
当$x＞4$时，反比例函数图象在正比例函数图象下方，即$y_1＜y_2$，符合要求。
因此$y_1＜y_2$时x的取值范围是$-4＜x＜0$或$x＞4$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图像性质，函数图像解不等式
【点评】
本题是反比例函数章节的典型基础题型，核心考察数形结合的解题思想，利用正反比例交点的对称性可以快速得到两个交点坐标，无需额外计算反比例函数的k值，直接通过图像高低判断函数值大小，避免了复杂的代数求解不等式过程，是中考的常见基础考法。
【难度系数】
0.8
6.已知反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$,则当$y＞-2$时,$x$的取值范围是
$x＜-1$或$x＞0$
,当$x＜1$时,$y$的取值范围是$y＞2$或$y＜0$
.答案
6.$x＜-1$或$x＞0$ $y＞2$或$y＜0$
解析
【分析】
这是一道反比例函数结合不等式求取值范围的典型题，解题思路要先抓住反比例函数的核心特点：它的图像是断开的两支，x≠0，不能直接对不等式去分母，必须分段讨论。首先先明确y=2/x的k=2＞0，图像分布在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小。处理第一个空时，先代入y=-2算出对应的边界x=-1，再分x＜0、x＞0两个区间分别判断y＞-2的x范围，最后合并结果。处理第二个空时，先代入x=1算出对应的边界y=2，再分x＜0、0＜x＜1两个区间分别判断x＜1时的y范围，合并后就能得到完整结果，避免漏解。
【解析】
已知反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，图像分布在第一、第三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，且满足$x≠0$，$y≠0$。
1. 求$y＞-2$时$x$的取值范围：
令$y=-2$，代入解析式得$-2=\dfrac{2}{x}$，解得边界值$x=-1$。
① 当$x＜0$时，函数在第三象限单调递减，要满足$y＞-2$，可得$x＜-1$；
② 当$x＞0$时，函数在第一象限的所有函数值都满足$y＞0$，显然恒大于-2，因此所有$x＞0$都符合要求。
合并两个区间的结果，得$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞0$。
2. 求$x＜1$时$y$的取值范围：
令$x=1$，代入解析式得边界值$y=\dfrac{2}{1}=2$。
① 当$x＜0$时，函数在第三象限的所有函数值都满足$y＜0$，显然恒满足$x＜1$的条件；
② 当$0＜x＜1$时，函数在第一象限单调递减，$x$小于1，对应的函数值$y＞2$。
合并两个区间的结果，得$y$的取值范围是$y＞2$或$y＜0$。
【答案】
$x＜-1$或$x＞0$ $y＞2$或$y＜0$
【知识点】
反比例函数图像性质；分段讨论法
【点评】
本题属于反比例函数的高频易错题，很多同学会忽略反比例函数图像不连续的特点，直接对不等式去分母，得到错误的单段范围，漏掉x＞0或者y＜0的部分，解题时一定要牢记反比例函数x≠0的限制，按正负区间分段分析，就能避免漏解。
【难度系数】
0.5
这是一道反比例函数结合不等式求取值范围的典型题，解题思路要先抓住反比例函数的核心特点：它的图像是断开的两支，x≠0，不能直接对不等式去分母，必须分段讨论。首先先明确y=2/x的k=2＞0，图像分布在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小。处理第一个空时，先代入y=-2算出对应的边界x=-1，再分x＜0、x＞0两个区间分别判断y＞-2的x范围，最后合并结果。处理第二个空时，先代入x=1算出对应的边界y=2，再分x＜0、0＜x＜1两个区间分别判断x＜1时的y范围，合并后就能得到完整结果，避免漏解。
【解析】
已知反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，图像分布在第一、第三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，且满足$x≠0$，$y≠0$。
1. 求$y＞-2$时$x$的取值范围：
令$y=-2$，代入解析式得$-2=\dfrac{2}{x}$，解得边界值$x=-1$。
① 当$x＜0$时，函数在第三象限单调递减，要满足$y＞-2$，可得$x＜-1$；
② 当$x＞0$时，函数在第一象限的所有函数值都满足$y＞0$，显然恒大于-2，因此所有$x＞0$都符合要求。
合并两个区间的结果，得$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞0$。
2. 求$x＜1$时$y$的取值范围：
令$x=1$，代入解析式得边界值$y=\dfrac{2}{1}=2$。
① 当$x＜0$时，函数在第三象限的所有函数值都满足$y＜0$，显然恒满足$x＜1$的条件；
② 当$0＜x＜1$时，函数在第一象限单调递减，$x$小于1，对应的函数值$y＞2$。
合并两个区间的结果，得$y$的取值范围是$y＞2$或$y＜0$。
【答案】
$x＜-1$或$x＞0$ $y＞2$或$y＜0$
【知识点】
反比例函数图像性质；分段讨论法
【点评】
本题属于反比例函数的高频易错题，很多同学会忽略反比例函数图像不连续的特点，直接对不等式去分母，得到错误的单段范围，漏掉x＞0或者y＜0的部分，解题时一定要牢记反比例函数x≠0的限制，按正负区间分段分析，就能避免漏解。
【难度系数】
0.5
7.(2025·陕西)一个反比例函数的图象经过$A(m,-4),B(3,m)$两点,若$m＜-3$,则$n$的取值范围是
$n＞4$
.答案
7.$n＞4$
解析
【分析】
首先梳理解题思路：第一步先设出反比例函数的标准解析式，利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积等于比例系数k的性质，把A、B两点坐标代入，建立k与m、k与n的等量关系；第二步结合已知条件m＜-3，通过不等式变形先求出k的取值范围；第三步再通过k和n的等量关系，最终推导出n的取值范围，注意不等式两边乘负数时需要改变不等号方向，避免计算错误。
【解析】
解：设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
由反比例函数的性质可知，函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于比例系数k，
已知图象经过$A(m,-4)$、$B(3,n)$两点，代入可得：
$k = m×(-4) = -4m$，同时$k=3× n=3n$，
结合已知条件$m ＜ -3$，将不等式两边同时乘以$-4$，不等号方向反转，可得：
$-4m ＞ (-4)×(-3) = 12$，即$k＞12$，
又因为$k=3n$，代入得$3n＞12$，两边同时除以3，解得$n＞4$。
【答案】
$n＞4$
【知识点】
反比例函数性质，不等式基本性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础综合题，不需要求解参数m的具体数值，利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的特点结合不等式变形即可推导结果，其中不等式乘负数时不等号变向是高频易错点，整体考察对反比例函数核心性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
首先梳理解题思路：第一步先设出反比例函数的标准解析式，利用反比例函数上任意点的横纵坐标乘积等于比例系数k的性质，把A、B两点坐标代入，建立k与m、k与n的等量关系；第二步结合已知条件m＜-3，通过不等式变形先求出k的取值范围；第三步再通过k和n的等量关系，最终推导出n的取值范围，注意不等式两边乘负数时需要改变不等号方向，避免计算错误。
【解析】
解：设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
由反比例函数的性质可知，函数图象上任意一点的横纵坐标乘积等于比例系数k，
已知图象经过$A(m,-4)$、$B(3,n)$两点，代入可得：
$k = m×(-4) = -4m$，同时$k=3× n=3n$，
结合已知条件$m ＜ -3$，将不等式两边同时乘以$-4$，不等号方向反转，可得：
$-4m ＞ (-4)×(-3) = 12$，即$k＞12$，
又因为$k=3n$，代入得$3n＞12$，两边同时除以3，解得$n＞4$。
【答案】
$n＞4$
【知识点】
反比例函数性质，不等式基本性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础综合题，不需要求解参数m的具体数值，利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的特点结合不等式变形即可推导结果，其中不等式乘负数时不等号变向是高频易错点，整体考察对反比例函数核心性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图,已知点$A(3,3),B(3,1)$,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$图象的一支与线段$AB$有交点,写出一个符合条件的$k$的整数值:
4(答案不唯一)
.答案
8.4(答案不唯一)
解析
【分析】
首先先观察A、B两点的坐标特征：两点横坐标都为3，纵坐标分别为3和1，因此线段AB上所有点的横坐标恒为3，纵坐标y的取值范围是1≤y≤3。要让反比例函数y=k/x的图象与线段AB有交点，说明交点的横坐标为3，将x=3代入反比例函数解析式得到的y值必须落在1到3的区间内，据此列出关于k的不等式，解出k的取值范围后，在范围内任选一个整数即可得到符合条件的答案。
【解析】
解：已知A(3,3)，B(3,1)，可得线段AB上所有点的横坐标固定为3，纵坐标y满足：
$1 ≤ y ≤ 3$
因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$与线段AB有交点，将x=3代入反比例函数解析式，得交点对应的纵坐标为$y=\dfrac{k}{3}$，该纵坐标需满足线段AB的y的取值范围：
$1 ≤ \dfrac{k}{3} ≤ 3$
不等式三边同时乘以3，解得：
$3 ≤ k ≤ 9$
因此k取3到9之间的任意整数均符合要求，例如k=4。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数性质，线段坐标特征，一元一次不等式
【点评】
本题属于开放型基础题，核心是先确定竖直线段AB的坐标取值范围，再结合交点条件推导k的取值范围，注意线段的两个端点A、B也属于交点的合法情况，因此k的取值包含3和9两个端点，只要写出范围内任意一个整数都算正确。
【难度系数】
0.8
首先先观察A、B两点的坐标特征：两点横坐标都为3，纵坐标分别为3和1，因此线段AB上所有点的横坐标恒为3，纵坐标y的取值范围是1≤y≤3。要让反比例函数y=k/x的图象与线段AB有交点，说明交点的横坐标为3，将x=3代入反比例函数解析式得到的y值必须落在1到3的区间内，据此列出关于k的不等式，解出k的取值范围后，在范围内任选一个整数即可得到符合条件的答案。
【解析】
解：已知A(3,3)，B(3,1)，可得线段AB上所有点的横坐标固定为3，纵坐标y满足：
$1 ≤ y ≤ 3$
因为反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$与线段AB有交点，将x=3代入反比例函数解析式，得交点对应的纵坐标为$y=\dfrac{k}{3}$，该纵坐标需满足线段AB的y的取值范围：
$1 ≤ \dfrac{k}{3} ≤ 3$
不等式三边同时乘以3，解得：
$3 ≤ k ≤ 9$
因此k取3到9之间的任意整数均符合要求，例如k=4。
【答案】
4（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数性质，线段坐标特征，一元一次不等式
【点评】
本题属于开放型基础题，核心是先确定竖直线段AB的坐标取值范围，再结合交点条件推导k的取值范围，注意线段的两个端点A、B也属于交点的合法情况，因此k的取值包含3和9两个端点，只要写出范围内任意一个整数都算正确。
【难度系数】
0.8
9. (2025·建邺区期中) 如图,一次函数 $y=\dfrac{4}{3}x$ 与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象交于 $A,B$ 两点.
(1)已知点 $A$ 的横坐标为 $3$.
①求反比例函数的表达式；
②不等式 $\dfrac{4}{3}x-\dfrac{m}{x}＞0$ 的解集是.
A. $x＞3$
B. $x＞-3$
C. $x＞3$ 或 $x＜-3$
D. $x＞3$ 或 $-3＜x＜0$
(2)若 $AB＞10$, 则 $m$ 的取值范围是
(1)已知点 $A$ 的横坐标为 $3$.
①求反比例函数的表达式；
②不等式 $\dfrac{4}{3}x-\dfrac{m}{x}＞0$ 的解集是.
A. $x＞3$
B. $x＞-3$
C. $x＞3$ 或 $x＜-3$
D. $x＞3$ 或 $-3＜x＜0$
(2)若 $AB＞10$, 则 $m$ 的取值范围是
$m＞12$
.答案
9.(1)①解:把$x=3$代入$y=\dfrac{4}{3}x$,得$y=4$,$\therefore A(3,4)$.
$\because$反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象过点$A$,$\therefore m=3× 4=12$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$.
②D
(2)$m＞12$
$\because$反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象过点$A$,$\therefore m=3× 4=12$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$.
②D
(2)$m＞12$
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 对于(1)①：已知点A在正比例函数$y=\dfrac{4}{3}x$上，且横坐标为3，先代入正比例函数求出点A的完整坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出$m$，得到反比例函数表达式。
2. 对于(1)②：不等式$\dfrac{4}{3}x-\dfrac{m}{x}＞0$等价于正比例函数$y=\dfrac{4}{3}x$的函数值大于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的函数值，结合正反比例函数图象关于原点中心对称的性质，先得到B点坐标，再分$x＞0$和$x＜0$两个区间，观察图象找出正比例函数在反比例函数上方对应的$x$取值范围即可。
3. 对于(2)：设第一象限内交点A的坐标，由$y=\dfrac{4}{3}x$可设A的坐标形式，利用勾股定理算出$OA$的长度，由于A、B关于原点对称，$AB=2OA$，结合$AB＞10$得到$OA＞5$，求出自变量的取值范围，再代入$m=xy$即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1)① 已知点A的横坐标为3，将$x=3$代入$y=\dfrac{4}{3}x$，得$y=\dfrac{4}{3} × 3=4$，因此点A的坐标为$(3,4)$。
因为反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象过点A，将$A(3,4)$代入解析式，得$m=3×4=12$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$。
② 由于正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此A、B两点关于原点对称，由$A(3,4)$可得$B(-3,-4)$。
不等式$\dfrac{4}{3}x - \dfrac{m}{x} ＞0$即$\dfrac{4}{3}x ＞ \dfrac{m}{x}$，观察图象：
当$x＞0$时，正比例函数图象在反比例函数上方对应的$x$范围是$x＞3$；
当$x＜0$时，正比例函数图象在反比例函数上方对应的$x$范围是$-3＜x＜0$；
因此不等式的解集是$x＞3$或$-3＜x＜0$，选D。
(2) 设第一象限内交点A的坐标为$(x, \dfrac{4}{3}x)$，由勾股定理得$OA$的长度为$\sqrt{x^2 + (\dfrac{4}{3}x)^2}=\sqrt{\dfrac{25x^2}{9}}=\dfrac{5x}{3}$（$x＞0$）。
因为A、B关于原点对称，所以$AB=2OA$，由$AB＞10$得$2OA＞10$，即$OA＞5$：
$\dfrac{5x}{3} ＞5$，解得$x＞3$。
又因为$m=x· y =x· \dfrac{4}{3}x=\dfrac{4x^2}{3}$，当$x＞3$时，$\dfrac{4x^2}{3} ＞ \dfrac{4×9}{3}=12$，因此$m$的取值范围是$m＞12$。
【答案】
(1)① $y=\dfrac{12}{x}$；② D；(2) $m＞12$
【知识点】
待定系数法求函数解析式
函数与不等式数形结合
反比例函数对称性
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的基础综合题，核心用到了数形结合思想和函数图象中心对称的性质，易错点是解函数值大小比较的不等式时，容易忽略$x＜0$的区间部分，第二问通过勾股定理转化线段长度条件，计算难度适中，适合巩固正反比例函数交点相关知识点。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：
1. 对于(1)①：已知点A在正比例函数$y=\dfrac{4}{3}x$上，且横坐标为3，先代入正比例函数求出点A的完整坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出$m$，得到反比例函数表达式。
2. 对于(1)②：不等式$\dfrac{4}{3}x-\dfrac{m}{x}＞0$等价于正比例函数$y=\dfrac{4}{3}x$的函数值大于反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的函数值，结合正反比例函数图象关于原点中心对称的性质，先得到B点坐标，再分$x＞0$和$x＜0$两个区间，观察图象找出正比例函数在反比例函数上方对应的$x$取值范围即可。
3. 对于(2)：设第一象限内交点A的坐标，由$y=\dfrac{4}{3}x$可设A的坐标形式，利用勾股定理算出$OA$的长度，由于A、B关于原点对称，$AB=2OA$，结合$AB＞10$得到$OA＞5$，求出自变量的取值范围，再代入$m=xy$即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1)① 已知点A的横坐标为3，将$x=3$代入$y=\dfrac{4}{3}x$，得$y=\dfrac{4}{3} × 3=4$，因此点A的坐标为$(3,4)$。
因为反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象过点A，将$A(3,4)$代入解析式，得$m=3×4=12$，因此反比例函数的表达式为$y=\dfrac{12}{x}$。
② 由于正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此A、B两点关于原点对称，由$A(3,4)$可得$B(-3,-4)$。
不等式$\dfrac{4}{3}x - \dfrac{m}{x} ＞0$即$\dfrac{4}{3}x ＞ \dfrac{m}{x}$，观察图象：
当$x＞0$时，正比例函数图象在反比例函数上方对应的$x$范围是$x＞3$；
当$x＜0$时，正比例函数图象在反比例函数上方对应的$x$范围是$-3＜x＜0$；
因此不等式的解集是$x＞3$或$-3＜x＜0$，选D。
(2) 设第一象限内交点A的坐标为$(x, \dfrac{4}{3}x)$，由勾股定理得$OA$的长度为$\sqrt{x^2 + (\dfrac{4}{3}x)^2}=\sqrt{\dfrac{25x^2}{9}}=\dfrac{5x}{3}$（$x＞0$）。
因为A、B关于原点对称，所以$AB=2OA$，由$AB＞10$得$2OA＞10$，即$OA＞5$：
$\dfrac{5x}{3} ＞5$，解得$x＞3$。
又因为$m=x· y =x· \dfrac{4}{3}x=\dfrac{4x^2}{3}$，当$x＞3$时，$\dfrac{4x^2}{3} ＞ \dfrac{4×9}{3}=12$，因此$m$的取值范围是$m＞12$。
【答案】
(1)① $y=\dfrac{12}{x}$；② D；(2) $m＞12$
【知识点】
待定系数法求函数解析式
函数与不等式数形结合
反比例函数对称性
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的基础综合题，核心用到了数形结合思想和函数图象中心对称的性质，易错点是解函数值大小比较的不等式时，容易忽略$x＜0$的区间部分，第二问通过勾股定理转化线段长度条件，计算难度适中，适合巩固正反比例函数交点相关知识点。
【难度系数】
0.6
